1 WYMIAR KORELACYJNY D2 to wymiar uogólniony rzędu drugiego, liczony za pomocą całki korelacjiC(r) całka korelacji: – norma badanej wielkości fizycznej N – analizowana liczba wartości H – funkcja Heaviside’a,

2 Wymiary korelacyjne sejsmiczności indukowanej pracami górniczymiDane zawierają Halemba 5 - Wymiary korelacyjne „Czas wystąpienia wstrząsu” D2=0.89; „Log(Energia)” D2=0.86; „XY – rozkład epicentrów” D2=1.7;

3 KWK Halemba

4 Zmienność wymiaru korelacyjnego w czasie liczona z 'XY'Od: zdarzenie numer: 1 Data: 3 styczeń 1992 , 03:31:00 Do: zdarzenie numer: 450 Data: 6 luty 1993 , 04:23:00 Szerokość okna : 50 zdarzeń. Przesunięcie okna : 25 zdarzeń. Halemba 5

5

6 Odwzorowanie logistyczneRozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą się eksponencjalnie z rozwojem czasu. Rozwój rozwiązań jest przewidywalny jedynie w sensie statystycznym. Warunkiem koniecznym by rozwiązanie było chaotyczne jest by równanie było nieliniowe. „Chaos to losowe zachowanie występujące w układzie deterministycznym, a więc chaos to nieregularne zachowanie całkowicie rządzone przez prawo”. Przykładem rozwiązania chaotycznego jest rozwiązanie odwzorowania logistycznego:

7 Odwzorowanie to ma istotnie różne typy zachowań zależnie od wartości aOdwzorowanie to ma istotnie różne typy zachowań zależnie od wartości a. Jest ono prostą reprezentacją dynamiki populacji jakiegoś gatunku. xn to ilość osobników w roku n, a średnie tempo reprodukcji. Zbadajmy funkcję: f(x) = ax(1-x) Punkty stałe tej zależności: xs = f(xs ) xs = 0 i xs = 1 - 1/a W zależności od zachowania f(x) w otoczeniu punktów stałych punkt ten będzie stabilny lub nie. Rozwiązania będą zbieżne do stabilnych punktów stałych i rozbieżne względem niestabilnych (odwzorowanie będzie dążyć (ewoluować) do tych punktów).

8 Zbadajmy sekwencję iteracji odwzorowania logistycznego dla a=0. 8Zbadajmy sekwencję iteracji odwzorowania logistycznego dla a=0.8. Przyjmijmy x0 = 0.5 i kolejno przecięcie linią pionową wykresu funkcji wyznacza jej wartość, pozioma linia z punktu przecięcia przecina przekątną pierwszej ćwiartki (prosta o tg=1) i zmienia xn+1 na xn. Pionowa linia przecina parabolę itd. Ciąg iteracji zmierza do stabilnego stałego punktu xs = 0. Dla a = 2.5. Przekątna pierwszej ćwiartki przecina parabolę w obu punktach stacjonarnych: xs = 0 i xs = Punkt xs = 0 jest niestabilny, xs = 0.6 a=0.8 a=2.5

9 Dla a=3 zachodzi bifurkacjaDla a=3 zachodzi bifurkacja. Oba punkty stałe są niestabilne i iteracje zbiegają się do cyklu granicznego oscylującego miedzy xs1 i xs2. Wartości xs1 i xs2 obliczane są z wzoru: xs2 = a xs1(1- xs1) xs1 = a xs2(1- xs2) Okres oscylacji podwaja się z jednej dla a<3 do dwu iteracji, dla a>3. Iteracje o podwójnym cyklu granicznym można śledzić Cykl graniczny oscyluje miedzy xs1 = i xs2 = Graniczny cykl n=2 zachodzi w przedziale 3 Dla a = zachodzi następny rzut bifurkacji, okres znów się podwaja. Iteracje oscylują miedzy xs1 = 0.403, xs2 = 0.835, xs3 = i xs4 = Cykl z n = 4 zachodzi w przedziale < a < Dla dużych wartości a zachodzą cykle graniczne wyższego rzędu: 3 < a < n= < a < n=4 < a < n= < a < n=16 < a < n= < a < n=64 < a < n=

10 Rzut podwajania okresu bifurkacji zachodzi dla ciągu ak, który aproksymacyjne spełnia zależność Feigenbauma: ak = F-k gdzie F = jest stałą Feigenbauma. Aproksymacja jest tym lepsza im wyższe k. Ta zależność wskazuje na fraktalne - niezmiennicze ze względu na skalę, zachowanie dla ciągu podwajania okresu bifurkacji. Relacja Feigenbauma może być zapisana w postaci: a = (Fak+1- ak)/(F-1) Wartości ciągu podwajania okresu mogą być użyte do przewidzenia zachowania chaotycznego w a. Dla wartości a > a wchodzi się w rejon w którym aperiodyczne i periodyczne atraktory są naprzemienne. Dla atraktorów aperiodycznych występuje chaos.

11 Wykładnik Lyapunowa l Zachowanie chaotyczne może być opisane ilościowo w terminologii wykładnika potęgowego Lyapunowa l. Jest on miarą prędkości z jaką rozbiegają się trajektorie w przestrzeni fazowej. Gdy dxn przyrost po n-tej iteracji, dx0 przyrost wartości początkowej definiuje się go: dxn = dx02ln Gdy wykładnik Lyapunowa jest ujemny, rozwiązania są zbieżne i deterministyczne, gdy jest dodatni rozwiązania rozchodzą się potęgowo i pojawia się chaos. Dla odwzorowania logistycznego wykładnik Lyapunowa wynosi

12 Wykres wykładnika Lyapunowa dla odwzorowania logistycznego dla przedziału 3.4 < a < 4.0Dobrze zilustrowane jest okno zachowania chaotycznego dla przedziału < a < 4.0, gdzie l jest dodatnie. Wykładnik Lyapunowa spada do zera w każdym rzucie bifurkacji.

13 Dla a = 4 iteracje odwzorowania logistycznego:xn+1= 4xn (1-xn ) dla x [0,1] można wyrazić analitycznie obierając x0 = sin2pb ( 0 Z podstawienia otrzymujemy: x1 = 4sin2 pb (1 - sin2 pb) = sin2 2pb W n-tej iteracji: xn = sin22npb Przyjmując, że b nie jest liczbą całkowitą wartości xn zmieniają się losowo i otrzymuje się w pełni chaotyczne zachowanie. Iteracje dla a=4 dxn=2sin(2n pb)cos(2n pb)2npdb dx0=2sinpbcospbpdb Stąd: wykładnik Lyapunowa dla tego specyficznego przypadku jest 1 - iteracja jest w pełni chaotyczna.