1 Cristalografía Fundamentos y Aplicaciones Clase VIII – 20/10/2016

2 Cristalografía, fundamentos y aplicaciones Cristalografia de Rayos X Postulados sobre simetría en solidos Generación de Rayos X Análisis Morfológico Cristales Medición de estructura - patrón de difracción Resolución y refinado de estructura Obtención de cristales Análisis, validación y publicación de resultados Búsqueda en Base de Datos Colimación Rayos X Incidencia sobre la muestra Generación y monocromatizaci ó n de Rayos X Detección difracción Seguridad

3 Cristalografía, fundamentos y aplicaciones Cristalografia de Rayos X Postulados sobre simetría en solidos Generación de Rayos X Análisis Morfológico Cristales Medición de estructura - patrón de difracción Resolución y refinado de estructura Obtención de cristales Análisis, validación y publicación de resultados Búsqueda en Base de Datos Colimación Rayos X Incidencia sobre la muestra Generación y monocromatizaci ó n de Rayos X Detección difracción Seguridad

4 Dispersión de los rayos X Los rayos X son dispersados por los electrones contenidos en los átomos, y esta dispersión (que se realiza en forma de ondas en todas las direcciones del espacio) tiene diferentes intensidades (amplitudes), dependiendo del número de electrones (densidad electrónica) que están contribuyendo a esa onda

5 Tomando como origen un punto del conjunto atómico, y considerando una determinada dirección de dispersión, cada una de las ondas dispersadas en esa misma dirección se puede representar por una función matemática, cuya amplitud depende de la densidad electrónica ρ(r) existente el punto en donde se origina, siendo S una magnitud que depende del ángulo en el que ocurre la dispersión. Dispersión de los rayos X

6 La onda total dispersada en cada una de las direcciones es la suma de todas las ondas individuales que dispersan en esa misma dirección, f(S), y su intensidad (amplitud) dependerá de las relaciones de fase entre cada una de las ondas, lo cual es dependiente de r (las distancias entre los puntos en donde se originan). Y esto ocurrirá para todas y cada una de las direcciones del espacio Dispersión de los rayos X

7 Si colocamos un detector para observar las ondas dispersadas, f(S), obtendremos un conjunto de zonas de claroscuros. Dispersión de los rayos X Este "mapa" de ondas dispersadas (con su forma e intensidad) contiene información sobre la distribución de los átomos que lo han originado. Matemáticamente, este mapa se representa por la función f(S), que es la transformada de Fourier de la distribución de átomos que dispersan los rayos X

8 Difracción de los rayos X Cuando los conjuntos de átomos dispersores se agrupan de un modo ordenado, es decir, en forma de un cristal, éste se comporta como un amplificador muy eficaz de la dispersión En estas circunstancias, los efectos de la dispersión se concentran en determinadas zonas, muy definidas y regularmente distribuidas, efecto que conocemos como difracción. La difracción, como efecto amplificado, nos permite obtener una información, mucho más rica que la dispersión, sobre la distribución electrónica que la origina. Ley de Bragg: 2 d sen  = n Del orden de 10 15 celdas unidad en una muestra cristalina de 0.5 mm de espesor medio

9 r = R + r' = (m a + n b + p c) + (x a + y b + z c) Cualquier punto reticular (nudo de la red) puede describirse mediante un vector que sea combinación lineal entera de los ejes reticulares directos Los puntos no reticulares se podrán alcanzar a partir del vector R más próximo y añadiéndole las fracciones de eje reticular que correspondan para llegar x, y, z representan a las correspondientes fracciones adimensionales X/a, Y/b, Z/c, y X, Y, Z las correspondientes longitudes. Difracción de los rayos X

10 Ley de Bragg: 2 d sen  = n En la muestra se producen haces difractados con una intensidad: I e es la intensidad dispersada por un electrón I L es el efecto de interferencia externa debido a la estructura tridimensional en red I F es el cuadrado del llamado factor de estructura, que viene a dar cuenta del efecto de interferencia interna debido a las relaciones de fase geométrica entre todos los átomos incluídos en la celdilla unidad debido a la representación compleja de las ondas, el cuadrado de un complejo se obtiene multiplicando al complejo por su conjugado

11 Factor de Estructura base de la red de Bravais El total de haces dispersados por una celda primitiva es la sumatoria de los haces individuales, y la intensidad de los mismos está relacionada con el factor de estructura vector de la red recíproca El factor de estructura relaciona la periodicidad de la red real con el tipo de interferencia (constructiva o destructiva) de los haces dispersados

12 Intensidad Total Las condiciones de máximo debido a la repetición en red, traen como consecuencia que: Las direcciones y la repetición de la red que forma el espectro no dependen del factor de estructura, es decir, sólo dependen de la red directa. El conocimiento de estas direcciones permite conocer la forma y el tamaño de la celda unidad directa, que así controla la posición de los máximos de difracción. La intensidad de los máximos depende del valor del factor de estructura en esa dirección, es decir, en ese punto recíproco, y estos máximos sólo dependen del contenido de la distribución atómica dentro de la celda unidad, que es lo que controla las intensidades de los máximos. Es decir, dan información sobre la estructura atómica dentro de la celda unidad.

13 Intensidad Total Las condiciones de máximo debido a la repetición en red, traen como consecuencia que: El espectro total de difracción es el efecto de difracción del agregado atómico que forma la celda unidad muestreado en los puntos del espectro de difracción de la red cristalina que lo estructura. En resumen, la Cristalografía estructural por difracción de rayos X, consiste en: 1) Medir las intensidades de la mayor cantidad posible de haces difractados del espectro tridimensional de difracción 2) Obtener de ellas los módulos de los factores de estructura 3) Con esos valores, reconstruir la distribución electrónica en la celda elemental, cuyos máximos corresponderán a las posiciones atómicas

14 El problema de las fases Conocer la estructura interna de un cristal supone poder resolver una función matemática que define la denominada "densidad electrónica" función que está definida en cada punto de la celda unidad (tiene un valor determinado en cada punto (x, y, z)) donde toma valores máximos (estimados en términos de "electrones por Angstrom cúbico") es en donde estarán localizados los átomos que componen un cristal, dándonos por lo tanto la localización de los mismos.

15 El problema de las fases F(hkl), factores de estructura, representa a las ondas resultantes de la dispersión de todos los átomos en cada una de las direcciones. Sus módulos están directamente relacionados con las intensidades de las reflexiones del patrón de difracción. h, k, l son los índices de Miller de las reflexiones y Φ(hkl) representa las denominadas "fases" de las reflexiones (las fases de unas ondas respecto de otras). En teoría la suma debería extenderse desde -∞ hasta +∞, pero el patrón de difracción (= espacio recíproco = número de factores de estructura) es finito, por lo que el sumatorio contiene pequeños errores de truncamiento.

16 El problema de las fases Representa la transformada de Fourier entre el espacio real (en donde están los átomos) representado por la función ρ y el espacio recíproco (en donde está el patrón de difracción) representado por los factores de estructura y sus fases. La difracción tiene un carácter "holísitico", ya que para obtener el valor de la densidad electrónica en un sólo punto de coordenadas (xyz) es necesario sumar las contribuciones de todos los factores de estructura.

17 El problema de las fases No podemos calcular la densidad electrónica directamente, partiendo de los datos medidos, porque nos faltan las fases. Este hecho condiciona nuestra manera de analizar estructuras empleando datos de difracción. Tenemos que seguir un proceso de modelización. No se pueden medir

18 El problema de las fases

19 Métodos Computacionales Evaluar el patrón de difracción para obtener los parámetros reticulares (celdilla elemental), simetría (grupo espacial) e intensidades de difracción Extinciones sistemáticas

20 El problema de las fases Métodos Computacionales Si las fases son correctas, la función de densidad electrónica ρ(xyz) mostrará una distribución de máximos interpretable y compatible con una estructura con sentido esteroquímico, y a partir de ese momento sólo restarán algunos pasos adicionales (construcción detallada del modelo, ajuste matemático y validación estereoquímica) que nos conducirán al denominado modelo final de la estructura.

21 El problema de las fases (1)Medir las intensidades difractadas. (2)“Derivar” (inventar?) un modelo estructural y calcular los datos "F calc " derivados del modelo – los “datos modelo.” (3)Comparar los datos observados y calculados. (1) (2) (3) Si el número R1 es pequeño, se entiende que el modelo estructural es "correcto."

22 El problema de las fases El modelo estructural en detalle: Consiste en átomos discretos, e involucra todos los átomos de una celda unidad. Cada átomo es esférico. Sus propiedades de dispersión se representa por el factor atómico de forma (o factor de dispersión), f j. Cada átomo tiene una ubicación media, representada por sus coordenadas cristalográficas fraccionarias, xyz. Cada átomo sufre desplazamiento en torno a su posición media. El desplazamiento puede ser isótropo o anisótropo y se representa por los parámetros de desplazamiento U iso o alternativemente U ij si es anisótropo. Calculamos los datos modelo (F calc,hkl ) con esta ecuación:

23 Resolución Estructural Llamamos “resolución de la estructura” a la obtención de las coordenadas e identidad elemental de los primeros átomos del modelo estructural. Los métodos más comunes de resolución estructural son Métodos directos Métodos de Patterson Inversión de carga (Charge Flipping) Tener en cuenta que estamos empezando con los datos y sin ninguna formula que relacione directamente los datos con el resultado deseado.

24 Resolución Estructural - La geometría de la difracción (la dirección en la que salen los haces difractados) depende del tamaño de la forma de la celda unidad. - Las intensidades de los haces difractados dependen del contenido de la celda unidad.

25 Patterson La función de Patterson, supone una simplificación de la información contenida en la función de densidad electrónica, ya que suprime la información de las fases, y los módulos de los factores de estructura se sustituyen por sus cuadrados. Es una función que puede calcularse de inmediato a partir de la información experimental de que se dispone (las intensidades, que a su vez se derivan de los módulos de los factores de estructura). Función de densidad electrónica calculada en el punto (x,y,z) Función de Patterson calculada en el punto (u, v, w) Desde el punto de vista matemático, la función de Patterson es equivalente a la convolución de la función de la densidad electrónica con su inversa: ρ(x,y,z) * ρ(-x,-y,-z).

26 Convolucion En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen, f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo. La convolución de f y g se denota f*g. Se define como la integral del producto de ambas funciones después de que a una le damos una especie de vuelta y la trasladamos

27 Convolucion Este símbolo significa transformada de Fourier. Este símbolo significa multiplicación punto por punto. Este símbolo significa convolución. La transformada de Fourier de una convolución de dos funciones es el producto, punto por punto, de las transformadas Fourier de las dos funciones.

28 Patterson La información que proporciona la función de Patterson es un mapa de vectores de posición entre átomos (posiciones relativas). Los máximos de la función de Patterson son tanto más altos cuanto mayores sean los números de electrones de los átomos implicados, lo cual supone una gran ventaja en el caso de moléculas que contengan especies de número atómico alto. Calculada dicha función, P(uvw), se trata de interpretarla correctamente (obtener la posición absoluta de algunos átomos) para, indirectamente, alcanzar el conocimiento necesario de las fases Φ(hkl) Función de densidad electrónica calculada en el punto (x,y,z) Función de Patterson calculada en el punto (u, v, w)

29 Patterson Si el espacio cristalino (en donde están los átomos) está definido por el valor de la función ρ en cada punto de la celda de coordenadas x, y, z, la función de Patterson P está definida en un nuevo espacio, denominado espacio de Patterson, también periódico y definido por una celda elemental de dimensiones idénticas a la del cristal, pero cuyos puntos vienen definidos por coordenadas genéricas u, v, w, de tal modo que cualquier pareja de átomos, situados en coordenadas (x 1, y 1, z 1 ) y (x 2, y 2, z 2 ), tendrá un vector de Patterson interatómico (máximo de la función de Patterson) que vendrá dado por las coordenadas: u = x 1 - x 2 ; v= y 1 - y 2 ; w = z 1 - z 2

30 Patterson Para obtener gráficamente esta función a partir de la estructura conocida de un cristal (figura izquierda) se trazan todos los vectores posibles entre cada pareja de átomos (figura central). Luego se trasladan paralelos a sí mismos al origen de la celda de la función de Patterson (figura derecha). Los extremos de dichos vectores corresponden a los valores máximos de la función de Patterson, cuyas alturas son proporcionales al producto de los números atómicos de los átomos implicados. En el origen (las esquinas de la celda) existe un máximo muy alto que corresponde al vector interatómico de cada átomo consigo mismo, de coordendas [0, 0, 0].

31 Patterson Para obtener gráficamente esta función a partir de la estructura conocida de un cristal (figura izquierda) se trazan todos los vectores posibles entre cada pareja de átomos (figura central). Luego se trasladan paralelos a sí mismos al origen de la celda de la función de Patterson (figura derecha). Los extremos de dichos vectores corresponden a los valores máximos de la función de Patterson, cuyas alturas son proporcionales al producto de los números atómicos de los átomos implicados. En el origen (las esquinas de la celda) existe un máximo muy alto que corresponde al vector interatómico de cada átomo consigo mismo, de coordendas [0, 0, 0].

32 Patterson Ejemplo. cis-PtCl 2 (CH 3 CN) 2. Grupo espacial P2 1 /c. (x,y,z) (-x,-y,-z) (x,0.5-y,0.5+z) (-x,0.5+y,0.5-z) Patterson Map for cis-PtCl2(CH3CN)2. X Y Z Weight Peak Sigma Length 1 0.0000 0.0000 0.0000 4. 999. 60.85 0.00 2 0.0000 0.0521 0.5000 2. 454. 27.65 5.15 3 0.3984 0.5000 0.9445 2. 408. 24.84 6.83 4 0.3967 0.4482 0.4444 1. 226. 13.78 7.21 5 0.2357 0.0000 0.4007 2. 110. 6.70 3.96 6 0.3535 0.5000 0.6429 2. 107. 6.53 7.88 7 0.0690 0.1585 0.9390 1. 87. 5.31 2.15 8 0.0749 0.1158 0.4372 1. 81. 4.91 4.59 9 0.2270 0.0617 0.9048 1. 73. 4.42 2.14 Y donde esta el Platino?

33 Patterson Ejemplo. cis-PtCl 2 (CH 3 CN) 2. Grupo espacial P2 1 /c. Patterson Map for cis-PtCl2(CH3CN)2. X Y Z Weight Peak Sigma Length 1 0.0000 0.0000 0.0000 4. 999. 60.85 0.00 2 0.0000 0.0521 0.5000 2. 454. 27.65 5.15 3 0.3984 0.5000 0.9445 2. 408. 24.84 6.83 4 0.3967 0.4482 0.4444 1. 226. 13.78 7.21 5 0.2357 0.0000 0.4007 2. 110. 6.70 3.96 6 0.3535 0.5000 0.6429 2. 107. 6.53 7.88 Para el grupo P2 1 /c, tenemos cuatro operadores de simetría: [1] (x,y,z) [2] (-x,-y,-z) [3] (x,0.5-y,0.5+z) [4] (-x,0.5+y,0.5-z) [3] - [1]: (0, 0.5-2y, 0.5) Así, derivamos la coordenada y del átomo de Pt a base del pico 2. [1] - [4]: (2x, 0.5, 0.5+2z) Asi, derivamos las coordenadas x-, z- a base del pico 3. Deberíamos ver también: [1] - [2]: (2x, 2y, 2z) Comprobar las coordenadas x-, y-, y z- del átomo de Pt empleando el pico 4.

34 Patterson Ejemplo. cis-PtCl 2 (CH 3 CN) 2. Grupo espacial P2 1 /c. (x,y,z) (-x,-y,-z) (x,0.5-y,0.5+z) (-x,0.5+y,0.5-z) Patterson Map for cis-PtCl2(CH3CN)2. X Y Z Weight Peak Sigma Length 1 0.0000 0.0000 0.0000 4. 999. 60.85 0.00 2 0.0000 0.0521 0.5000 2. 454. 27.65 5.15 3 0.3984 0.5000 0.9445 2. 408. 24.84 6.83 4 0.3967 0.4482 0.4444 1. 226. 13.78 7.21 5 0.2357 0.0000 0.4007 2. 110. 6.70 3.96 6 0.3535 0.5000 0.6429 2. 107. 6.53 7.88 7 0.0690 0.1585 0.9390 1. 87. 5.31 2.15 8 0.0749 0.1158 0.4372 1. 81. 4.91 4.59 9 0.2270 0.0617 0.9048 1. 73. 4.42 2.14 Coordenadas Atómicas: PT1 5 0.200836 0.222934 0.223831 [1] Átomos relacionados con Pt1 por simetría: (-x,-y,-z): PT1 -0.200836 -0.222934 -0.223831 [2] (-x, 0.5+y, 0.5-z): PT1 -0.200836 0.722934 0.276169 [3] (x, 0.5-y, 0.5+z): PT1 0.200836 0.277066 0.723831 [4]

35 Patterson Ejemplo. cis-PtCl 2 (CH 3 CN) 2. Grupo espacial P2 1 /c. (x,y,z) (-x,-y,-z) (x,0.5-y,0.5+z) (-x,0.5+y,0.5-z) Patterson Map for cis-PtCl2(CH3CN)2. X Y Z Weight Peak Sigma Length 1 0.0000 0.0000 0.0000 4. 999. 60.85 0.00 2 0.0000 0.0521 0.5000 2. 454. 27.65 5.15 3 0.3984 0.5000 0.9445 2. 408. 24.84 6.83 4 0.3967 0.4482 0.4444 1. 226. 13.78 7.21 5 0.2357 0.0000 0.4007 2. 110. 6.70 3.96 6 0.3535 0.5000 0.6429 2. 107. 6.53 7.88 7 0.0690 0.1585 0.9390 1. 87. 5.31 2.15 8 0.0749 0.1158 0.4372 1. 81. 4.91 4.59 9 0.2270 0.0617 0.9048 1. 73. 4.42 2.14 Coordenadas Atómicas: PT1 5 0.200836 0.222934 0.223831 [1] Átomos relacionados con Pt1 por simetría: (-x,-y,-z): PT1 -0.200836 -0.222934 -0.223831 [2] (-x, 0.5+y, 0.5-z): PT1 -0.200836 0.722934 0.276169 [3] (x, 0.5-y, 0.5+z): PT1 0.200836 0.277066 0.723831 [4]

36 Patterson Ejemplo. cis-PtCl 2 (CH 3 CN) 2. Grupo espacial P2 1 /c. (x,y,z) (-x,-y,-z) (x,0.5-y,0.5+z) (-x,0.5+y,0.5-z) Patterson Map for cis-PtCl2(CH3CN)2. X Y Z Weight Peak Sigma Length 1 0.0000 0.0000 0.0000 4. 999. 60.85 0.00 2 0.0000 0.0521 0.5000 2. 454. 27.65 5.15 3 0.3984 0.5000 0.9445 2. 408. 24.84 6.83 4 0.3967 0.4482 0.4444 1. 226. 13.78 7.21 5 0.2357 0.0000 0.4007 2. 110. 6.70 3.96 6 0.3535 0.5000 0.6429 2. 107. 6.53 7.88 7 0.0690 0.1585 0.9390 1. 87. 5.31 2.15 8 0.0749 0.1158 0.4372 1. 81. 4.91 4.59 9 0.2270 0.0617 0.9048 1. 73. 4.42 2.14 Coordenadas Atómicas: PT1 5 0.200836 0.222934 0.223831 [1] Átomos relacionados con Pt1 por simetría: (-x,-y,-z): PT1 -0.200836 -0.222934 -0.223831 [2] (-x, 0.5+y, 0.5-z): PT1 -0.200836 0.722934 0.276169 [3] (x, 0.5-y, 0.5+z): PT1 0.200836 0.277066 0.723831 [4]

37 Patterson Ejemplo. cis-PtCl 2 (CH 3 CN) 2. Grupo espacial P2 1 /c. (x,y,z) (-x,-y,-z) (x,0.5-y,0.5+z) (-x,0.5+y,0.5-z) Patterson Map for cis-PtCl2(CH3CN)2. X Y Z Weight Peak Sigma Length 1 0.0000 0.0000 0.0000 4. 999. 60.85 0.00 2 0.0000 0.0521 0.5000 2. 454. 27.65 5.15 3 0.3984 0.5000 0.9445 2. 408. 24.84 6.83 4 0.3967 0.4482 0.4444 1. 226. 13.78 7.21 5 0.2357 0.0000 0.4007 2. 110. 6.70 3.96 6 0.3535 0.5000 0.6429 2. 107. 6.53 7.88 7 0.0690 0.1585 0.9390 1. 87. 5.31 2.15 8 0.0749 0.1158 0.4372 1. 81. 4.91 4.59 9 0.2270 0.0617 0.9048 1. 73. 4.42 2.14 Coordenadas Atómicas: PT1 5 0.200836 0.222934 0.223831 [1] Átomos relacionados con Pt1 por simetría: (-x,-y,-z): PT1 -0.200836 -0.222934 -0.223831 [2] (-x, 0.5+y, 0.5-z): PT1 -0.200836 0.722934 0.276169 [3] (x, 0.5-y, 0.5+z): PT1 0.200836 0.277066 0.723831 [4]

38 Patterson Ejemplo. cis-PtCl 2 (CH 3 CN) 2. Grupo espacial P2 1 /c. (x,y,z) (-x,-y,-z) (x,0.5-y,0.5+z) (-x,0.5+y,0.5-z) Patterson Map for cis-PtCl2(CH3CN)2. X Y Z Weight Peak Sigma Length 1 0.0000 0.0000 0.0000 4. 999. 60.85 0.00 2 0.0000 0.0521 0.5000 2. 454. 27.65 5.15 3 0.3984 0.5000 0.9445 2. 408. 24.84 6.83 4 0.3967 0.4482 0.4444 1. 226. 13.78 7.21 5 0.2357 0.0000 0.4007 2. 110. 6.70 3.96 6 0.3535 0.5000 0.6429 2. 107. 6.53 7.88 7 0.0690 0.1585 0.9390 1. 87. 5.31 2.15 8 0.0749 0.1158 0.4372 1. 81. 4.91 4.59 9 0.2270 0.0617 0.9048 1. 73. 4.42 2.14 Coordenadas Atómicas: PT1 5 0.200836 0.222934 0.223831 [1] Átomos relacionados con Pt1 por simetría: (-x,-y,-z): PT1 -0.200836 -0.222934 -0.223831 [2] (-x, 0.5+y, 0.5-z): PT1 -0.200836 0.722934 0.276169 [3] (x, 0.5-y, 0.5+z): PT1 0.200836 0.277066 0.723831 [4]

39 Métodos Directos El hecho de que la densidad electrónica deba ser cero o positiva, en cualquier punto de la celda cristalina, y la atomicidad de las moléculas, genera ciertas limitaciones en la distribución de fases asociada a los factores de estructura. Los métodos directos están basados en el establecimiento de sistemas de ecuaciones que usan las intensidades de los haces difractados y que describen dichas limitaciones. La resolución de dichos sistemas de ecuaciones proporciona información directa sobre la distribución de fases. Puesto que la validez de cada una de estas ecuaciones se establece en términos probabilísticos, es necesario disponer de un gran número de ecuaciones que sobredeterminen los valores de las incógnitas (fases Φ(hkl)). Suposición: Todos los átomos son del mismo elemento.

40 Métodos Directos Se trata de usar ecuaciones que relacionan la fase de una reflexión (hkl) con las de otras reflexiones vecinas (h',k,'l' y h-h',k-k',l-l') Cuyas fases son probablemente ciertas (P):

41 Métodos Directos en donde E hkl, E h´k´l´ y E h-h',k-k',l-l' son los denominados factores de estructura normalizados, es decir, factores de estructura corregidos por las vibraciones térmicas de los átomos, puestos en la llamada escala absoluta y suponiendo que los átomos son puntuales. La "normalización" de los factores de estructura convierte los valores |F| medidos, en coeficientes (conocidos como valores |E|) supuestamente producidos por átomos puntuales en reposo. Para una reflexión, saco el promedio de "su cascara" y me fijo si es importante o no

42 Métodos Directos Si conocemos las fases de dos reflexiones podemos calcular la fase de una tercera reflexión.

43 ¿Como calculamos las fases en la realidad? (1) Primero, hallar todas las relaciones de triple fase (TPR, “triple phase relationships”) en el conjunto de datos o un subconjunto de los datos más fuertes. (2) Hallar el grupo pequeño de las reflexiones que figuran en el mayor número de relaciones triples (TPR). Este grupo se llamara el “conjunto de partida” (“starting set”). (3) Generar fases aleatorias para las reflexiones del conjunto de partida y, partiendo de estas, calcular fases para las demás reflexiones. Ya que tendremos muchas TPR para calcular la fase de una reflexión determinada, usamos la formula tangente, que nos proporciona el valor más probable de la fase que estamos calculando. (4) Repetir el paso (3) con otras fases aleatorias para el conjunto de partida. Repetir 32, 100, 2000... veces con fases de partida diferentes. (5) Identificar el resultado correcto, teniendo en cuenta que puede que haya más de un resultado correcto entre los muchos conjuntos de fases que hemos generado. Métodos Directos

44 Charge Flipping En este método, que se puede calificar de ‘métodos directos’ o de un ‘método ab initio,’ vamos a calcular la densidad electrónica en cada punto de una celda entera y sin considerar la simetría que pueda existir. Procedimiento: (1) Asignar una fase aleatoria a cada factor de estructura (Fhkℓ), sin ninguna suposición pero respetando la relación entre F(hkℓ) y F(-h,-k,-ℓ), es decir: (2) Calcular la densidad electrónica en cada punto de la cuadrícula, es decir, en cada punto dentro de la celda unidad:

45 Charge Flipping (3) Para cada punto (xyz) que sale con su densidad por debajo de un umbral , cambiar el signo de la densidad electrónica: Si  (xyz) < ,  (xyz) changed to –  (xyz). (4) Volver a calcular los factores de estructura, a base de los nuevos valores de  (xyz): (5) Sustituir la fase de F(new,hkℓ) por la fase aleatoria asignada en (1) y volver a punto (2), es decir calcular  (xyz) de nuevo.

46 Charge Flipping invertir (flip) FFT FFT-1 FFT: “Fast Fourier Transform” FFT-1 : Si  (xyz) < , cambiar signo de  (xyz). Empezamos aquí, con fases  (hkℓ) generadas al azar

47 Charge Flipping invertir (flip) FFT FFT-1 Si  (xyz) < , cambiar signo de  (xyz). Se va midiendo un parámetro de concordancia R1 - Iteración Ab initio structure solution by charge flipping, G. Oszlányi & A. Sütó (2004). Acta Cryst. A60, 134-141.

48 Macromoléculas En cristales que contienen moléculas grandes, proteínas o enzimas, el problema de la fase puede resolverse mediante tres métodos, dependiendo del caso: (i) introduciendo átomos altamente dispersores, o método del Reemplazo Isomorfo Múltiple (MIR, del inglés, Multiple Isomorphous Replacement), y por lo tanto basado en el método de Patterson (ii) introduciendo átomos dispersores anómalos, o método de Difracción Anómala Múltiple (MAD, del inglés Multi-wavelength Anomalous Diffraction) (iii) mediante el Reemplazo Molecular (MR, del inglés Molecular Replacement), haciendo uso de un modelo estructural de una proteína homóloga, previamente determinada.

49 Reemplazo Molecular "El método de reemplazo molecular consiste en el empleo de una molécula de estructura conocida para calcular las fases iniciales de una segunda molécula con elementos estructurales comunes con la primera. Este es el método más usado para determinar la estructura de macromoléculas como las proteínas, ya que muchas de ellas se agrupan en familias con una estructura similar o forman complejos supramoleculares en los que se conoce la estructura de una o más componentes. "La desventaja del reemplazamiento molecular es que las fases obtenidas están sesgadas hacia la estructura utilizada como punto de partida, lo que no ocurre con las técnicas basadas enteramente en los datos de difracción experimentales y conocimiento a priori de las propiedades químicas o estructurales del material. El éxito de este método depende de algoritmos sofisticados para detectar y eliminar este sesgo durante el refinamiento de las fases." Revision: E. Dodson (2008). Acta Cryst. D64, 17-24. The befores and afters of molecular replacement.

50 Hasta acá: Resolución de estructura (obtener los primeros átomos) Ahora: Refinamiento de estructura (completar y mejorar el modelo)

51 Refinamiento Puede pasar, con el uso de los métodos directos o con el método de inversión de carga, que el modelo quede incompleto, es decir no todos los átomos aparecen. Cuando el primer átomo o los primeros átomos se encuentran por métodos de Patterson, suele ser el caso.

52 Aplicación de las síntesis de Fourier (Fo) Cuando faltan átomos, es común localizarlos empleando el mapa Fourier de diferencias. El procedimiento normal es afinar el modelo parcial con mínimos cuadrados y luego buscar átomos en un mapa Fourier de diferencias. Si el modelo parcial es lo suficientemente completo y correcto, las fases calculadas a partir de este modelo,  calc (o  c ), serán lo suficientemente correctas para permitir transformadas Fourier útiles. Por ejemplo, el “Fourier F o ” (o “Fourier F obs ”) puede dar una imagen de toda la estructura, incluso todos o algunos de los átomos que faltan.

53 Mapas de Densidad Electrónica

54 Aplicación de las síntesis de Fourier (Fo-Fc) El mapa Fourier de diferencias “Fourier F o - F c ” (o “Fourier  F”) puede dar una imagen de los átomos que faltan. La eficacia de esta síntesis Fourier depende de la calidad de las fases calculadas,  c. Si el modelo parcial consiste en un átomo pesado, suele funcionar. Si no hay átomos pesados, se estima que hace falta tener una fracción importante de la densidad electrónica correctamente modelizada. Puede ser 50%, pero es variable.

55 Aplicación de las síntesis de Fourier (Fo-Fc) Los puntos con etiquetas “Q…” representan máximos en la densidad  xyz. El uso del mapa Fourier de diferencias es la técnica más común para localizar experimentalmente los átomos que faltan en un modelo estructural incompleto.

56 Si dejamos dos átomos H fuera del cálculo de F calc (H3A, H4A) y calcular un mapa Fourier de diferencias, podemos evaluar la veracidad de las posiciones de estos dos átomos H. Este uso especial del mapa de diferencias se llama un “omit map.” Mapas de Densidad Electrónica

57 Aplicación de las síntesis de Fourier (2Fo-Fc) Sin embargo, en el análisis estructural de “moléculas pequeñas,” el uso del mapa Fourier de diferencias es la técnica más común para localizar experimentalmente los átomos que faltan en un modelo estructural incompleto. Mapa de Fourier combinado. Es la suma de la densidad electrónica calculada a partir de |F o | y  c, más la densidad de diferencias calculada a partir de (|F o | - |F c |) y  . Este mapa aumenta la visibilidad de los átomos que faltan, sin cambiar los que ya están.

58 Refinamiento “La estructura” es, en realidad, un modelo paramétrico. Cada átomo tiene tres características principales: su identidad elemental, reflejada en f j, sus coordenadas xyz y sus parámetros de desplazamiento U ij.

59 Refinamiento Además de los parámetros atómicos, “el modelo” incluye la formula para calcular F calc,hkl, los “datos modelo.” En general tenemos más datos que parámetros, normalmente del orden de 10 datos o más por parámetro. El modelo óptimo sale de un ajuste de los parámetros según el principio de mínimos cuadrados.

60 Metodología de cuadrados mínimos Calculamos los "datos modelo" con esta expresión, incluyendo los parámetros atómicos del modelo. Puesto que el modelo es paramétrico, en principio lo podemos mejorar ajustando los paramétros para minimizar las diferencias entre los datos observados y los datos calculados (datos modelo). Siguiendo el principio de mínimos cuadrados, queremos minimizar la suma de los cuadrados de las discrepancias ponderadas entre los datos observados y los calculados. o si empleamos los datos de intensidad en vez de los facturas de estructura:

61 Metodología de cuadrados mínimos modelo: Estamos minimizando: o esta función: (en ShelxL, p.e.) Cada dato tiene su ponderación (weight) w hkl en el cálculo. En primera aproximación, w hkl es el inverso de la varianza  2 (F 2 ) de la medida de F 2. Es decir, cuanto mejor medido es el dato (varianza más pequeña), mayor ponderación tendrá en los mínimos cuadrados.

62 Factores de acuerdo y otros indicadores del ajuste "Los residuos de mínimos cuadrados" o "Indices de Acuerdo" ¿De qué calidad es el acuerdo entre los datos experimentales y los datos calculados (datos modelo)? Factor R sin ponderación ("Unweighted R-factor") Residuo ponderado, o Factor R ponderado ("Weighted R-factor") Calidad de ajuste ("Quality of fit") Para un análisis bueno, estos indicadores pueden tener valores de: R1 < 0.13; wR2 ≈ 0.10; q.o.f. ≈ 1.0. Estos números solo son orientativos.

63 Esquema general de nuestro uso de los mínimos cuadrados: Refinar los parámetros encontrados en la resolución (métodos directos, etc.), que serán átomos no-H con Uiso. Calcular mapa de diferencias para localizar átomos que falten, si los hay. Repetir el refino hasta convergencia isótropa, cambiar los átomos no-H en anisótropos y refinar. Localizar los átomos H en mapas de diferencias o alternativamente calcular sus posiciones. Sus U serán isótropas y posiblemente vinculadas a los U de sus átomos portadores. Repetir el ciclo de refinamiento y mapas de diferencias hasta que 1) no haya más cambios en los parámetros variables – convergencia – y hasta que 2) no quede ninguna densidad electrónica con significado estructural. Refinamiento

64 Esquema general de nuestro uso de los mínimos cuadrados: Repite el ciclo de afinamiento y mapas de diferencias hasta que 1) no haya más cambios en los parámetros variables – convergencia – y hasta que 2) no quede ninguna densidad electrónica con significado estructural. Convergencia: ningún parámetro cambia más de 0.01  siendo  su desviación estándar (standard uncertainty, s.u.). Mapa diferencias: ningún pico mayor a 1e - / Å 3 Refinamiento

65 Una estructura de 30 átomos se mide con 1200 reflexiones hkl y se refina de dos maneras diferentes: 1) Con 4 parámetros por cada átomo independiente (x,y,z y B(factor isotrópico de temperatura). Rfinal: 0.038 2) Con 9 parámetros por cada átomo independiente (x,y,z y las seis componentes del factor anisotrópico de temperatura). Rfinal: 0.032. ¿Cual de los dos modelos obtenidos le parece más confiable, y porqué? Refinamiento

66 Restricciones geométricas Puede pasar que el refino normal no define bien a todos los átomos, o que unas características que deben salir iguales, p.e., las distancias de enlace dentro de un grupo fenilo, no salen iguales. Podemos modificar el cálculo de los mínimos cuadrados de dos maneras principales para tratar con dificultades de este tipo: Podemos cambiar el esquema de parameterización, definiendo enlaces rígidos, grupos rígidos y otras construcciones útiles. (Ligaduras rígidas, “constraints”.) Podemos agregar nuevas observaciones a los datos, referentes a las distancias u otras ligaduras que queramos utilizar. (Ligaduras blandas, “restraints”.)

67 Restricciones geométricas Constraints (cambio de los parámetros del modelo) Si no hay datos suficientes. Si la calidad de los datos no permite refino libre. Hay numerosos tipos de reparametrización, además del grupo rígido. Es de esperar que un grupo fenilo como C3 – C8 se porte como un grupo rígido. Si hay motivo, podemos refinar como grupo rígido con tres coordenadas xyz y con tres rotaciones, dejando de refinar las coordenadas de los átomos individuales. Ahorramos 12 parámetros.

68 Restricciones geométricas Constraints (cambio de los parámetros del modelo) Si no hay datos suficientes. Si la calidad de los datos no permite refino libre. Hay numerosos tipos de reparametrización, además del grupo rígido. Enlaces rígidos, “átomo jinete” o cabalgando. Parámetro de desplazamiento U iso de un átomo H ligado rígidamente a los U ij de su átomo portador.

69 Restricciones geométricas Constraints (cambio de los parámetros del modelo) Si no hay datos suficientes. Si la calidad de los datos no permite refino libre. Hay numerosos tipos de reparametrización, además del grupo rígido. fijar parámetros variar parámetros juntos “cabalgar” cabalgar variando distancias grupos rígidosgrupo rígido de tamaño variable igualdad entre parámetros xyz igualdad entre parámetros U ij

70 Refinamiento Para la proxima clase Material\Resolucion de Estructuras