1 CUCEI Universidad de Guadalajara“Análisis de la respuesta transitoria” Jorge Rivera Dominguez

2 INTRODUCCIÓN Contando con el modelo matemático de un sistema de control, es conveniente el análisis del desempeño del sistema (Respuesta transitoria y Respuesta en estado estable).

3 INTRODUCCIÓN En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener una base de comparación del desempeño de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada.

4 INTRODUCCIÓN Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería la adecuada; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor.

5 Función impulso unitarioINTRODUCCIÓN Función impulso unitario (en el tiempo) f(t) = d(t) (en la frecuencia) F(s) = 1

6 Función escalón unitarioINTRODUCCIÓN Función escalón unitario (en el tiempo) f(t) = m(t) (en la frecuencia) F(s) = 1/s

7 Función rampa unitariaINTRODUCCIÓN Función rampa unitaria (en el tiempo) f(t) = t (en la frecuencia) F(s) = 1/s^2

8 INTRODUCCIÓN La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.

9 INTRODUCCIÓN Y(t) = YT(t) + YEE(t) Ejemplo: Y(t) = - exp(-2t) + 1

10 INTRODUCCIÓN Si la salida de un sistema de control en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable.

11 INTRODUCCIÓN Se define el orden de un sistema cuya función de transferencia es F(s)=b(s)/a(s) como el grado del polinomio del denominador a(s).

12 SISTEMAS DE PRIMER ORDENConsiderando el sistema de la figura. La relación entrada-salida es la siguiente: Vo/Vi = 1/(Ts+1) donde T es la constante de tiempo definida como T=RC

13 SISTEMAS DE PRIMER ORDENLa figura muestra el diagrama a bloques del sistema de primer orden. A continuación alimentaremos este bloque con algunas de las funciones previamente vistas y analizaremos su salida.

14 SISTEMAS DE PRIMER ORDENPara la entrada impulso unitario Vi(s)=1, se obtiene a la salida del sistema Vo(s)=1/(Ts+1) vo(t)=(1/T)exp(-t/T)

15 SISTEMAS DE PRIMER ORDENEn una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el 86.5% del valor final. En t=3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente del valor final. Para t³4T, la respuesta permanece dentro del valor final.

16 SISTEMAS DE PRIMER ORDENDe la ecuación vo(t)=(1/T)exp(-t/T), se observa que el estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación del tiempo de respuesta para alcanzar el valor final es de cuatro o cinco constantes de tiempo.

17 SISTEMAS DE PRIMER ORDENPara la entrada escalón unitario Vi(s)=1/s, se obtiene a la salida del sistema Vo(s)=1/(Ts+1)s vo(t)=1-exp(-t/T)

18 SISTEMAS DE PRIMER ORDENPara la entrada rampa unitaria Vi(s)=1/s^2, se obtiene a la salida del sistema Vo(s)=1/(Ts+1)s^2 vo(t)=t-T+Texp(-t/T)

19 SISTEMAS DE PRIMER ORDENObservamos que la salida del sistema excitado con la rampa presenta un error de estado estable. e(t)=vi(t)-vo(t) e(t)=T(1-exp(-t/T)) Conforme t®¥ la señal de error tiende a T. Y mientras T sea mas pequeño, también lo será el error.

20 SISTEMAS DE PRIMER ORDENEn el análisis anterior, se demostró que para la entrada rampa unitaria, la salida es vo(t) = t - T + Texp(-t/T) Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida es vo(t) = 1 - exp(-t/T)

21 SISTEMAS DE PRIMER ORDENPor último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida es vo(t)=(1/T)exp(-t/T) Claramente podemos deducir que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original.

22 SISTEMAS DE PRIMER ORDENEsta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales y variantes con el tiempo y los no lineales no poseen esta propiedad.

23 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENFunción de trasferencia Frecuencia de resonancia

24 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENFrecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial Frecuencia resonante natural Factor de amortiguamiento

25 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENSustituyendo Igualando el denominador a cero, obtenemos sus raíces

26 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENExpresando las raíces en la F de T

27 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN1.- Subamortiguado Respuesta transitoria oscilatoria 2.- Amortiguamiento critico Respuesta empieza a oscilar 3.- Sobreamortiguado Respuesta nunca oscila 4.- No amortiguado Respuesta oscilatoria o críticamente estable

28 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENRespuesta del sistema al escalón unitario 1.- Subamortiguado , raíces complejas

29 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENLa señal de error se define como Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada, y en estado estable no existe error.

30 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENSi el factor de amortiguamiento es cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente. 4.- No amortiguado , raíces imaginarias

31 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN2.- Amortiguamiento critico , raíces reales e iguales, en donde Este resultado se obtiene suponiendo que se aproxima a la unidad en la ecuación del caso (1), y usando el límite siguiente

32 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN3.- Sobreamortiguado , raíces reales negativas y diferentes

33 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENEspecificaciones de la respuesta transitoria Tiempo de retardo (Td).- Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del valor final. Tiempo de crecimiento (Tr).- Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 0 al 100% de su valor final o del 10 al 90%.

34 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENTiempo de pico (Tp).- Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso. Máximo sobreimpulso (Mp).- Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad.

35 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENMáximo sobreimpulso porcentual.- Tiempo de establecimiento (Ts).- Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final especificando en porcentaje absoluto del valor final. Se usa generalmente el 5% o 2%

36 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

37 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENPara un criterio del 2% 5%