1 Curs 2009-2010 Geometria Cinemàtica de Mecanismes Robòtics (GCR) Mòdul 2: Estàtica Problemes i qüestions curtes P. Jiménez

2 Exercise 1. The rule of the parallelogram Let f 1 = (L 1,M 1,R 1 ) and f 2 = (L 2,M 2,R 2 ) be two forces acting on a rigid lamina, such that S 1 = (L 1,M 1 ) and S 2 = (L 2,M 2 ) are not parallel. Prove that their resultant f = f 1 + f 2 is a line bound vector that meets the point of intersection of f 1 and f 2. (In other words, we ask to prove the result in Fig. 2.14, but for general skew forces, not necessarily applied to the origin.)

3 Ex. 1 La regla del paralelogram X Y O {L 1, M 1 ; R 1 } {L 2, M 2 ; R 2 } {L 1 +L 2, M 1 +M 2 ; R 1 +R 2 } p 1)Calcular p 2)Comprovar que es compleix l’equació de la recta per a la resultant

4 Ex. 1 La regla del paralelogram X Y O {L 1, M 1 ; R 1 } {L 2, M 2 ; R 2 } p

5 Ex. 1 La regla del paralelogram X Y O {L 1 +L 2, M 1 +M 2 ; R 1 +R 2 } p Ly p –Mx p + R=0 (L 1 +L 2 )y p – (M 1 +M 2 )x p + R 1 +R 2 =0

6 Ex. 1 La regla del paralelogram (L 1 +L 2 )y p – (M 1 +M 2 )x p + R 1 +R 2 =0 (L 1 +L 2 )(M 1 R 2 –M 2 R 1 ) – (M 1 +M 2 )(L 1 R 2 –L 2 R 1 ) + +(L 1 M 2 –L 2 M 1 )( R 1 +R 2 )=0 L 1 M 1 R 2 +L 2 M 1 R 2 –L 1 M 2 R 1 –L 2 M 2 R 1 – M 1 L 1 R 2 – M 2 L 1 R 2 +M 1 L 2 R 1 +M 2 L 2 R 1 +L 1 M 2 R 1 –L 2 M 1 R 1 + L 1 M 2 R 2 –L 2 M 1 R 2 =0

7 Exercise 2. Test for concurrent lines Prove the statement at the end of page 75 on Duffy's book. That is, prove that three lines, i = 1,2,3 are concurrent if, and only if,

8 X Y O {L 1, M 1 ; R 1 } {L 2, M 2 ; R 2 } {L 3, M 3 ; R 3 } Ex. 2 Test de rectes concurrents $1$1 $2$2 $3$3

9 feix de rectes: qualsevol d’elles és expressable com a combinació lineal de dues d’altres L 3 = L 1 + L 2 M 3 = M 1 + M 2 R 3 = R 1 + R 2  = 0 Ex. 2 Test de rectes concurrents L 1 M 1 R 1 L 2 M 2 R 2 L 3 M 3 R 3 = 0  $ 1, $ 2, $ 3 concurrents

10 Ex. 2 Test de rectes concurrents L 1 M 1 R 1 L 2 M 2 R 2 L 3 M 3 R 3 = M 1 R 1 M 2 R 2 L3L3 – L 1 R 1 L 2 R 2 M3M3 + L 1 M 1 L 2 M 2 R3R3 = 0 33 L 3 y p – M 3 x p + R 3 = 0 $1$1 $2$2 $3$3 p L 1 M 1 R 1 L 2 M 2 R 2 L 3 M 3 R 3 = 0  $ 1, $ 2, $ 3 concurrents

11 Exercise 3. Leg force distribution along a trajectory Do exercise 2.4 of Duffy's book. You will need the help of some computer language (for example Matlab, or C) because an iterative calculation needs to be done. Please comment all steps of your solution to the problem.

12 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria f [ c, s, p ] T ? 1.7 2.4 3.0 X Y

13 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

14 ( x 1n, y 1n ) ( x 2n, y 2n ) ( x 3n, y 3n ) l 1n l 2n l 3n 1 x 1n y 1n 1 x 1b y 1b ( x 1b, y 1b )( x 2b, y 2b )( x 3b, y 3b ) L 1 : M 1 : R 1 c 1 : s 1 : p 1 1/(L 1 2 + M 1 2 ) 1/2 =1/l 1

15 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria = j -1 ŵ j = c1s1p1c1s1p1 c2s2p2c2s2p2 c3s3p3c3s3p3 f f1f1 f2f2 f3f3 (aplicada) (equilibrants) (resultants) f3f3 f2f2 f1f1 f f f11f11 f1nf1n f2nf2n f21f21 f31f31 f3nf3n

16 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria % Platform points (in initial position) x1p = 0; y1p = 3; x2p = 0.4*sqrt(2); y2p = 2.4; x3p = 0.95 * sqrt(2); y3p = 1.7; % Base points (fixed) x1b = 0; y1b = 0; x2b = 3.5; y2b = 0; x3b = 5.0; y3b = 0; % Unitized coordinates of the force f f=[1;0;-2.4]; fprintf('f is:'); printmat(f); % Platform self-parallel displacements step = 0.01; M = []; pos = [];

17 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria for i=1:500 % Platform point coordinates x1p = x1p + step; x2p = x2p + step; x3p = x3p + step; % Leg lengths for such coordinates l1 = sqrt((x1p-x1b)^2 + (y1p-y1b)^2); l2 = sqrt((x2p-x2b)^2 + (y2p-y2b)^2); l3 = sqrt((x3p-x3b)^2 + (y3p-y3b)^2); pos = [pos,x1p]; % Grassmann's point matrices (see page 44) G1 = [1,x1b,y1b; 1,x1p,y1p]; G2 = [1,x2b,y2b; 1,x2p,y2p]; G3 = [1,x3b,y3b; 1,x3p,y3p];

18 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria for i=1:500 % Platform point coordinates % Leg lengths for such coordinates % Grassmann's point matrices (see page 44) % Unitized coordinates of leg 1 c1 = det(G1(:,[1,2])) / l1; s1 = det(G1(:,[1,3])) / l1; p1 = det(G1(:,[2,3])) / l1; % Unitized coordinates of leg 2 c2 = det(G2(:,[1,2])) / l2; s2 = det(G2(:,[1,3])) / l2; p2 = det(G2(:,[2,3])) / l2; % Unitized coordinates of leg 3 c3 = det(G3(:,[1,2])) / l3; s3 = det(G3(:,[1,3])) / l3; p3 = det(G3(:,[2,3])) / l3;

19 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria for i=1:500 % Jacobian matrix j = [c1, c2, c3; s1, s2, s3; p1, p2, p3]; % Vector of leg forces lambda = inv(j)*f; % We collect all results in a matrix M, in order to plot them later M = [M,lambda]; end % Plot of the results: Red, green, and blue lines correspond to the % resultant forces on legs 1, 2, and 3, respectively. plot(pos, M(1,:),'r', pos, M(2,:),'g', pos, M(3,:),'b', 'LineWidth',2);

20 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria Forces resultants als connectors. Les forces equilibrants són iguals però de signe contrari.

21 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

22

23 Qüestions de test (estàtica)

24 45º 60º 90º 5N 10Nm 4m (0,0)(1,0)(2,0) 6. (4 puntos) La siguiente figura muestra un manipulador paralelo 3RPR en una determinada configuración y con una determinada fuerza y par ejercidos sobre su elemento terminal: Señala la respuesta correcta: a) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, las patas 2 y 3 en compresión, con valor de 5 N. b) Las patas 1 y 2 están en tensión, con valor de 5√2 N, y la 3 en compresión con valor de 5 N. c) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, la pata 2 no trabaja, y la pata 3 está en compresión, con valor de 5 N. d) Todas las patas están en tensión. e) Variando la orientación y magnitud de la fuerza externa, se puede alcanzar una singularidad.

25 Trobar les forces als connectors 45º 60º 90º 5N 10Nm 4m (0,0)(1,0)(2,0) 5 0 -5·4+10 ŵ = 5 0 -10 = = = c1s1p1c1s1p1 f1f1 + f 2 + f 3 c2s2p2c2s2p2 c3s3p3c3s3p3 p 2 = √3/2

26 Trobar les forces als connectors 45º 60º 90º 5N 10Nm 4m (0,0)(1,0)(2,0) 5 0 -5·4+10 ŵ = 5 0 -10 = = = f1f1 + f 2 + f 3 f 1 = 5√2f 2 = 0f 3 = −5

27 1 2 3 4 A- En aquesta configuració, hi ha forces que no poden ser equilibrades pels actuadors B- En aquesta configuració, no cal aplicar- hi forces als actuadors per equilibrar la força exercida C- La força que es mostra pot ser equilibrada actuant només una de les articulacions D- Aquest mecanisme mai pot ser en una configuració singular 7. (2 puntos) Cada una de las afirmaciones A-D es aplicable exclusivamente a uno de los mecanismos, en las configuraciones que se muestran: Señala la correspondencia correcta: a) A-2, B-1, C-3, D-4 b) A-4, B-3, C-2, D-1 c) A-2, B-4, C-1, D-3 d) A-3, B-1, C-4, D-2 e) A-1, B-3, C-2, D-4

28 l h F f1f1 f2f2 f3f3 8. (4 puntos) En el mecanismo de la figura se aplica una única fuerza, tal como se muestra: Señala la respuesta correcta: a) f1 = f3 = 0 y f2 = F b) f1 = f2 = f3 = F/3 c) f1 = f2 = 0 y f3 = F d) f2 = f3 = 0 y f1 = F cos(l/h) e) f1 = F cos(l/h), f2 = Fp2/2 y f3 = Fp2/2

29 Questions sobre el mecanisme l h F f1f1 f2f2 f3f3 0F00F0 = 1 0 -√2/2 0 1 √2/2 - h 0 l f1f2f3f1f2f3 X Y

30 l h F f1f1 f2f2 f3f3 l = h√2/2 45º 9. (3 puntos) El mecanismo del ejercicio anterior es modificado, manteniendo las orientaciones de las patas, hasta que l = h√2/2, como muestra la figura.

31 Questions sobre el mecanisme l h F f1f1 f2f2 f3f3 l = h√2/2 45º Configuració singular?

32 Questions sobre el mecanisme l F f1f1 f2f2 f3f3 Es pot equilibrar F? h

33 Questions sobre el mecanisme l F f1f1 f2f2 f3f3 Si l → h√2/2 què passa amb f i ? h

34 Questions sobre el mecanisme l F f1f1 f2f2 f3f3 Es pot equilibrar F? h

35 Questions sobre el mecanisme l T f1f1 f2f2 f3f3 Es pot equilibrar T? h