1 CURSO DE ADAPTACIÓN EN MATERIAS BÁSICASELEMENTOS DE MATEMÁTICAS CURSO
2 Bibliografía útil librosmat/Libro%20Matematicas.pdf
3 “Perhaps I can best describe my experience of doing mathematics in terms of a journey through a dark unexplored mansion. You enter the first room of the mansion and it’s completely dark. You stumble around bumping into the furniture but gradually you learn where each piece of furniture is. Finally, after six months or so, you find the light switch, you turn it on, and suddenly it’s all illuminated. You can see exactly where you were. Then you move into the next room and spend another six months in the dark. So each of these breakthroughs, while sometimes they're momentary, sometimes over a period of a day or two, they are the culmination of, and couldn't exist without, the many months of stumbling around in the dark that proceed them.” Andrew Wiles
4 Lenguaje y razonamiento matemáticoEl lenguaje matemático es, necesariamente, muy preciso, y esa precisión obliga al establecimiento de ciertas convenciones que en ocasiones chocan un tanto con el lenguaje natural. También es conocida por todos la conveniencia de una cierta economía a la hora de expresarse matemáticamente. Esto nos conduce necesariamente a la adopción de ciertos simbolismos con los que nos hemos de familiarizar para poder enfrentarnos con éxito al estudio de las matemáticas.
5 Los conectores lógicosNegación de una expresión con cuantificadores La demostración en matemáticas Métodos de demostración: Demostración directa Demostración por reducción al absurdo Demostración por inducción ……………………
6 Teoría de conjuntos En la vida cotidiana, la idea de conjunto es muy intuitiva y aparece en multitud de ejemplos. Sin embargo, en matemáticas, el concepto de conjunto es bastante más delicado de lo que es en la vida diaria, como prueba el hecho de que históricamente ha producido numerosas dificultades y paradojas, las cuales han sido resueltas por algunos matemáticos en los siglos XIX y XX empleando el método axiomático.
7 Un conjunto puede definirse:“x pertenece a A” Conjunto es una colección de objetos bien definidos. Estos objetos de llaman elementos del conjunto. “x no pertenece a A” Un conjunto puede definirse: Por extensión: enumerando sus elementos Por comprensión: dando una propiedad característica Conjunto definido por extensión Conjunto definido por comprensión Diagramas de Venn
8 Intersección de conjuntosUnión de conjuntos Intersección de conjuntos Conjuntos disjuntos: A B
9 Complementario de un conjunto Producto cartesiano de dos conjuntosDiferencia de dos conjuntos Producto cartesiano de dos conjuntos
10 Aplicaciones El concepto de aplicación -que es un caso particular de otro más general, el de correspondencia- es básico para la teoría de conjuntos y se basa en los conceptos de par ordenado y producto cartesiano. Ejemplos clásicos de correspondencias y aplicaciones son las funciones reales de variable real que repasaremos en otro capítulo. En este capítulo definiremos los principales tipos de aplicaciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Además hablaremos de la composición de aplicaciones, que nos ayudará a caracterizar las aplicaciones biyectivas y a introducir el concepto de inversa de una aplicación biyectiva.
11 Aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos del conjunto A un único elemento bien definido del conjunto B. y único dominio conjunto final antiimagen de y por f imagen de x por f Un elemento de B puede tener más de una antiimagen La imagen es única
12 Aplicación sobreyectivaAplicación inyectiva Aplicación sobreyectiva Aplicación biyectiva Aplicación inyectiva y sobreyectiva x único
13 Composición de aplicaciones Inversa de una aplicación biyectivaLa composición de aplicaciones no es, en general, conmutativa. Inversa de una aplicación biyectiva con
14 Números reales En este capítulo trataremos algunas cuestiones de gran interés relacionadas fundamentalmente con el conjunto de los números reales. Nos centraremos en los conceptos de valor absoluto de un número real, hablaremos de las desigualdades y sus propiedades y recordaremos cómo resolver inecuaciones.
15 Valor absoluto de un número realIntervalos Valor absoluto de un número real Algunas propiedades del valor absoluto Algunas preguntas ¿Cuánto vale el valor absoluto del número 3? ¿Y el de a, con a un número real? ¿Conoces alguna otra definición de valor absoluto?
16 RESOLVIENDO ECUACIONESEcuaciones lineales Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2 Regla de Ruffini División de polinomios Ecuaciones con raíces ¿Soluciones? Ecuaciones exponenciales ¿Soluciones? Ecuaciones logarítmicas ¿Soluciones?
17 INECUACIONES Desigualdades: propiedades Un ejercicio. Resolver la inecuación: Desigualdades con valor absoluto
18 Dividir p(x)2x43x35x26x10 entre x2.Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un procedimiento esquemático para hallar el cociente y el resto de la división de un polinomio cualquiera por otro de la forma x a. Dividir p(x)2x43x35x26x10 entre x2. Disponer los coeficientes del polinomio p(x) del modo siguiente :
19 Números combinatorios Triángulo de TartagliaBinomio de Newton Números combinatorios Triángulo de Tartaglia
20 Matrices y determinantesEn este capítulo introducimos las matrices y las operaciones con matrices, pues constituyen el lenguaje adecuado para abordar muchas cuestiones de naturaleza lineal. Entre estas, la más elemental es la discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
21 Producto de una matriz por un escalarUna matriz es una disposición rectangular de números entre paréntesis (o corchetes). Suma de matrices Producto de una matriz por un escalar Traspuesta de una matriz Producto de matrices Multiplicar la fila i de A por la columna j de B Multiplicar la fila i de A por la columna j de B
22 Sólo para matrices cuadradas de orden n:Si n = 1, det A se identifica con el único escalar que contiene la matriz. Si n > 1, fijada la fila i: Determinante de una matriz cuadrada de orden dos Determinante de una matriz cuadrada de orden tres Regla de Sarrus
23 Utilizar operaciones elementales de fila o columna sobre la matriz cuadrada A para simplificar el cálculo del determinante de A: 1. El intercambio de dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada cambia de signo su determinante. 2. Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada es multiplicada por un escalar, el determinante de la matriz cuadrada queda multiplicado por dicho escalar. 3. Si a una fila (o columna) de una matriz cuadrada se le añade otra fila (o columna) multiplicada por un escalar cualquiera, no cambia el valor del determinante.
24 ¿Es conmutativo el producto de matrices?NO El producto de matrices no es necesariamente conmutativo.
25 Operaciones elementales de fila TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUSMÉTODO DE GAUSS Matriz escalonada Operaciones elementales de fila TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS 1. 2. 3.
26 Sólo para matrices cuadradas de orden n:Matrices invertibles o matrices regulares si y sólo si su determinante es no nulo. Matrices no invertibles o matrices singulares si y sólo si su determinante es cero. Operaciones elementales de fila Potencias naturales de una matriz cuadrada
27 Secciones cónicas Consideremos ecuaciones de la forma:donde A, B, C, D y E son constantes y A y B no son ambas 0. La gráfica de una ecuación de este tipo es, en general, una sección cónica (con los ejes paralelos a los ejes coordenados); es decir: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Decimos “en general” porque hay casos especiales. Por ejemplo, la gráfica de x2y2=0 es un punto, (0,0), o podría no existir ninguna gráfica: no hay pares ordenados (x,y) que satisfagan la ecuación x2y21=0.
28 Círculo Elipse y y x x
29 Parábola
30 Hipérbola
31 Límites y continuidad Podríamos empezar diciendo que los límites son importantes en el cálculo, pero afirmar tal cosa sería infravalorar largamente su auténtica importancia. Sin límites el cálculo sencillamente no existiría. Cualquier noción del cálculo es un límite en uno u otro sentido ¿Qué es la velocidad instantánea? Es el límite de las velocidades medias. ¿Qué es la pendiente de una curva? Es el límite de las pendientes de las rectas secantes. ¿Qué es la longitud de una curva? Es el límite de los caminos poligonales. ¿Qué es la suma de una serie infinita? Es el límite de las sumas finitas. ¿Qué es el área de una región limitada por curvas? Es el límite de la suma de las áreas de las regiones delimitadas por segmentos de rectas poligonales.
32 Idea intuitiva de límiteEmpezamos con un número c y una función f definida cerca de c aunque no necesariamente en el mismo c. El número L es el límite de f cuando x se aproxima a c, y se escribe si y sólo si los valores de la función f(x) se aproximan (tienden) a L cuando x se aproxima a c.
33 Consideremos la función: x f(x)1.9 2.61 1.99 2.9601 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 3.0401 2. 1 3.41 Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f(x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3.
34 Consideremos la función:Esta función no está definida en x1, sin embargo vamos a estudiar su comportamiento en los alrededores de x1. Límites laterales
35 También podemos hablar de límites infinitos y límites en el infinito.
36 Continuidad En el lenguaje coloquial, decir que algo es “continuo” equivale a decir que transcurre sin interrupción y sin cambios abruptos. En el lenguaje matemático, la palabra “continuo” tiene, en gran parte, el mismo significado. La idea básica es la siguiente: supongamos dados una función f y un número c. Se calculan (cuando sea posible) los valores: y se comparan los resultados. La función f es continua en c si y sólo si estos dos valores coinciden:
37 OBSERVACIÓN.- Recordar que en la definición de “límite de f en c” no exigimos que f estuviera definida en el propio c. Por el contrario, la definición de “continuidad en c” requiere que f esté definida en c. Así, de acuerdo con esta definición, una función f es continua en un punto si y sólo si: f está definida en c existe, Se dice que una función f es discontinua en c si no es continua en ese punto.
38 Si el dominio de f contiene un intervalo (cp , cp), p > 0 (de manera que f está definida en c), entonces f sólo puede dejar de ser continua en c por una de las dos razones siguientes: Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita ………. Discontinuidad evitable
39 Diferenciación El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.
40 ¿Pendientes de las rectas secantes?Consideremos una función f y elijamos un punto en su gráfica. ¿Qué recta, si existe, debería llamarse tangente a la gráfica en ese punto? Rectas secantes que pasan por los puntos (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)) con h>0 y h “pequeños” ¿Pendientes de las rectas secantes? ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente? ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?
41 Derivada de la suma Derivada de una constante por una función Derivada de un producto de funciones Derivada de un cociente de funciones Regla de la cadena
42 TABLA DE DERIVADAS
43 TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESTeorema de Rolle Sea f una función tal que: f es continua en [a,b] f es derivable en (a,b) f(a)f(b) Entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
44 TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Teorema del valor medioSea f una función tal que: f es continua en [a,b] f es derivable en (a,b) Entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
45 ¿Cómo hallar todos los valores extremos de una función continua?1. Hallar todos los puntos críticos. Los puntos extremos del dominio (si los hay). Puntos interiores para los que la primera derivada no existe o vale cero. 2. Examinar los puntos extremos del dominio comprobando el signo de la derivada primera en su proximidad. 3. Examinar cada punto crítico interior comprobando el signo de la derivada primera a ambos lados del punto (criterio de la derivada primera) o el signo de la derivada segunda en el punto (criterio de la derivada segunda).
46 Integración Desde su origen, la noción de integral ha respondido a necesidades geométricas como el cálculo de áreas y volúmenes. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial. La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. La integral (indefinida) asume la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático.
47 Integral definida: interpretación geométricaYa estamos familiarizados con las fórmulas de áreas de figuras geométricas regulares tales como rectángulos, triángulos y circunferencias. En la figura adjunta hemos representado una región limitada en su parte superior por la gráfica de una función continua no negativa f, en su parte inferior por el eje x, a la izquierda por la recta xa y a la derecha por la recta xb. El problema que nos planteamos es el siguiente: ¿Qué número, si lo hubiese, puede ser considerado como el área de ? a b
48 Integral definida El símbolo de la integral fue introducido por Leibniz. En realidad es la S de “suma” estirada. Los números a y b se denominan límites de integración (a es el límite inferior y b es el límite superior). La letra x es una “variable muda”; en otras palabras, puede ser sustituida por cualquier otra letra no utilizada hasta el momento. Así, por ejemplo, no existe ninguna diferencia entre:
49 Integral indefinida La constante C se denomina constante de integración; es una constante arbitraria porque se le puede asignar cualquier valor real. La integral indefinida de una función f es realmente una familia de funciones. Sin embargo, la integral definida es un número. Si f es continua en [a,b] y F es una antiderivada de f en [a,b], se verifica que: Regla deBarrow
50 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
51 MÉTODOS DE INTEGRACIÓNIntegración por partes Se trata de expresar la función que queremos integrar como producto de otras dos, de manera que: Una de ellas sea la derivada de otra ya conocida, es decir, podamos escribir nuestro integrando de la forma udv. La integral de vdu sea más fácil que la de udv. Sustitución. Cambio de variable ¿Cómo saber cuál es el cambio de variable adecuado? Desgraciadamente no hay una respuesta mágica que conteste a la pregunta. A veces, tendremos que probar varios cambios de variable hasta conseguir uno bueno. Con la práctica iremos adquiriendo mejor intuición. Como norma general, el cambio de variable nos tiene que servir para simplificar la función, para eliminar algo molesto.
52 MÉTODOS DE INTEGRACIÓNY además… MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Conviene dar algunas otras pautas para simplificar el trabajo del cálculo de primitivas: Funciones racionales: 1. Dividir, si es necesario, los polinomios. 2. Factorizar el denominador. 3. Expresar la función racional como suma de fracciones simples. 4. Integrar cada fracción simple. Funciones trigonométricas: Un método que siempre funciona es realizar el denominado cambio universal: Aunque en determinadas situaciones se pueden utilizar otras técnicas o realizar otros cambios de variable más sencillos. Funciones irracionales.
53 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDACálculo de áreas de figuras planas. (Secciones cónicas). Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de volúmenes. Cálculo de longitud de arco de curva. Cálculo de áreas de superficies de revolución. Cálculo de densidad y centros de masa, velocidad y trabajo. Cálculo de densidad de probabilidad. Medias.
54 Funciones elementalesEn este capítulo repasamos las funciones elementales: polinómicas, exponencial, logarítmica, trigonométricas y trigonométricas inversas. Utilizaremos la representación gráfica de estas funciones para recordar los aspectos más relevantes de las mismas: dominio, recorrido, continuidad, diferenciabilidad, asíntotas, …
55 Representación gráfica de la gráfica de la inversa de una función biyectivaExiste una relación muy interesante entre la gráfica de una función biyectiva y la gráfica de su función inversa (que sabemos existe). Cada gráfica es la imagen especular de la otra desempeñando el papel de espejo la recta yx. En lugar de dar una definición formal, vamos a fijarnos en la figura adjunta. Como se sabe, la gráfica de la función f consta de puntos de la forma (x,f(x)). Puesto que f1 tiene el valor x en f(x), la gráfica de f1 está constituida por puntos de la forma (f(x),x). Tales puntos, (x,f(x)) y (f(x),x) son vértices opuestos del cuadrado sombreado. (f(x),x) (x,f(x))
56 Dominio: Recorrido: Continuidad: SI Diferenciabilidad: SI Simetría: SI Respecto del eje vertical Asíntotas: NO
57 Dominio: Recorrido: Continuidad: SI Diferenciabilidad: SI Simetría: SI Respecto del origen de coordenadas Asíntotas: NO
58 Dominio: Recorrido: Continuidad: SI Diferenciabilidad: SI Simetría: NOAsíntotas: SI Asíntota horizontal (0,1)
59 Dominio: Recorrido: Continuidad: SI Diferenciabilidad: SI Simetría: NOAsíntotas: SI (1,0) Asíntota vertical
60 Respecto del origen de coordenadasDominio: Recorrido: Continuidad: SI (2,1) Diferenciabilidad: SI Simetría: SI Respecto del origen de coordenadas (,0) (2,0) Asíntotas: NO Periodicidad: (32,1) Periódica de período 2
61 Respecto del eje verticalDominio: Recorrido: (,1) (2,1) Continuidad: SI Diferenciabilidad: SI (2,0) Simetría: SI Respecto del eje vertical (32,0) Asíntotas: NO Periodicidad: Periódica de período 2
62 Discontinuidades infinitas en los puntos:Dominio: Recorrido: Continuidad: Discontinuidades infinitas en los puntos: También se dice que es continua en su dominio Diferenciabilidad: Diferenciable en su dominio Simetría: SI Respecto del origen de coordenadas Asíntotas: SI Asíntotas verticales Periodicidad: Periódica de período
63 Respecto del origen de coordenadasDominio: Recorrido: 2 Continuidad: SI Diferenciabilidad: Diferenciable en Simetría: SI 1 Respecto del origen de coordenadas 1 Asíntotas: NO 2
64 Dominio: Recorrido: Continuidad: SI Diferenciabilidad: Simetría: SI Recorrido: Continuidad: SI Diferenciabilidad: 2 Diferenciable en Simetría: SI Respecto al punto (0,2) Asíntotas: NO 1 1
65 Asíntotas horizontalesDominio: Recorrido: 2 Continuidad: SI Diferenciabilidad: SI Simetría: SI Asíntotas: SI Asíntotas horizontales 2
66 Números complejos En la resolución de ecuaciones algebraicas de segundo grado o de orden superior, con frecuencia aparecen casos en que las soluciones contienen radicales de números negativos. Esta operación de radicación produce un resultado que no pertenece al conjunto de los números reales. Ecuaciones de expresiones tan sencillas como x210, no tienen soluciones reales. Por esta razón se ideó un nuevo conjunto que se bautizó como el conjunto de los números complejos.
67 CÓMO ESCRIBIR UN NÚMERO COMPLEJO(a,b) Forma cartesiana a Identificamos un número complejo con un punto del plano Forma binómica Donde a es la parte real, b la parte imaginaria e i la unidad imaginaria Forma polar Donde r es el módulo del número complejo y es el ángulo que forma el semieje positivo con la semirrecta que une el origen con el número Forma trigonométrica
68 CÓMO CALCULAR EL MÓDULO Y EL ARGUMENTO DE NÚMERO COMPLEJOEl módulo r de un número complejo cuya forma binómica es abi se calcula del modo siguiente: El argumento principal de un número complejo cuya forma binómica es abi se calcula del modo siguiente: Si está en el primer cuadrante: Si está en el segundo cuadrante: Si está en el tercer cuadrante: Si está en el cuarto cuadrante:
69 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Conjugado de un número complejoSuma En forma cartesiana o binómica: se suman las partes reales e imaginarias Producto En forma cartesiana o binómica En forma polar: se multiplican los módulos y se suman los argumentos Cociente En forma cartesiana o binómica: multiplicar y dividir por el conjugado del denominador En forma polar: se dividen los módulos y se restan los argumentos
70 Raíces de un número complejoFórmula de De Moivre Raíces de un número complejo Si z es un número complejo y n un número natural, decimos que w es una raíz n-ésima de z si Dado z un número complejo no nulo, existen exactamente n raíces n-ésimas de z
71 Estadística y probabilidadLa Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos. La estadística puede aplicarse a cualquier ámbito de la realidad, y por ello es utilizada en física, química, biología, medicina, astronomía, psicología, sociología, lingüística, demografía, etc.
72 Muchos personas ven la Estadística con una gran desconfianza: para unos es la ciencia en la que las diferencias individuales quedan ocultas a través de las medias, que se traduce en el dicho popular: “La Estadística es la ciencia que explica cómo si tú te comes dos pollos y yo ninguno, nos hemos comido uno cada uno por término medio” y en la famosa frase de Bernard Shaw: “Si un hombre tiene la cabeza en un horno y los pies en una nevera, su cuerpo está a una temperatura ideal” para otros es la ciencia mediante la cual con gráficos, tasas de variación y porcentajes, se manipula la opinión desde la publicidad, la tecnología o la economía. Vivimos en la era de la Estadística y cada aspecto de la actividad humana es medido e interpretado en términos estadísticos.
73 Podemos definir la Estadística como la ciencia que tiene como objetivo procesar datos. La Estadística recoge, clasifica, analiza e interpreta datos. La Estadística suele aplicarse a dos tipos de problemas: resumir y describir datos utilizar datos de una muestra para inferir la naturaleza del conjunto de datos del que se escogió la muestra (población). En la terminología estadística, el conjunto de datos que deseamos describir, el que caracteriza un fenómeno que nos interesa, se denomina población. Una muestra es un subconjunto de datos seleccionados de una población y que, en cierto sentido, representa a la población.
74 Es frecuente que, por razones técnicas o económicas, no sea posible estudiar todos los elementos de una población. Por ejemplo, si para determinar la resistencia de un elemento es necesario una prueba destructiva, y disponemos de una partida de elementos cuya resistencia se quiere determinar, tendremos que tomar una muestra para no destruir la partida entera. Análogamente, se acude a una muestra para conocer la opinión de la población antes de las elecciones, para estudiar la rentabilidad de un proceso de fabricación o la relación entre el consumo y la renta. La Estadística se utiliza para elegir una muestra representativa y para hacer inferencias respecto a la población a partir de lo observado en la muestra.
75 Los estadísticos se basan en tres disciplinas que están estrechamente relacionadas:El análisis de datos, la recopilación, organización y resumen de los datos. (Estadística Descriptiva) La probabilidad, las leyes del azar dentro y fuera del casino. (Probabilidad) La inferencia estadística, la ciencia que extrae conclusiones estadísticas a partir de datos concretos basándose en el cálculo de probabilidades. (Estadística Inferencial)
76 Regla de Laplace Propiedades características de la probabilidad:la probabilidad no es negativa la probabilidad total de los resultados elementales es 1 Regla de Laplace Una buena comprensión de los conceptos y operaciones básicas de la teoría de conjuntos facilita notablemente el estudio de la teoría de la probabilidad.
77 Resolución de triángulosResolver un triángulo significa determinar a partir de algunos de sus elementos (ángulos y lados) los restantes ángulos y lados así como su perímetro y su área. Las técnicas básicas de resolución de triángulos aún hoy aplicadas eran ya conocidas por los matemáticos y filósofos de las civilizaciones clásicas (China, Mesopotamia, Egipto, Grecia).
78 CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOa b Resolver un triángulo rectángulo es muy sencillo, basta con conocer un lado y un ángulo, o bien dos lados. Necesitamos saber: A B c El principio de que la suma de los dos ángulos no rectos es igual a 90º. Teorema de Pitágoras Las razones trigonométricas siguientes:
79 CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO NO RECTÁNGULOB c a h A C b Para resolver un triángulo no rectángulo basta con conocer tres de sus datos, salvo si se trata de sus tres ángulos: Dos de los lados y el ángulo comprendido entre ellos. Los tres lados. Uno de los lados y dos de los ángulos. Dos de los lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
80 El teorema de la tangenteLas herramientos que necesitamos son: El principio de que la suma de los tres ángulos es igual a 180º. El teorema del seno En cualquier triángulo la proporción entre el valor de cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante. Sirve para calcular el valor del tercer lado de un triángulo cuando se conocen los otros dos y el del ángulo opuesto. El teorema del coseno Las fórmulas del cálculo del área de un triángulo: p semiperímetro del triángulo. r radio de la circunferencia inscrita El teorema de la tangente
81 Programación lineal La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente, del siglo XX, que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen sólamente 2 variables, problemas bidimensionales.
82 Una inecuación en el plano viene dada por una desigualdad del tipo:y la solución corresponde a un semiplano. La recta de ecuación: divide al plano en dos semiplanos. Para saber cual de los dos se corresponde con la solución de la desigualdad basta con escoger un punto que no esté en la recta. Si para ese punto se cumple la desigualdad el semiplano solución es el correspondiente al punto.
83 Ejercicio.- Representar gráficamente la región del plano representada por las desigualdades:REGIÓN FACTIBLE 1.- Representar las rectas en el plano. 2.- Hallar los puntos de corte entre las rectas. 3.- Sombrear la región que tienen en común las tres desigualdades. La solución de un sistema de inecuaciones lineales en el plano, se corresponde con una región convexa del plano se denomina región factible.
84 FORMULACIÓN GENERAL DE UN PROBLEMA DE PROGRAMCIÓN LINEALEn un problema de programación lineal intervienen: La función que queremos optimizar y que denominamos función objetivo. Las variables de decisión son x e y, mientras que a, b y c son constantes. Las restricciones que son inecuaciones lineales. Al conjunto de todos los pares (x , y) que satisfacen todas las inecuaciones se denomina región factible. La solución óptima del problema es un par (x0 , y0) del conjunto factible para el cual la función objetivo z(x , y) toma el valor máximo o mínimo.
85 Teorema de la programación linealSe denomina teorema de la programación lineal al siguiente resultado: Teorema de la programación lineal Dado el problema de optimización de la función: con restricciones lineales: Si la función objetivo tiene un máximo o un mínimo, éstos se alcanzarán en alguno de los vértices de la región factible.
86 Ejercicio.- Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=x+y en la región representada por las desigualdades: 1.- Representar la región factible. Se puede proceder de dos formas diferentes: 2.- Representar una línea de nivel. Una línea de nivel es cualquier recta de la forma z(x,y)=cte, donde z(x,y) es la función objetivo. 3.- Para obtener el máximo hay que desplazar la línea de nivel en la dirección perpendicular , siendo la función objetivo z(x,y)=ax+by. 4.- Para obtener el mínimo hay que desplazar la línea de nivel en la dirección perpendicular
87 Ejercicio.- Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=x+y en la región representada por las desigualdades: 1.- Representar la región factible. También podemos proceder del modo siguiente: 2.- Evaluar la función objetivo en los vértices de la región factible. 3.- El máximo se alcanza en el vértice de la región factible para el cual la función objetivo toma el valor mayor. 4.- El mínimo se alcanza en el vértice de la región factible para el cual la función objetivo toma el valor menor.
88 1. Factorizar los polinomios del numerador y del denominador 2. “Simplificar” la expresión 3. Construir un cuadro de variación de los signos de cada factor