1 Curso de Análisis Estadístico de Datos Composicionales ICP-Piedecuesta, Santander Marzo-2007 Introducción a la Descomposición en Valores Principales R. Meziat Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes

2 Contenido  1.Matrices cuadradas, simétricas y definidas positivas  2.Valores propios de una matriz cuadrada y sus vectores propios asociados

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6 PROPIEDADES DE LA SVD

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11 Teorema de Eckart-Young

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13 ANÁLISIS POR COMPONENTES PRINCIPALES Objetivo: Reducir la dimensión en el conjunto de datos y mantener la variabilidad de la collección original.

14 metodología  Supondremos que la matriz A es de dimensiones NXD, de manera que contiene N observaciones para D variables.  Fácilmente encontramos la matriz de covarianzas para las variables involucradas  Claramente S es DXD simétrica y semidefinida positiva.  Procedimiento de cálculo de S sigue a continuación:

15 metodología

16  Calculamos los valores propios para la matriz de covarianzas S:  Calculamos una base ortonormal de correspondientes vectores propios:

17 metodología  Manteniendo el orden decreciente en los valores propios tenemos fijamos k para los primeros y mayores valores propios de S y sus k correspondientes vectores propios:

18 metodología  Definimos una transformación natural de en como:

19 Aplicación a la matriz de covarianzas

20 FIN