1 CURSO DE MATEMATICAS MAESTRIA EN INGENIERIA TEXTIL Profr. Antonio ABURTO BARRAGAN [email protected]

2 ¿Qué es una ecuación diferencial? Toda expresión matemática conteniendo el símbolo de igualdad, conteniendo una o mas derivadas de una función y/o la propia funcion, funciones conocidas, constantes y todo separado por operaciones algebraicas

3 Ejemplos de ecuaciones diferenciales

4 Tipos de ecuación diferencial En los ejemplos anteriores: Las dos primeras son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias La primera es un ejemplo de ecuación diferencial lineal La ùltima es una ecuación diferencial en derivadas parciales

5 Tipos de ecuación diferencial La clasificación de ecuaciones lineales guarda analogía con la de ecuaciones algebraicas lineales Las ecuaciones algebraicas lineales en la variable “x” tienen la forma general Denominada ecuación algebraica lineal de grado n

6 Tipos de ecuación diferencial Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de “orden n” se definen con la expresión general: Las funciones Las derivadas son “derivadas ordinarias” de una funcion de una sola variable

7 Tipos de ecuación diferencial Las funciones a i (x) son denominadas “coeficientes” de la ecuación diferencial lineal ordinaria Si todas las funciones a i (x) son constantes, se dice que la ecuación diferencial es de “coeficientes constantes” La ecuación es denominada “ecuación diferencial lineal ordinaria de “orden n” con coeficientes constantes”

8 Tipos de ecuación diferencial Si al menos una de las funciones a i (x) no es constante, se dice que la ecuación diferencial lineal, es de “coeficientes variables” Se denomina: “ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables de orden n ” Hay otra clasificación, asociada al valor de la función b(x):

9 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas y No Homogeneas Cuando la función b(x) que aparece en los segundos miembros de las diferentes ecuaciones diferenciales lineales que hemos definido es igual a cero Se dice que se tiene una: “ Ecuación Diferencial lineal Homog é nea”. Hay dos tipos de esas ecuaciones: Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes y homogénea Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables y homogénea

10 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas y No Homogeneas Cuando la función b(x) que aparece en los segundos miembros de las diferentes ecuaciones diferenciales lineales que hemos definido es igual a cero Se dice que se tiene una: “ Ecuación Diferencial lineal Homog é nea”. Hay dos tipos de esas ecuaciones: Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes y homogénea Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables y homogénea

11 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas y No Homogeneas Cuando la función b(x) que aparece en los segundos miembros de las diferentes ecuaciones diferenciales lineales que hemos definido es diferente de cero Se dice que se tiene una: “ Ecuación Diferencial lineal No Homog é nea”. Hay dos tipos de esas ecuaciones: Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes y no homogénea Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables y no homogénea

12 EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Enseguida damos algunos ejemplos particulares de ecuaciones diferenciales lineales y su clasificación Ejemplo de ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con coeficientes variables y no homogenea Ejemplo de ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden con coeficientes variables y homogenea

13 EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: En la primera de las anteriores ecuaciones, el orden de la derivada mas alta es el primero, por esa razón la ecuación se clasifica como de primer orden La función que multiplica a f(x) no es constante, eso permite clasificarla como de coeficientes variables La función que aparece en el miembro de la derecha es diferente de cero, ello permite clasificarla como no homogenea

14 EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: En la segunda de las anteriores ecuaciones, el orden de la derivada mas alta es el tercero, por esa razón la ecuación se clasifica como de tercer orden La función que multiplica a f(x) no es constante, eso permite clasificarla como de coeficientes variables La función que aparece en el miembro de la derecha es igual a cero, ello permite clasificarla como homogenea

15 EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: La derivada de orden máximo en la ecuación diferencial determina el orden de la ecuación La homogeneidad o no, de la ecuación diferencial depende de las características de la función b(x) si es o no igual a cero Para la clasificación del orden de la ecuación diferencial, no importa que no aparezcan términos con derivadas de orden inferior (ver segunda ecuación)

16 EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: Si todos los coeficientes de las derivadas en cada termino de la ecuación, son funciones constantes, se trata de una ecuación de coeficientes constantes Notar que ninguna de las derivadas esta elevada a una potencia diferente de la unidad (eso determina la linealidad de la ecuación) La función solucion depende de una sola variable, esto determina que la ecuación se clasifique como ordinaria

17 ATRIBUTOS DE CLASIFICACION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL Los atributos principales de clasificacion por dar a conocer de una ecuación diferencial lineal son: Si es ordinaria (tipo de función solución) Orden de la ecuación Conocer el tipo de coeficientes (variables o constantes) Homogeneidad de la ecuación

18 Primer Tarea Clasificacion de ecuaciones diferenciales lineales

19 Tarea Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes constantes homogeneas Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes variables homogeneas Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes constantes no homogeneas Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes variables no homogeneas

20 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

21 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGENA

22 Resolveremos la ecuación Multipliquemos ambos miembros por la función Resulta:

23 Calculemos la derivada de la función Resulta: Comparemosla con el miembro izquierdo de la ecuación

24 Identificando miembros de las dos ultimas ecuaciones resulta: De donde evidentemente, se tiene que: Se propone como solucion la funcion:

25 Comprobacion de la Solucion La funcion propuesta debe mostrarse que es Solucion. Debe sustituirse en la ecuacion diferencial original y obtener al final una identidad

26 CONCLUSION Podemos concluir que la solucion de la ecuacion diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes y homogenea Es la funcion

27 Nota Las ecuaciones diferenciales pueden escribirse en diversas formas, presentamos una alternativa: Utilizando la representacion de la ecuación del lugar geométrico de la grafica de una función y = f(x) Podemos escribir en lugar de la ecuacion y su solucion: Representarlas por

28 Ejemplos de solucion de estas ecuaciones Resolver las ecuaciones

29 soluciones Resolvemos la primer ecuacion Que tiene la forma

30 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

31 soluciones Resolvemos la segunda ecuacion Que tiene la forma

32 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

33 soluciones Resolvemos la tercer ecuacion Que tiene la forma

34 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

35 soluciones Resolvemos la cuarta ecuacion Que tiene la forma

36 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

37 Anotación La ecuación diferencial de primer orden que hemos estado analizando y resolviendo: puede escribirse tambien como sigue Que es una escritura mas compacta

38 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES VARIABLES HOMOGENA

39 Resolveremos la ecuación Multipliquemos ambos miembros por la función Resulta:

40 Calculemos la derivada de la función Resulta: Comparemosla con el miembro izquierdo de la ecuación

41 Identificando miembros de las dos ultimas ecuaciones resulta: De donde evidentemente, se tiene que: Se propone como solucion la funcion:

42 Comprobación de la Solución La funcion propuesta debe mostrarse que es Solucion. Debe sustituirse en la ecuacion diferencial original y obtener al final una identidad

43 CONCLUSION Podemos concluir que la solucion de la ecuacion diferencial lineal de primer orden con coeficientes variables y homogenea Es la funcion

44 Nota Las ecuaciones diferenciales pueden escribirse en diversas formas, presentamos una alternativa: Utilizando la representacion de la ecuación del lugar geométrico de la grafica de una función y = f(x) Podemos escribir en lugar de la ecuacion y su solucion: Representarlas por

45 Anotación La ecuación diferencial de primer orden que hemos estado analizando y resolviendo: puede escribirse tambien como sigue Que es una escritura mas compacta

46 Ejemplos de solucion de estas ecuaciones Resolver las ecuaciones

47 soluciones Resolvemos la primer ecuacion Que tiene la forma

48 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

49 soluciones Resolvemos la segunda ecuacion Que tiene la forma

50 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

51 soluciones Resolvemos la tercer ecuacion Que tiene la forma

52 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

53 soluciones Resolvemos la cuarta ecuacion Que tiene la forma

54 Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

55 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES Y NO HOMOGENA

56 Resolveremos la ecuación Multipliquemos ambos miembros por la función Resulta:

57 Calculemos la derivada de la función Resulta: Comparemosla con el miembro izquierdo de la ecuación

58 Identificando miembros de las dos últimas ecuaciones resulta: De donde evidentemente, se tiene que: Se propone como solucion la funcion:

59 Comprobacion de la Solucion La funcion propuesta debe mostrarse que es Solucion. Debe sustituirse en la ecuacion diferencial original y obtener al final una identidad

60 CONCLUSION Podemos concluir que la solucion de la ecuacion diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes y homogenea Es la funcion

61 Nota Las ecuaciones diferenciales pueden escribirse en diversas formas, presentamos una alternativa: Utilizando la representacion de la ecuación del lugar geométrico de la grafica de una función y = f(x) Podemos escribir en lugar de la ecuacion y su solucion: Representarlas por

62 Anotación La ecuación diferencial de primer orden que hemos estado analizando y resolviendo: puede escribirse tambien como sigue Que es una escritura mas compacta

63 TAREA 1 Encontrar 5 ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes constantes y no homogeneas, resolverlas y enviarlas por la plataforma

64 TAREA 2 Demostrar que las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes variables y no homogeneas tienen la forma Demostrando que su solucion general es

65 TAREA 3 Encontrar 5 ecuaciones de este tipo y encontrar su solucion general demostrando que la funcion encontrada es solucion de la ec. Diferfencial propuesta