1 Czy pochodne ułamkowe unieważniły prawa Maxwella? Ryszard Sikorafgfgft hhjj Czy pochodne ułamkowe unieważniły prawa Maxwella? Ryszard Sikora

2 Szanowny Panie Dziekanie, Szanowne koleżanki i koledzy Dziękuję bardzo za zaproszenie mnie do wygłoszenia wykładu. Jestem głęboko zasmucony nieprzestrzeganiem podstawowych praw teorii obwodów elektrycznych. Wystąpienie oparte jest na mojej publikacji w Przeglądzie Elektrotechnicznym 10/2016 i pracach skierowanych do ARCHIVES OF ELECTRICAL ENGINEERING I SPRINGER. Zbliża się zima więc warto pomyśleć jak pomóc potrzebującym: Pochodne ułamkowe

3 Pochodne ułamkowe

4 Streszczenie Czy prawa fizyki mogą być formułowane dowolnie? Czy wprowadzenie do teorii obwodów elektrycznych pochodnych ułamkowych rzeczywiście spowodowało zmianę praw Maxwella, fundamentu elektrotechniki? Ten problem jest istotą moich wątpliwości. Czy dowiedzieliśmy się czegoś nowego o telekomunikacji lub maszynach elektrycznych? W pracy oceniono możliwości wprowadzenia do teorii obwodów elektrycznych i teorii pola elektromagnetycznego pochodnych i całek niecałkowitego rzędu. Być może rachunek różniczkowo całkowy niecałkowitego rzędu jest narzędziem matematycznym, które wkrótce całkowicie zmieni sposób zapisu równań będących modelami matematycznymi zjawisk fizycznych. Być może będzie wykorzystywany tylko w opisie świata wirtualnego. Być może ten rachunek będzie stosowany tylko w pewnych przypadkach i znacząco nie wpłynie na rozwój nauk technicznych. Nie mniej w dużej części publikacji, w tym w dużej liczbie polskich jest on stosowany błędnie. Nie mam nic przeciwko poprawnemu stosowaniu tego rachunku w TOE. Należy jednak brać pod uwagę zmiany wywołane tym rachunkiem w TPEM. Czy moje wątpliwości są zasadne? Pochodne ułamkowe

5 Czy ostatnio zmieniło się prawo Faraday’a? Pytań mam więcej.Mam pytanie do słuchaczy, profesorów i studentów czy posługujecie się Panie i Panowie pochodnymi i całkami niecałkowitego rzędu w zajęciach z teorii obwodów lub teorii pola, może w innych dziedzinach elektrotechniki? Czy naruszacie Panie i Panowie zasadę jednorodności wymiarowej równań, które opisują zjawiska fizyczne? Czy uważacie, że naruszanie zasady jednorodności wymiarowej równań jest dopuszczalne? Czy znacie podręczniki z TOE lub TPEM, w których wykorzystywane są pochodne i całki niecałkowitego rzędu? Czy ostatnio zmieniło się prawo Faraday’a? Pytań mam więcej. Pochodne ułamkowe

6 Wstęp Rachunek różniczkowo całkowy niecałkowitego rzędu jest znany od ponad 300 lat. W tworzeniu tego rachunku brali udział wybitni matematycy epoki. Zajmowali się nim wybitni matematycy 17 wieku Leibniz i L’Hospital, późniejsi równie wybitni matematycy tacy jak Hadamard - zagraniczny członek PAN, interesowali się tym rachunkiem. Jednak długo nie znajdował on zastosowania. Rozwój nauki o sterowaniu oraz powstanie odpowiedniego oprogramowania takiego jak na przykład Matlab/Simulink spowodowały szersze zainteresowanie rachunkiem różniczkowo całkowym niecałkowitego rzędu [1] (Domek St., „Rachunek różniczkowy ułamkowego rzędu w regulacji predykcyjnej”). Wymienię tylko trzy sformułowania tego rachunku: Riemanna( ) -Liouville’a ( ), Caputo i Grünwalda-Letnikova. Pochodne ułamkowe

7 Sformułowań tego rachunku jest więcej. Często są zadawane pytania dotyczące pochodnych niecałkowitego rzędu (Sabatier J., Agrawal O. P., Machado J. A. T. (Eds): Advances in Fractional Calculus, Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer, London 2007). Powstaje zasadnicze pytanie, którym sformułowaniem należy się posługiwać? Wydaje mi się całkowicie oczywistym, że należy korzystać ze sformułowania poprawnego ze względu na obowiązujące prawa fizyki. Ten rachunek ma charakter globalny a nie lokalny. Rachunek różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu był rozwijany głównie w XX wieku. Pierwsza monografia z zakresu tego rachunku ukazała się w 1974 roku (Oldham K. B,. Spaniel. J.: The Fractional Calculus. Academic Press, New York and London ) Bez względu na stawiane pytania dotyczące rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitego rzędu jest on stosowany, czasami poprawnie, lecz zdarzają się też jego błędne zastosowania [ 2, 3, 4, 5 ]. Pochodne ułamkowe

8 [2] Kaczorek T., STANDARD AND PISITIVE ELECTRICAL CIRCUITS WITH ZERO TRANSFER MATRICES, Poznan University of Technology Academic Journals Issue 85, 2016. [3] Kaczorek T., Zeroing of state variables in Fractional descriptor electrical circuits by state-feedbacks. Archives of Electrical Engineering, Vol. 63 (249).3/2014 Poznań 2014. [4] Kaczorek T., Positivity and reachability of fractional circuits, Acta mechanica et automatic, quarterly vol. 5 no , Białystotok University of Technology. [5] Włodarczyk M., Zawadzki A., OBWODY RLC W ASPEKCIE POCHODNYCH NIECAŁKOWITYCH RZĘDÓW DODATNICH, ELEKTRYKA, ZESZYT 1(217), Kielce 2011 ( Prace [2, 3, 4] są podobne. Pochodne ułamkowe

9 Niestety błędne sformułowania powtarzają się od wielu lat. Należy się zastanowić nad tym, że chociaż rachunek różniczkowo całkowy niecałkowitego rzędu jest znany matematykom i fizykom światowej sławy od końca 17 wieku to jednak nie był stosowany przez wybitnych fizyków włączając w to Alberta Einsteina. Z jakich powodów? Mechanika newtonowska, klasyczna i nieklasyczna teoria elektromagnetyzmu oraz bardzo wiele dziedzin fizyki nie zauważyły rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitego rzędu. Równania są zapisane z pomocą rachunku różniczkowo całkowego całkowitego rzędu. Rachunek różniczkowo całkowy niecałkowitego rzędu znalazł zastosowanie przede wszystkim w: teorii sterowania, lepko sprężystości, w procesach nagrzewania oraz przewodzenia ciepła i w fizyce cząstek elementarnych. Znalazł też zastosowanie w teorii obwodów elektrycznych, niestety w wielu przypadkach błędne. Przykładem takiego błędnego zastosowania rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitego rzędu są prace [ 2, 3, 4, 5], wszystkie polskie. Pochodne ułamkowe

10 Drugim źródłem jest niepoprawny zapis równań fizycznych. Błędy mają dwa źródła. Pierwszym jest nieprzestrzeganie wymiarowej jednorodności równań fizycznych. Drugim źródłem jest niepoprawny zapis równań fizycznych. Przeprowadzę analizę skutków wykorzystania rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitego rzędu w teorii obwodów elektrycznych i teorii pola elektromagnetycznego. Teoria obwodów elektrycznych i teoria pola elektromagnetycznego są ściśle połączone i wzajemnie wpływają na siebie. Obecnie powszechnie używany w elektrotechnice rachunek różniczkowo całkowy ma charakter dyskretny. Pochodne mogą być tylko całkowitego rzędu, na przykład pierwszego, drugiego lub innego całkowitego rzędu. Podobnie jest z rachunkiem całkowym. Całki mogą być pojedyncze, podwójne itp. Rachunek różniczkowo całkowy niecałkowitego rzędu ma charakter ciągły. Pochodne ułamkowe

11 Jest to zjawisko zadziwiające chociaż niepowszechne. Występuje więc bardzo ciekawe zjawisko gdy we wszystkich zastosowaniach technicznych przechodzimy do wykorzystania techniki cyfrowej, do sygnałów dyskretnych, to w rachunku różniczkowo całkowym niecałkowitego rzędu przechodzimy do rachunku ciągłego. Pochodne są dowolnego rzędu w wybranym przedziale liczbowym. Podobnie jest z krotnością całek. Występuje marsz w odwrotnym kierunku, od techniki cyfrowej do analogowej. Jest to zjawisko zadziwiające chociaż niepowszechne. Teoria obwodów elektrycznych i teoria pola elektromagnetycznego posługują się rachunkiem różniczkowym całkowitego rzędu. Uważam, że na razie nie ma żadnych podstaw do zmiany zapisu równań Maxwella, chociaż spotkałem się z takimi pracami, niektórymi błędnymi. Pochodne ułamkowe

12 1. Teoria obwodów elektrycznych w rachunku różniczkowo całkowym niecałkowitego rzęduObowiązująca teoria obwodów elektrycznych korzysta z klasycznego rachunku różniczkowo całkowego całkowitego rzędu. W żadnym ze znanych mi podręczników nie jest używany rachunek różniczkowo całkowy niecałkowitego rzędu. Powszechnie znane jest równanie opisujące nieustalony prąd w szeregowym obwodzie RC (rys. 1): Pochodne ułamkowe

13 (1) Pochodne ułamkowe

14 Które po przekształceniu przyjmuje następującą postać:(2) Ponieważ (3) Pochodne ułamkowe

15 Powyższe relacje są powszechnie znane i akceptowane.Niektórzy autorzy propagujący pochodne niecałkowitego rzędu powyższe równania zapisują inaczej. Na przykład w pracy [2] równanie (2) (występujące w tej pracy jako równanie (48)) zapisano jako: (4) Równanie (4) jest po prostu błędne. Nie spełnia ono koniecznego warunku jednorodności wymiarowej równań opisujących zjawiska fizyczne. Występujący w powyższym równaniu człon nie jest napięciem ponieważ występuje w nim a nie

16 nie jest wymiarem napięcia. Występowanie czasu w potędze innej niż 1 powoduje zmianę wymiaru. Wymiar wielkości nie jest wymiarem napięcia. Jak powstał ten błąd? Autor pracy [2] błędnie przyjął, że związek między prądem a ładunkiem jest wyrażony następującym wzorem: (5) Błąd jest oczywisty, wzór (5) jest wymiarowo niejednorodny. Z lewej strony wzoru (5) jest [A] lub [C/s] a z prawej Pochodne ułamkowe

17 przed pochodną niecałkowitego rzęduJeżeli wykładnik a nie jest równy 1 to błąd jest oczywisty. Jeżeli a jest równe 1 to nie ma rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu. Powyższy problem był rozważany w pracy [6] ([6] Gomez-Aguilar J.F., et al., Electrical circuits described by a fractional derivative with regular Kernel, Revista Mexicana de Fisica 62 (2016)). Opisując bilans napięć w szeregowym obwodzie RC posłużono się tam bardzo skomplikowanym wzorem (6) (w oryginale ma numer (26)): (6) Autorzy pracy [6] widzieli niejednorodność wymiarową spowodowaną pochodną niecałkowitego rzędu i starali się jakoś zaradzić tej niezgodności wprowadzając mnożnik: przed pochodną niecałkowitego rzędu Pochodne ułamkowe

18 W ten sposób osiągnęli wymiarową jednorodność ale nie ustrzegli się przed popełnieniem innego błędu. Błędnie przyjęli, że napięcie na rezystorze jest związane z ładunkiem relacją a nie relacją : Otóż prąd płynący przez kondensator jest proporcjonalny do pierwszej pochodnej ładunku względem czasu a nie do ułamkowej pochodnej. Podobny problem jest analizowany w pracy [7] posiadającej tytuł „Capacitor Theory”. W tej pracy podstawę stanowią wzór Curie: (7) i pochodne niecałkowitego rzędu. Jednak autorzy pracy [7] ([7] Gomez-Aguilar J.F., et al., Electrical circuits described by a fractional derivative with regular Kernel, Revista Mexicana de Fisica 62 (2016)) zwracają uwagę, że prąd Curie (7) płynący w rzeczywistym kondensatorze jest opisany w następujący sposób: „For instance von Schweidler [2,3] was of the opinion that the Curie current is abnormal and named it accordingly. Many modern workers assent to the ideas of Schweidler, for instance [4]. Pochodne ułamkowe

19 Pragnę zwrócić uwagę na dwa słowa występujące w cytacie: few i many. But there are also a few who disagree, maybe foremost Jonscher, who in 1977 named the Curie response ‘the universal dielectric response’ [5].” Pragnę zwrócić uwagę na dwa słowa występujące w cytacie: few i many. Few dotyczy tych którzy akceptują wzór Curie, a many tych, którzy go nie akceptują. Występuje tutaj ocena. Czy jest ona dopuszczalna? W tej pracy porównano wyniki eksperymentu z wynikami modelowania. Prąd Curie ma dwie istotne wady. Pierwsza polega na tym, że osiąga nieskończoną wartość w przypadku kondensatora rzeczywistego w chwili t = 0. Druga polega na tym, że po czasie nieskończenie długim w kondensatorze rzeczywistym zasilanym napięciem stałym nie płynie prąd. Jednak w kondensatorze rzeczywistym w chwili t = 0 płynie prąd o skończonej wartości, podobnie jest po czasie nieskończenie długim od chwili włączenie napięcia stałego. Wydaje się, że najlepszym schematem zastępczym kondensatora rzeczywistego jest obwód przedstawiony na rysunku 2. Pochodne ułamkowe

20 Rys. 2 Schemat zastępczy kondensatora rzeczywistegoNastępnym przykładem jest klasyczny szeregowy obwód RLC przedstawiony na rysunku 2 Rys. 3 Szeregowy obwód RLC Pochodne ułamkowe

21 Powszechnie jest stosowany całkowicie odmienny zapis: (9)W pracy [6] drugie prawo Kirchhoffa dla powyższego obwodu zapisano w następującej postaci (w pracy [6] jest to równanie (54)): (8) Powszechnie jest stosowany całkowicie odmienny zapis: (9) Wzór (9) może być zapisany inaczej: (10) We wzorach (9) i (10) zgodnie z przyjętą konwencją wielkości zmienne w czasie zapisano małymi literami. Pochodne ułamkowe

22 a w przypadku indukcyjności napięcie jest wyrażone wzorem:W pracy [6] nie podano z jakiego powodu do analizy obwodów RLC zostały wprowadzone pochodne niecałkowitego rzędu. Jakie nowe zjawiska zostały odkryte? Tego nie ma w analizowanych pracach. To równanie może być dobrą symulacją jakiegoś jeszcze nieodkrytego zjawiska elektrycznego lecz nie opisuje żadnego obecnie znanego zjawiska. Jest oczywiste, że można tworzyć całkowicie abstrakcyjną lecz spójną, powtarzam spójną teorię obwodów elektrycznych. Może ona przyczynić się do odkrycia nowych zjawisk lub do dokładniejszego opisu już znanych. Są jednak prace, w których pochodne niecałkowitego rzędu są po prostu stosowane błędnie, np. [2, 3, 4, 5]. Przyjrzyjmy bliżej pracy [2]. Autor tej pracy założył, że w przypadku superkondensatora prąd jest wyrażony wzorem (zapis oryginalny): (11) a w przypadku indukcyjności napięcie jest wyrażone wzorem: (12) Pochodne ułamkowe

23 z obowiązującymi prawami fizyki, które mają postać wyrażoną wzorami fgfgft hhjj Otóż oba te wzory są błędne. Po prostu nie spełniają dwóch warunków poprawności. Po pierwsze nie są wymiarowo jednorodne, wymiar lewej strony nie jest równy wymiarowi prawej strony. Po drugie są sprzeczne z obowiązującymi prawami fizyki, które mają postać wyrażoną wzorami (13) i (14): (13) (14) Podobnie jest z pracą [4]. Tam dwa wzory w oryginalnym zapisie przedstawione jako (3.22) mają następującą postać: (15) (16) Pochodne ułamkowe

24 który niestety też nie jest prawdziwy z powyższych dwóch powodów. Wzory (15) i (16) są wymiarowo niejednorodne i nie opisują żadnego ze znanych zjawisk fizycznych gdy W pracy [5] drugie prawo Kirchhoffa zapisano w postaci operatorowej wzorem (17): (17) który niestety też nie jest prawdziwy z powyższych dwóch powodów. Pochodne ułamkowe

25 2. Teoria pola elektromagnetycznego w ujęciu równań różniczkowo całkowych niecałkowitego rzęduW podręcznikach i monografiach pierwsze dwa prawa Maxwell są zapisywane za pomocą poniższych wzorów [8]: (18) (19) Bardzo rzadko występują wzory o postaci: (20) (21) Pochodne ułamkowe

26 Otóż istnieje prosty związek między wzorem (13) a składnikiem Autorzy prac posługujący się rachunkiem różniczkowo całkowym niecałkowitego rzędu (na przykład prac [2, 3, 4, 5, 6]) nie zauważają wpływu swoich rozważań na dwa pierwsze prawa Maxwella. Otóż istnieje prosty związek między wzorem (13) a składnikiem we wzorze (18). Tak samo jest ze wzorem (14), który wprost prowadzi do wzoru (19). W ten sposób autorzy wyżej wymienionych pięciu prac i wielu innych wpłynęli na zapis praw Maxwella, sprowadzając je przy wykładnikach różnych od jedynki, do niepoprawnej formy. Taki zapis zmienia ugruntowane podstawy elektromagnetyzmu. W konsekwencji zostaną zmienione równania opisujące propagację fal elektromagnetycznych, teoria falowodów, metody opisu strat na prądy wirowe itp. Ulegnie gruntownej zmianie cały opis zjawisk zmiennego pola elektromagnetycznego. Pochodne ułamkowe

27 Problem wykorzystania pochodnych ułamkowych w teorii pola przedstawię w innym referacie.Przykładem może służyć poprawna praca [10] ([10] Engheta Nader, FRACTIONAL CURL OPERATOR IN ELECTROMAGNETICS 1 1 Moore School of Electrical Engineering University of Pennsylvania Philadelphia, Pennsylvania 19104, MICROWAVE AND OPTICAL TECHNOLOGY LETTERS / Vol. 17, No. 2, February ) Pochodne ułamkowe

28 Jak do tej pory nie ma żadnych wiarygodnych sygnałów by prawa Maxwella były opisywane wzorami (20) i (21), które są wymiarowo niejednorodne a więc błędne. W pracy [9] ([9] Morales M. A., Lainez R., MATHEMATICAL MODELLING OF FRACTIONAL ORDER CIRCUITS, arXiv: v1 [physics. class-ph] 21 Jan 2016) przytroczono cztery równania Maxwella w poprawnej postaci ale nie powiązano ich w żaden sposób z późniejszymi rozważaniami. Ważnym obszarem zastosowań równań różniczkowo całkowych niecałkowitego rzędu są superkondensatory. Jeżeli działają one na zasadzie elektrostatycznej to powinny być opisywane takimi samymi równaniami jak zwykłe kondensatory. Zastosowanie nowej technologii poważnie zwiększyło ich pojemność w relacji do objętości. Jednak o wielkości zgromadzonej energii decyduje nie tylko pojemność kondensatora ale i napięcie. Wynika to z następującego wzoru: (22) Pochodne ułamkowe

29 fgfgft hhjj Zgromadzona w polu elektrycznym (elektrostatycznym) energia jest funkcją gęstości objętościowej energii: (23) oraz objętości międzyelektrodowej V i może być zapisana w następującej postaci: (24) Gęstość energii pola elektrycznego jest funkcją wytrzymałości dielektrycznej dielektryka międzyelektrodowego oraz jego stałej dielektrycznej e Można zwiększać powierzchnię elektrod, jednakże nie przekroczymy ograniczeń wynikających z równania (23). Maksymalna zgromadzona energia jest ograniczona skończonymi wartościami stałej dielektrycznej e i określoną wytrzymałością elektryczną dielektryka międzyelektrodowego. Jeżeli super kondensatory nie działają na elektrostatycznej zasadzie gromadzenia energii to należy zdefiniować jak jest w nich ona gromadzona, a następnie opisać to równaniami. Pochodne ułamkowe

30 Podsumowanie W pracy przedstawiono krytyczne uwagi odnoszące się do wykorzystania rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitego rzędu w TOE i TPEM. Wykazano, że w przypadku teorii obwodów elektrycznych i teorii pola elektromagnetycznego do tej pory nie znalazł on powszechnie uzasadnionego zastosowania, czasami bywa stosowany błędnie. W części opublikowanych prac zauważono, że pochodne ułamkowe powodują wymiarową niejednorodność równań. Niektórzy autorzy zapobiegają niejednorodności z pomocą wprowadzanych współczynników. Inni autorzy nie zauważają tego problemu i zajmują się równaniami które są niepoprawne. Jednak w obu przypadkach nie wykazano na podstawie doświadczeń, że są elementy obwodów elektrycznych poprawnie opisywane z pomocą równań różniczkowych niecałkowitego rzędu. Być może takie elementy są lub zostaną odkryte i wtedy rachunek różniczkowo całkowy ułamkowego rzędu znajdzie zastosowanie w teorii obwodów elektrycznych i teorii pola. Pochodne ułamkowe

31 Metody obliczania prądów wirowych też nie uległy zmianie. Jeżeliby równania Maxwella zostały opisane z pomocą pochodnych ułamkowych to należałoby zmienić wszystkie wynikające z nich opisy. Jak dotąd nie ma żadnych wiarygodnych informacji o zmianach w dziedzinie propagacji fal elektromagnetycznych. Cała teoria pola elektromagnetycznego jest opisywana pochodnymi całkowitego rzędu. Nie uległa zmianie teoria anten i falowodów. Metody obliczania prądów wirowych też nie uległy zmianie. Projektowane i działające urządzenia korzystają z pochodnych i całek całkowitego rzędu. Maszyny elektryczne działają tak jak działały przed epoką pochodnych niecałkowitego rzędu w elektrotechnice. Działania zwolenników stosowania rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitego rzędu nie wpłynęły na elektrotechnikę stosowaną. Podobnie jest z telekomunikacją i badaniami nieniszczącymi. Działające telefony komórkowe działają tak jak by nie było pochodnych niecałkowitego rzędu. W tym przypadku teoria w pewnej części błędna nie ma żadnego wpływu na rzeczywistość, a bywało inaczej ze szkodą dla postępu. Pochodne ułamkowe

32 Dziękuję za uwagę i zapraszam do dyskusji.Popełniono kilka błędów. Któż ich nie popełnia? Należy je usunąć. Mam nadzieję, że błędy nie będą powtarzane. Kiedy to zauważyłem poczułem się w obowiązku publicznie przedstawić swoje wątpliwości. Spotkałem się próbami cenzury. Jeżeli nie mam racji proszę mnie przekonać, będę wdzięczny. Dziękuję za uwagę i zapraszam do dyskusji. Pochodne ułamkowe

33 [1] Domek St., „Rachunek różniczkowy ułamkowego rzędu w regulacji predykcyjnej”[2] Kaczorek T., STANDARD AND PISITIVE ELECTRICAL CIRCUITS WITH ZERO TRANSFER MATRICES, Poznan University of Technology Academic Journals Issue 85, 2016. [3] Kaczorek T., Zeroing of state variables in Fractional descriptor electrical circuits by state-feedbacks. Archives of Electrical Engineering, Vol. 63 (249).3/2014 Poznań 2014. [4] Kaczorek T., Positivity and reachability of fractional circuits, Acta mechanica et automatic, quarterly vol. 5 no , Białystotok University of Technology. [5] Włodarczyk M., Zawadzki A., OBWODY RLC W ASPEKCIE POCHODNYCH NIECAŁKOWITYCH RZĘDÓW DODATNICH, ELEKTRYKA, ZESZYT 1(217), Kielce 2011 Pochodne ułamkowe

34 [8] Sikora R., TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WNT Warszawa 1997.[6] Gomez-Aguilar J.F., et al., Electrical circuits described by a fractional derivative with regular Kernel, Revista Mexicana de Fisica 62 (2016). [7] Westerlund S., Ekstam L., Capacitor Theory, IEEE Trans. On Dielectrics and Electrical Insulation, Vol. 1 No. 5, October 1994. [8] Sikora R., TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WNT Warszawa 1997. [9] Morales M. A., Lainez R., MATHEMATICAL MODELLING OF FRACTIONAL ORDER CIRCUITS, arXiv: v1 [physics. class-ph] 21 Jan 2016 [10] Engheta Nader, FRACTIONAL CURL OPERATOR IN ELECTROMAGNETICS 1 1 Moore School of Electrical Engineering University of Pennsylvania Philadelphia, Pennsylvania 19104, MICROWAVE AND OPTICAL TECHNOLOGY LETTERS / Vol. 17, No. 2, February Pochodne ułamkowe