1 czyli geometria (i nie tylko) w sztuce. Fraktale w Logo KomeniuszuPiękna Matematyka, czyli geometria (i nie tylko) w sztuce. Fraktale w Logo Komeniuszu Kliknij, aby kontynuować Gimnazjum nr 1
2 Wstęp Przykładem zastosowań rekurencji w Logo Komeniusz jest tworzenie fraktali. Fraktalami nazywamy figury, które charakteryzują sie tym, że ich części są podobne do całości. Mówimy o nich, że są figurami samopodobnymi. Fraktale wzbudzają duże zainteresowanie, ponieważ wiele obiektów w przyrodzie ma kształt fraktalny. To właśnie o nich będzie niniejsza prezentacja. Kontynuuj
3 Zobacz wstęp do prezentacjiSpis treści Kliknij na interesującą Cię kategorię. Płatki Kocha Drzewo Pitagorasa Trójkąt Sierpińskiego Zobacz wstęp do prezentacji Bibliografia Wyjście
4 Płatek kocha Procedura w programie Logo Komeniusz.Kliknij na interesującą Cię kategorię. Czym jest płatek kocha? Konstrukcja płatka kocha. Procedura w programie Logo Komeniusz. Wróć do Spisu Treści
5 obrazek: Płatek Kocha Czym jest Płatek Kocha? Płatek Kocha, zwany również śnieżynką Kocha, jest krzywą matematyczną i fraktalem (obiektem „samo-podobnym”), opracowanym po raz pierwszy w roku 1904 przez szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. powiększ zamknij
6 Konstrukcja płatka Kocha – krok 1obrazek: krok pierwszy Konstrukcja płatka Kocha – krok 1 Rysujemy trójkąt równoboczny o określonej długości boku, np. 200. powiększ zamknij Następny Krok
7 Konstrukcja płatka Kocha – krok 2obrazek: krok pierwszy Konstrukcja płatka Kocha – krok 2 Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i „doklejamy” do części środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym. Z trójkąta powstała 12 boczna figura. powiększ zamknij Następny Krok
8 Konstrukcja płatka Kocha – krok 3obrazek: krok trzeci A obrazek: krok trzeci B Konstrukcja płatka Kocha – krok 3 Każdy bok gwiazdy dzielimy znowu na trzy równe części i do części środkowej doklejamy trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym niż poprzednio i postępujemy analogicznie, Teraz gwiazdka ma już 192 boki. powiększ powiększ zamknij zamknij Następny Krok
9 Konstrukcja płatka Kocha – kolejne krokiobrazek: kroki kolejne Konstrukcja płatka Kocha – kolejne kroki W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. W końcu powstanie nam coś takiego. powiększ zamknij
10 Procedura w Logo oto koch :n :rozmiarpowtórz 3 [bok :n :rozmiar pw 120] już oto bok :n :rozmiar jeśli :n=0 [np :rozmiar stop] bok :n-1 :rozmiar/3 lw 60 bok :n-1 :rozmiar/3 pw 120 bok :n-1 :rozmiar/3 Parametr n określa stopień fraktala. Parametr rozmiar określa jego wielkość. Kontynuuj
11 Procedurę koch wywołujemy:Kontynuuj
12 koch 3 200 koch 5 200
13 Drzewo pitagorejskie Procedura w programie Logo Komeniusz.Kliknij na interesującą Cię kategorię. Proces powstawania. Modyfikowanie tego fraktala. Procedura w programie Logo Komeniusz. Wróć do Spisu Treści
14 Proces powstawania.
15 Modyfikacja tego fraktala.obrazek: modyfikacja Modyfikacja tego fraktala. Stosując powyższe zasady możemy modyfikować sposób powstawania fraktali tego typu, używając trójkątów równoramiennych lub modyfikując w inny dowolny sposób. Poniższy rysunek przedstawia efekty takich modyfikacji. powiększ zamknij
16 Procedura w Logo oto drzewo :n :bok :kątjeśli :n=0 [np :bok pw 90 np :bok pw 90 np :bok stop] np :bok lw :kąt drzewo :n-1 :bok*cos :kąt :kąt lw 90 drzewo :n-1 :bok*sin :kąt :kąt lw 90-:kąt np :bok już Parametr n określa stopień fraktala, bok określa wielkość drzewa, kąt określa kąt nachylenia gałęzi drzewa. Kontynuuj
17 Procedurę drzewo wywołujemy:Kontynuuj
18 drzewo drzewo
19 Trójkąt sierpińskiegoKliknij na interesującą Cię kategorię. Co to jest? Proces powstawania Procedura w programie Logo Komeniusz. Wróć do Spisu Treści
20 Trójkąt SierpińskiegoTrójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.
21 Proces Powstawania O tym fraktalu mówi się, że jest klasyczny, jego nazwa pochodzi od nazwiska polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego ( ). Trójkąt Sierpińskiego tworzy się niezwykle łatwo, gdyż jest jednym z prostszych fraktali. Podstawą geometryczną jego konstrukcji jest wypełniony trójkąt na płaszczyźnie (ważne, aby był wypełniony - tutaj kolorem czarnym). Kontynuuj
22 Dokonując wielokrotnego usuwania części trójkąta, wybiera się środek każdego z boków. Wybrane punkty razem z wierzchołkami trójkąta początkowego wyznaczą cztery mniejsze trójkąty, z których należy usunąć trójkąt położony w środku. Krok ten jest podstawą tworzenia trójkąta Sierpińskiego. Po przejściu tego etapu pojawiają się trzy przystające trójkąty. Każdy z boków trójkątów, które powstały, jest równy połowie początkowej długości boku i łączy się z pozostałymi trójkątami dwoma wierzchołkami. Kontynuuj
23 W otrzymanych trójkątach, należy powtórzyć powyższą operacjęW otrzymanych trójkątach, należy powtórzyć powyższą operację. Po tej operacji otrzymuje się 9 trójkątów. Kontynuuj
24 W wyniku powtarzania iteracji otrzymuje się 3, 9, 27, 81, 243, … trójkąty. Każdy z nich jest dokładną wersją trójkątów z poprzednich kroków. Poniżej pokazano trójkąt Sierpińskiego po piątym kroku konstrukcji. Posiada on już 243 trójkąty.
25 Procedura w logo Komeniuszuoto dywan :bok :n pw 30 dywanik :bok :n lw 90 już oto dywanik :bok :n jeśli :n=0 [powtórz 3 [np :bok pw 120] stop] powtórz 3 [dywanik :bok/2 :n-1 np :bok pw 120] Parametr n określa stopień fraktala, bok określa wielkość dywanu.
26 Procedurę wywołujemy:dywan 200 0 dywan 200 1 Kontynuuj
27 dywan 200 2 dywan 200 4
28 mgr Jolanty Cyboń - TurowskiejPrzygotował: Mateusz Martyka pod kierunkiem mgr Jolanty Cyboń - Turowskiej Czy na pewno chcesz wyjść? TAK NIE Gimnazjum nr 1