1

2 Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:Zespół Szkół nr 5 Gimnazjum 40 w Poznaniu ID grupy: 98/13_mf_gr2 Opiekun: Ewa Mika-Królik Kompetencja: Matematyczno-fizyczne Temat projektowy: TWIERDZENIA I POJĘCIA GEOMETRYCZNE ORAZ ICH ILUSTRACJA ZA POMOCĄ FOTOGRAFII Semestr/rok szkolny: Semestr III rok szkolny 2010/2011

3 SPIS TREŚCI Cele projektu. Twierdzenia i pojęcia geometryczne:Kąty Wielokąty Bryły Jednostki pól i objętości Nasze badania i ćwiczenia: Rysunek w programie Paint Matematyczne origami Badanie własności dwusiecznych kątów i symetralnych boków w trójkącie – konstrukcje Zastosowanie aplikacji geogebra- symetria Zadania. Ilustracje fotograficzne: Bryły budynków Symetria Figury podobne Symetria w naturze i technice Kąty Bryły i figury w naszym otoczeniu Ciekawostki. Wnioski. Autorzy prezentacji. Bibliografia.

4 Cele projektu Zebranie i usystematyzowanie wiedzy z zakresu twierdzeń i pojęć geometrycznych. Wykonanie ilustracji fotograficznych do twierdzeń i pojęć geometrycznych. Rozwiązywanie zadań tekstowych i problemowych z geometrii. Badanie własności i zależności geometrycznych. Wykonanie doświadczeń studyjnych oraz zastosowanie aplikacji komputerowych. Przygotowanie matematycznych opisów do fotografii.

5 Kąty Podział kątów ze względu na ich miarę

6 Kąty przyległe Kąty odpowiadające: np. 2 i 6, 4 i 8 – są równe Kąty naprzemianległe: np. 1 i 7, 2 i 8 – są równe Kąty wierzchołkowe: np. 1 i 3, 6 i 8 – są równe

7 Kąt środkowy, kąt wpisanyKĄT ŚRODKOWY – kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona wyznaczone są przez wychodzące z niego promienie. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

8 WIELOKĄTY Trójkąty Suma kątów w trójkącie wynosi 180’

9 Czworokąty Suma kątów w czworokącie wynosi 360° PROSTOKĄT to czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste boki przeciwległe, są równej długości Przekątne są równej długości i dzielą się na połowy KWADRAT Jest prostokątem, którego wszystkie boki są równej długości Przekątne są prostopadłe i dzielą kąty wewnętrzne na połowy

10 równoległobok, którego wszystkie boki są równej długościczworokąt, w którym pary przeciwległych boków są równoległe (również prostokąt, kwadrat, romb) boki równoległe są równej długości kąty przeciwległe mają równe miary suma miar dwóch kolejnych boków równa jest 180’ przekątne dzielą się na połowy Romb równoległobok, którego wszystkie boki są równej długości przekątne są prostopadłe Przekątne dzielą kąty wewnętrzne na połowy Wysokości są równe

11 Deltoid Czworokąt, którego każdy z boków jest równy jednemu z boków sąsiednich. Przekątne są prostopadłe Trapez to czworokąt, którego co najmniej jedna pora boków jest równoległa Trapezami są: prostokąty, kwadraty, równoległoboki i romby boki równoległe to podstawy pozostałe boki to ramiona Wysokość trapezu to odległość miedzy bokami równoległymi

12 TRAPEZ RÓWNORAMIENNY ramiona są równe kąty miedzy ramionami a podstawami są równeTRAPEZ PROSTOKĄTNY jedno ramię jest prostopadłe do podstawy

13 WIELOKĄTY FOREMNE wielokąty, których wszystkie boki są równej długości a kąty jednakowej miary

14 OKRĄG I KOŁO OKRAG zbiór wszystkich punktów, płaszczyzn, których odległość od pkt S jest równa V- promień okręgu pkt S to środek okręgu cięciwa okręgu- odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu (CD) średnica- najdłuższa cięciwa, przechodzi przez środek okręgu (AB) średnice tego samego okręgu są równej długości średnica jest równa dwóm promienia KOŁO część płaszczyzny ograniczona okręgiem wraz z tym okręgiem

15 Wycinek koła – każda z części koła zawarta między dwoma promieniami

16 POLA POWIERZCHNI FIGUR PŁASKICHP=1/2ah P = a · h P = a2 P=1/2(a+b)·h P = πr2 P = a · b P=1/2(a+b)·h P=1/2d1·d2

17 JEDNOSTKI PÓL POWIERZCHNI1 cm2 = 100 mm2 1 dm2 = 100 cm2 = mm2 1 m2 = 100 dm2 = cm2 = mm2 1 km2 = m2 = a = 100 ha 1 a = 100 m2 1 ha = 100 a = m2

18 Pb-pole powierzchni bocznejBRYŁY Prostopadłościan (i inne graniastosłupy) P=2Pp+Pb Pp-pole podstawy Pb-pole powierzchni bocznej V=Pp x H V-objętość Sześcian

19 Ostrosłupy Pc = Pp + Pb V = 1/3 Pp x H

20 Bryły obrotowe

21 JEDNOSTKI OBJĘTOŚCI 1cm3 = 1ml 1m3 = 1000dm3 1dm3 = 1l 1dm3 = 1000cm31hl = 100l 1m3 = 1000dm3 1dm3 = 1000cm3 1cm3 = 1000mm3

22 3. NASZE BADANIA I ĆWICZENIA

23 W programie PAINT wykonywaliśmy rysunki zawierające figury geometryczna

24 Matematyczne origami Tworzyliśmy figury płaskie i przestrzenne

25 Badanie własności dwusiecznych kątów i symetralnych boków w trójkącie – nasze konstrukcjeSymetralne odcinka – proste prostopadłe do boku, przechodzące przez jego środek Wnioski: Każdy trójkąt ma 3 symetralne ( po jednej z każdego boku), przecinają się one w punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie Dwusieczna kąta – prosta dzieląca kąt na dwie równe części Każdy trójkąt ma 3 dwusieczne (po jednej z każdego kąta), przecinają się one w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt

26 Eksperymenty z zastosowaniem aplikacji geogebraSymetryczny obraz czworokąta względem prostej

27 Symetryczny obraz trójkąta względem punktu.

28 4. Zadania

29 b) H1 – Wysokość wody w akwarium H1 = 2/3H H1 = 2/3. 3dm=2dm V = a. bb) H1 – Wysokość wody w akwarium H1 = 2/3H H1 = 2/3*3dm=2dm V = a*b*H1 V = 5*4*2 = 40dm3 = 40l 1l = 1dm3 Odp.: Do akwarium wlano 40l wody

30 Zadanie 2 Promień kola roweru górskiego ma długość około 32cm. Jaka drogę przebędzie to koło po stu obrotach. wynik podaj w dokładności do 1m r = 32cm Ilość obrotów koła = 100 Droga koła przy jednym obrocie: (Ob. = 2IIr) 2II*32=2*3,14*32=200,96cm Droga przy stu obrotach 100*200,96=20096cm=201m Odp.: Po stu obrotach koło roweru przejedzie drogę około 201m

31 5. ILUSTRACJE FOTOGRAFICZNE DO TWIERDZEŃ I POJĘĆ GEOMETRYCZNYCH(zamieszczone fotografie wykonane zostały podczas zajęć terenowych oraz pochodzą z zasobów własnych uczniów)

32 Bryły budynków: Cieszyn - rotunda Warszawa - Eurocentrum

33

34 Egipt – piramida Tarnów – fontanna w kształcie układu słonecznego

35 Symetria: Kościół w Kórniku Trzcianka, rzeźba w drewnie

36 Pałac w Wilanowie Kościół w Rogalinie

37 Biblioteka Raczyńskich

38 Figury podobne:

39 Symetria w naturze i technice:Park Dębina – lustrzane odbicie

40

41 Gerbera – kwiat posiadający środek symetrii

42 Kąty: Kąty wytyczone przez wskazówki zegara Kąty środkowe w pizzy

43 Figury i bryły w naszym otoczeniu: Znaki drogowe Słoma walec

44 Parkiety, płytki, kostki brukowe układane są często z elementów o kształtach figur geometrycznych, często są to figury foremne

45 Meble Opakowania produktów

46 Piłka Tarcza do gry Kostka Rubika

47 6. CIEKAWOSTKI Czasem symetria pomaga żyć: z jednym uchem nie określimy precyzyjnie źródła dźwięku. Jedno oko nie wystarczy, by dobrze oszacować odległość. Trójkąt Egipski – trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

48 Piramida Cheopsa Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146m wysokości, a krawędź jej podstawy wynosi 230m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3m i grubości 25cm to opasałby on całą Polskę. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością czterech miejsc po przecinku.

49 Dlaczego pszczoły budują plastry miodu w kształcie sześciokątów?Ciasne wnętrze pszczelego ula należy wykorzystać w sposób najbardziej ekonomiczny , więc wybrać taki wielokąt, który zwielokrotniony pokrywałby płaszczyznę, bez żadnych szpar i szczelin. Spośród odkrytych już przez Pitagorasa wielokątów foremnych: trójkąta, kwadratu i sześciokąta, mądre pszczoły wybrały właśnie sześciokąt. Innych form geometrycznych nie brały pod uwagę, gdyż musiałyby swe plastry budować z komórek dwu lub nawet więcej typów, co znacznie utrudniłoby im pracę. Dlaczego wybrały więc sześciokąt? Dlatego, że przy równej powierzchni sześciokąty mają najmniejszy obwód. Budując sześciokątne komórki osiągnąć można więc największą pojemność komórek przy względnie najmniejszym zużyciu wosku

50 7. WNIOSKI Znajomość twierdzeń: pojęć geometrycznych, obliczanie, objętości i powierzchna figur i brył są nieodzowne w życiu codziennym. Z figurami, bryłami, kątami spotykamy się każdego dnia od kuchni po wyprawy kosmiczne. Wiele elementów naszego otoczenia oparte jest na symetrii

51 8. Nad tematem pracowała nasza grupa w składzie:Agata Olczak Karolina Ożarek Ewelina Łączna Ola Klisik Patrycja Matuszczak Michalina Kowalska Maciej Ziemniewicz Krzysztof Michalczak Antek Mikołajczyk Olaf Bergmann oraz p. Ewa Mika

52 9. Bibliografia Matematyka wokół nas – podręcznik dla klasy pierwszej gimnazjum, WSIP W-wa 2008 Ilustrowana encyklopedia ucznia: Matematyka, Świat Książki W-wa 2004 Paszczyńska : matematyka – korepetycje (klasa 1, 2, 3) Greg Kraków 2004

53