1 Dariusz Odejewski Krzysztof WójcikGreen Hackenbush Dariusz Odejewski Krzysztof Wójcik

2 Rodzaje i zasady HackenbushaW grze Green Hackenbush chodzi o ścinanie krawędzi w ”zakorzenionym” grafie i usuwanie tych części grafu, które nie są połączone z podłożem. ”Zakorzeniony graf” jest to graf nieskierowany z każdą krawędzią, połączoną pewna ścieżką z tak zwanym podłożem. W tej wersji Hackenbusha obaj gracze mogą ściąć każdą z krawędzi. Istnieje również odmiana tej gry tzw. Blue-red Hackenbush w której gracze maja przydzielony swój kolor i mogą ścinać krawędzie tylko swojego koloru. Gracze poruszają się na zmianę. Wygrywa gracz, który wykona ostatni ruch.

3 Bamboo Stalks Bamboo Stalks jest to najprostsza wersja Green Hackenbusha. W grze tej gracz ścina dowolna krawędź i usuwa wszystko co było nad nią. Każda łodyga składająca się z n krawędzi może zostać zmieniona na łodygę z między n-1 a 0 krawędzi. Tak więc pojedyncza łodyga z n liczbą krawędzi jest równoważna stosowi o n kulkach w grze Nim.

4 Bamboo Stalks. (przykład)

5 Bamboo Stalks. (przykład)W przykładzie mamy trzy łodygi, co możemy rozpatrywać jako 3 stosy w grze Nim o odpowiednio 3, 4, 5 kulkach. Wartość Sprague-Grundy tego układu wynosi 2 zatem jest to N-pozycja która możemy zamienić na P-pozycję po ścięciu drugiej krawędzi od dołu w najmniejszej łodydze. Zauważmy, że układ po prawej ma wartość Sprague- Grundy równa 0, co oznacza, że jest to P-pozycja.

6 Green Hackenbush na drzewach.W tej odmianie gry mamy „zakorzenione” drzewa, w których wyróżniamy wierzchołek „korzeń” oraz inne wierzchołki połączone pewna ścieżką z korzeniem ale bez cykli. Zasady gry są analogiczne jak w przypadku łodyg bambusowych. Problem sprowadza się do przyrównania każdego drzewa do pojedynczej łodygi. Pozwoli nam to znaleźć wartość Sprague- Grundy całego drzewa. W tym celu wykorzystujemy tak zwaną „ Colon Principle”, która mówi: gdy gałęzie schodzą się do jednego wierzchołka można je zamienić na łodygę, której długość równa się ich Nim sumie.

7 Green Hackenbush na drzewach. (przykład)

8 Green Hackenbush na drzewach. (przykład c.d.)

9 Green Hackenbush na drzewach. (przykład c.d.)Po przekształceniu wszystkich drzew w łodygi obliczamy wartość Sprague-Grundy. W przykładzie drugim jest to 1+8+4=13. Ponieważ nie jest to 0, gracz do którego należy teraz ruch jest w pozycji wygrywającej. Zauważmy, że aby pozostawić drugiego gracza w P-pozycji, musimy tak uciąć środkowe drzewo aby jego wartość Sprague-Grundy wynosiła 5, wówczas wartość Sprague-Grundy całego układu będzie wynosiła 0. Aby tego dokonać musimy ( odnosząc się do przekształcenia na poprzednim przykladzie o wartości 3, 2 i 6 ) pozbyć się gałęzi o wartości 3 lub ściąć najwyższą krawędź środkowej gałęzi.

10 Green Hackenbush na dowolnych grafach.W tej odmianie gry rozpatrujemy grafy, w których mogą występować cykle i pętle oraz wiele segmentów może stykać się z podłożem. Podobnie jak w poprzednich przykładach te grafy również możemy przyrównać do stosów Nim. W tym celu wykorzystamy tzw. „Fusion Principle”. Łączymy dwa sąsiadujące wierzchołki w jeden tworząc z krawędzi łączącej je pętle. W przypadku Green Hackenbusha pętla może zostać zamieniona na liść.

11 „The Fusion Principle”„The Fusion Principle”: wierzchołki w dowolnym cyklu mogą być łączone bez zmiany wartości Sprague-Grundy całego grafu. Dzięki tej zasadzie dowolny graf możemy zamienić na drzewo, a następnie w łodygę.

12 Green Hackenbush na dowolnych grafach.

13 Łączenie wierzchołków. (przykład)Rozważmy przykład z rysunku. Musimy zauważyć, że podłoże traktujemy jako pojedynczy wierzchołek. Następnie poprzez łączenie wierzchołków otrzymujemy łodygę o wartości 1.

14 Łączenie wierzchołków.Zauważmy, że cykl o nieparzystej ilości krawędzi redukuje się do jednej krawędzi, natomiast cykl o parzystej ilości do pojedynczego wierzchołka. Odnieśmy się do przykładu. Choinkę składającą się z cyklu o długości 4 możemy przekształcić w pojedynczą łodygę o wartości 1 natomiast komin w domku staje się pojedynczym wierzchołkiem.

15 Przykład 2

16 Obliczanie wartości Sprague-Grandy. (przykład)Wykorzystując poznane dotychczas metody możemy pokazać, że wartość Sprague-Grundy całego domku wynosi 3 a żonglera 4.

17 Dziękujemy za uwagę…

18 Bibliografia Game Theory – Thomas S. Ferguson