1 De la escritura secreta a la Criptografía CuánticaJuan José Suárez Menéndez: IES “Pando” de Oviedo

2 LA ESCRITURA SECRETA Los testimonios más antiguos se remontan a Herodoto. En “Las Historias” hizo una crónica de los conflictos entre Grecia y Persia en el siglo V a.C. Según Herodoto fue el “arte de la escritura secreta lo que salvó a Grecia de ser ocupada por Jerjes.

3 LA ESCRITURA SECRETA El prolongado enfrentamiento entre Grecia y Persia alcanzó su punto culminante cuando Jerjes comenzó a construir una ciudad en Persépolis. Llegaron tributos y regalos de todo el imperio y de los estados vecinos, con las notables excepciones de Atenas y Esparta.

4 LA ESCRITURA SECRETA Para vengar esta insolencia, Jerjes comenzó a movilizar una fuerza, declarando que “extenderemos el imperio de Persia de tal manera que sus límites serán el propio cielo de Dios, de forma que el Sol no brillará en ninguna tierra más allá de los límites de lo que es nuestro”.

5 LA ESCRITURA SECRETA Pasó los cinco años siguientes reuniendo en secreto la mayor fuerza de lucha de la Historia, y en el año 480 a.C. estuvo listo para lanzar un ataque sorpresa.

6 LA ESCRITURA SECRETA Sin embargo, la proliferación militar persa había sido presenciada por Demarato, un griego que había sido expulsado de su patria y vivía en la ciudad persa de Susa.

7 LA ESCRITURA SECRETA A pesar de estar exiliado, aún sentía cierta lealtad hacia Grecia, y decidió enviar un mensaje para advertir a los espartanos del plan de invasión de Jerjes. El desafío consistía en cómo enviar el mensaje sin que fuera interceptado por los guardas persas.

8 LA ESCRITURA SECRETA Herodoto escribió:Como el peligro de que lo descubrieran era muy grande, sólo había una manera en que podía contribuir a que pasara el mensaje: retirar la cera de un par de tablillas de madera, escribir en la madera lo que Jerjes planeaba y luego volver a cubrir el mensaje con cera. De esta forma, las tablillas, al estar aparentemente en blanco, no ocasionarían problemas con los guardas del camino. Cuando el mensaje llegó a su destino, nadie fue capaz de adivinar el secreto, hasta que, según tengo entendido, la hija de Cleomenes, Gorgo, que era la esposa de Leónidas, lo vaticinó y les dijo a los demás que si quitaban la cera encontrarían algo escrito debajo, en la madera. Se hizo así; el mensaje quedó revelado y fue leído, y después fue comunicado a los demás griegos.

9 LA ESCRITURA SECRETA Como resultado de esta advertencia, los hasta entonces indefensos griegos comenzaron a armarse. Los beneficios de las minas de plata pertenecientes al estado, que normalmente se distribuían entre los ciudadanos, fueron ahora transferidos a la Marina para la construcción de doscientas naves de guerra.

10 LA ESCRITURA SECRETA Jerjes había perdido el vital elemento de la sorpresa y, el 23 de septiembre del año 480 a.C., cuando la flota persa se aproximó a la bahía de Salamina, cerca de Atenas, los griegos estaban preparados. Aunque Jerjes creía que había atrapado a la marina griega, los griegos estaban incitando deliberadamente a las naves persas para que entraran en la bahía.

11 LA ESCRITURA SECRETA Los griegos sabían que sus naves, más pequeñas y menores en número, serían destruidas en el mar abierto, pero se dieron cuenta que entre los confines de la bahía podrían superar estratégicamente a los persas. Cuando el viento cambió de dirección, los persas fueron llevados por el viento al interior de la bahía, forzados a un enfrentamiento en los términos de los griegos.

12 LA ESCRITURA SECRETA La princesa persa Artemisa quedó rodeada por tres lados y trató de volver hacia el mar abierto, consiguiendo tan sólo chocar con una de sus propias naves. Entonces cundió el pánico, más naves persas chocaron entre sí y los griegos lanzaron un sangriento ataque. En menos de un día, las formidables fuerzas de Persia habían sido humilladas.

13 LA ESCRITURA SECRETA La cabeza del mensajero.La estrategia de Demarato para la comunicación secreta se basaba simplemente en la ocultación del mensaje. Herodoto narró también otro incidente en el que la ocultación fue suficiente para conseguir el paso seguro de un mensaje.

14 LA ESCRITURA SECRETA Él hizo la crónica de la historia de Histaiaeo, que quería alentar a Aristágoras de Mileto para que se rebelara contra el rey de Persia.

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16 LA ESCRITURA SECRETA Para transmitir sus instrucciones de forma segura, Histaiaeo afeitó la cabeza de su mensajero, escribió el mensaje en su cuero cabelludo y luego esperó a que le volviera a crecer el pelo. Evidentemente, aquél era un período de la Historia que toleraba una cierta falta de urgencia.

17 LA ESCRITURA SECRETA El mensajero, que aparentemente no llevaba nada conflictivo, pudo viajar sin ser molestado. Al llegar a su destino, se afeitó la cabeza y se la mostró al receptor al que iba destinado el mensaje.

18 LA ESCRITURA SECRETA La comunicación secreta lograda mediante la ocultación de la existencia de un mensaje se conoce como esteganografía, derivado de la palabra griega «steganos», que significa «encubierto» y «graphein», que significa «escribir».

19 LA ESCRITURA SECRETA En los dos mil años que han transcurrido desde Herodoto, diversas formas de estenografía han sido utilizadas por todo el mundo. Por ejemplo, en la China antigua se escribían mensajes sobre seda fina, que luego era aplastada hasta formar una pelotita diminuta que se recubría de cera. Entonces el mensajero tragaba la bola de cera.

20 LA ESCRITURA SECRETA En el siglo XV, el científico italiano Giovanni Porta describió cómo esconder un mensaje dentro de un huevo cocido haciendo una tinta con una mezcla de una onza de alumbre y una pinta de vinagre, y luego escribiendo en la cáscara.

21 LA ESCRITURA SECRETA La solución penetra en la cáscara porosa y deja un mensaje en la superficie de la albúmina del huevo duro, que sólo se puede leer si se pela el huevo. La esteganografía incluye también la práctica de escribir con tinta invisible.

22 LA ESCRITURA SECRETA Ya en el siglo I, Plinio el Viejo explicó como la «leche» de la planta Thithymallus podía usarse como tinta invisible. Aunque se vuelve transparente al secarse, al calentarla suavemente se chamusca y se pone marrón.

23 LA ESCRITURA SECRETA Muchos fluidos orgánicos se comportan de manera similar, porque son ricos en carbono y se chamuscan fácilmente. De hecho, es sabido que los espías modernos a los que se les ha acabado su tinta invisible habitual improvisan utilizando su propia orina. La longevidad de la esteganografía corrobora que ofrece sin duda un nivel de seguridad, pero padece de una debilidad fundamental.

24 LA ESCRITURA SECRETA Si registran al mensajero y descubren el mensaje, el contenido de la comunicación secreta se revela en el acto. La interceptación del mensaje compromete inmediatamente toda la seguridad.

25 LA ESCRITURA SECRETA Un guarda concienzudo podría registrar rutinariamente a cualquier persona que cruce una frontera y raspar cualquier tablilla cubierta de cera, calentar cualquier hoja de papel en blanco, pelar huevos cocidos, afeitar la cabeza de alguien, y así sucesivamente, e inevitablemente se producirían ocasiones en las que el mensaje quedaría revelado.

26 LA ESCRITURA SECRETA Por eso, paralelamente al desarrollo de la esteganografía, se produjo la evolución de la criptografía, término derivado de la palabra griega «kryptos», que significa «escondido».

27 LA ESCRITURA SECRETA El objetivo de la criptografía no es ocultar la existencia de un mensaje, sino más bien ocultar su significado, un proceso que se conoce como codificación. Para hacer que el mensaje sea inteligible se codifica siguiendo un protocolo específico, sobre el cual se han puesto de acuerdo de antemano el emisor y el receptor a quien va dirigido.

28 LA ESCRITURA SECRETA De esta forma, dicho receptor puede invertir el protocolo codificador y hacer que el mensaje sea comprensible. La ventaja de la criptografía es que si el enemigo intercepta un mensaje cifrado, éste es ilegible. Sin conocer el protocolo codificador, al enemigo le resultaría difícil, cuando no imposible, recrear el mensaje original a partir del texto cifrado.

29 LA ESCRITURA SECRETA Aunque la criptografía y la esteganografía son independientes, es posible codificar y ocultar un mismo mensaje para aumentar al máximo la seguridad. Por ejemplo, el micropunto es una forma de esteganografía que se hizo popular durante la Segunda Guerra Mundial.

30 LA ESCRITURA SECRETA Agentes alemanes en Latinoamérica reducían fotográficamente una página de texto a un punto de menos de 1 milímetro de diámetro y luego escondían este micropunto sobre un punto y aparte de una carta aparentemente inocua.

31 LA ESCRITURA SECRETA La primera vez que el FBI descubrió un micropunto fue en 1941, siguiendo un soplo que decía que los norteamericanos debían buscar en la superficie de una carta un brillo diminuto, indicativo de un minúsculo film. Después de eso, los norteamericanos pudieron leer el contenido de la mayoría de los micropuntos interceptados, excepto cuando los agentes alemanes habían tomado la precaución extra de codificar su mensaje antes de reducirlo.

32 LA ESCRITURA SECRETA En tales casos de criptografía combinada con esteganografía, a veces los norteamericanos pudieron bloquear las comunicaciones, pero no lograron averiguar nueva información sobre la actividad del espionaje alemán. De las dos ramas de la comunicación secreta, la criptografía es la más poderosa a causa de su habilidad para evitar que la información caiga en manos enemigas.

33 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasA su vez, la criptografía misma puede ser dividida en dos ramas, conocidas como «trasposición» y «sustitución». En la «trasposición», las letras del mensaje simplemente se colocan de otra manera, generando así un anagrama.

34 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasPara mensajes muy cortos, como los de una sola palabra, este método es relativamente inseguro porque sólo hay un número limitado de maneras de combinar un puñado de letras. Por ejemplo, tres letras sólo pueden ser combinadas de seis manera diferentes: por ejemplo, ron, rno, orn, onr, nro, nor.

35 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasSin embargo, según el número de letras va incrementándose, el número de posibles combinaciones se dispara rápidamente, haciendo imposible volver al mensaje original a no ser que se conozca el proceso codificador exacto. Por ejemplo, considérese esta breve frase.

36 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasContiene solamente 35 letras, y, sin embargo, existen más de de combinaciones distintas entre ellas. Si una persona pudiera revisar una combinación por segundo y si todas las personas del mundo trabajaran día y noche, aún se necesitarían más de mil veces los siglos de vida del universo para revisar todas las combinaciones.

37 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasUna trasposición de letras realizada al azar parece ofrecer un nivel muy alto de seguridad, porque a un interceptor enemigo le resultaría muy poco práctico descodificar, incluso una breve frase.

38 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasPero hay un inconveniente: La trasposición genera eficazmente un anagrama increíblemente difícil, y si las letras se mezclan al azar, sin pies ni cabeza, la descodificación del anagrama es tan imposible para el recipiente a quien va dirigido como para un interceptor enemigo.

39 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasPara que la trasposición sea efectiva, la combinación de letras necesita seguir un sistema sencillo, que haya sido acordado previamente por el emisor y el receptor, pero que se mantenga secreto frente al enemigo.

40 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasPor ejemplo, los niños en la escuela a veces envían mensajes utilizando la trasposición de «riel», en la que el mensaje se escribe alternando las letras en dos líneas separadas.

41 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasA continuación, la secuencia de letras de la línea inferior se añade al final de la secuencia de letras de la línea inferior se añade al final de la secuencia de la línea superior, creándose así el mensaje cifrado final. Por ejemplo:

42 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasTU SECRETO ES TU PRISIONERO; SI LO SUELTAS, TÚ ERES SU PRISIONERO ↓ TSCEOSUROEOIOULATEESPIINR UERTETPIINRSLSETSURSURSOEO TSCEOSUROEOIOULATEESPIINRUERTETPIINRSLSETSURSURSOEO El receptor puede recuperar el mensaje simplemente invirtiendo el proceso.

43 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasHay otras formas de traposición sistemática, incluida la cifra de «riel» de tres líneas, en la que primero se escribe el mensaje en tres líneas separadas en vez de dos. Como alternativa se podría cambiar cada par de letras, de forma que la primera y la segunda cambien de lugar, así como la tercer y la cuarta, y así sucesivamente.

44 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasOtra forma de trasposición es la producida en el primer aparato criptográfico de la Historia, el escitalo espartano, que se remonta al siglo V a.C. El escitalo es una vara de madera sobre la que se enrosca una tira de cuero o un pergamino, tal como se muestra bajo estas líneas.

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46 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEl emisor escribe un mensaje a lo largo de la longitud del escitalo y luego desenrosca la tira, que ahora parece llevar una lista de letras sin sentido. El mensaje ha sido codificado.

47 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEl mensajero llevaba la tira de cuero y, en un nuevo giro esteganográfico, a veces la llevaba de cinturón, con las letras ocultas en la parte interna. Para recuperar el mensaje, el receptor simplemente enrosca la tira de cuero en torno a un escitalo del mismo diámetro que el usado por el emisor.

48 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEn el año 404 a.C. se presentó ante Lisandro de Esparta un mensajero, maltrecho y ensangrentado, uno de los cinco únicos supevivientes del arduo viaje desde Persia. El mensajero le dio su cinturón, y Lisandro lo enrolló en su escitalo, enterándose así de que Farnabazo de Persia planeaba atacarlo. Gracias al escitalo, Lisandro se preparó para afrontar ese ataque y lo repelió.

49 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasLa alternativa a la trasposición es la sustitución.

50 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasUna de las descripciones más antiguas de codificación por sustitución aparece en el Kamasutra, un texto escrito en el siglo IV por el erudito Brahmin Vatsyayana, pero que se basa en manuscritos que se remontan al siglo IV a.C.

51 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEl Kamasutra recomienda que las mujeres deberían estudiar 64 artes, como cocinar, saber vestirse, dar masajes y preparar perfumes. La lista incluye también algunas artes menos obvias, como la prestidigitación, el ajedrez, la encuadernación de libros y la carpintería.

52 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEl número 45 de la lista es mlecchita-vikalpa, el arte de la escritura secreta, preconizado para ayudar a las mujeres a ocultar los detalles de sus relaciones amorosas. Una de las técnicas recomendadas es emparejar al azar las letras del alfabeto y luego sustituir cada letra del mensaje original por su pareja.

53 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasSi aplicamos este principio al alfabeto romano podríamos emparejar las letras de esta manera.

54 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEntonces, en vez de: «encontrémonos a medianoche», el emisor escribiría USMQSZLUCQSQN V CUXGVSQMBU.

55 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEsta forma de escritura secreta se conoce como cifra de sustitución porque cada letra del texto llano se sustituye por una letra diferente, funcionando así de manera complementaria a la cifra por trasposición. En la trasposición, cada letra mantiene su identidad pero cambia su posición, mientras que en la sustitución, cada letra cambia su identidad pero mantiene su posición.

56 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEl primer uso documentado de una cifra de sustitución con propósitos militares aparece en la «Guerra de las Galias», de Julio César. César describe cómo envió un mensaje a Cicerón que se encontraba sitiado y a punto de rendirse.

57 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letras

58 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasLa sustitución reemplazó las letras romanas por letras griegas, haciendo que el mensaje resultara ininteligible para el enemigo. César describió la dramática entrega del mensaje.

59 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasSe dieron instrucciones al mensajero para que si no pudiese acercarse, arrojara una lanza, con la carta sujeta a la correa, al atrincheramiento del campamento. Temiendo el peligro, el galo arrojó la lanza, tal como se le había dicho. Por casualidad, la lanza se clavó en la torre, y durante dos días nuestras tropas no la vieron; al tercer día fue divisada por un soldado, que la bajó y la llevó a Cicerón. Después de leerla detalladamente, éste la narró en un desfile de las tropas, proporcionando a todos la mayor de las alegrías.

60 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasCésar utilizó la escritura secrete tan frecuentemente que Valerio Probo escribió un tratado entero acerca de sus cifras, que desgraciadamente no ha sobrevivido.

61 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasSin embargo, gracias a la obra de Suetonio «Vidas de los Césares LVI», escrita en el siglo segundo de nuestra era, tenemos una descripción detallada de uno de los tipos de cifra de sustitución utilizado por César.

62 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasEl emperador sencillamente sustituía cada letra del mensaje con la letra que está tres lugares más adelante en el alfabeto.

63 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasLos criptógrafos a menudo piensan en términos de alfabeto llano, el alfabeto que se usa para escribir el mensaje original, y alfabeto cifrado, las letras que sustituyen a las del alfabeto llano.

64 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasCuando el alfabeto llano se coloca sobre el alfabeto cifrado, tal como se muestra más abajo, queda claro que el alfabeto cifrado ha sido movido tres lugares, por lo que esta forma de sustitución a menudo es llamada la cifra de cambio del César, o simplemente la cifra del César.

65 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasUna cifra es el nombre que se da a cualquier forma de sustitución criptográfica en la que cada letra es reemplazada por otra letra o símbolo.

66 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasTexto llano: veni, vidi, vici Texto cifrado: YHQL, YLGL, YLFL

67 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasLa cifra del César se basa en un alfabeto cifrado que se ha movido un cierto número de lugares (en este caso, tres) con respecto al alfabeto llano. La convención en la criptografía es escribir el alfabeto llano en letras minúsculas, y el alfabeto cifrado en mayúsculas. De manera similar, el mensaje original, el texto llano, se escribe en minúsculas y el texto cifrado, en mayúsculas.

68 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasAunque Suetonio sólo menciona un «cambio del César» de tres lugares, es evidente que al utilizar cualquier cambio de entre 1 y 25 lugares es posible generar 25 cifras distintas. De hecho, si no nos limitamos a cambiar ordenadamente el alfabeto y permitimos que el alfabeto cifrado sea cualquier combinación del alfabeto llano, podemos generar un número aún mayor de cifras distintas. Hay más de combinaciones posibles y, por tanto, de cifras diferentes.

69 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasCada una de las cifras puede ser considerada en términos de un método de codificación general, conocido como el algoritmo, y una clave, que especifica los detalles exactos de una codificación particular.

70 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasEn este caso, el algoritmo conlleva sustituir cada letra del alfabeto llano por una letra procedente de un alfabeto cifrado, y el alfabeto cifrado puede consistir de cualquier combinación del alfabeto llano. La clave define el alfabeto cifrado exacto que hay que usar para una codificación particular.

71 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasUn enemigo que estudie un mensaje codificado interceptado puede tener una fuerte sospecha de la existencia del algoritmo, pero quizá no conozca la clave exacta.

72 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasPor ejemplo, puede muy bien sospechar que cada letra del texto llano ha sido reemplazada por una letra diferente según un alfabeto cifrado particular, pero es improbable que sepa qué alfabeto cifrado ha sido utilizado.

73 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasSi el alfabeto cifrado, la clave, se mantiene como secreto bien guardado entre el emisor y el receptor, el enemigo no podrá descifrar el mensaje interceptado. La importancia de la clave, a diferencia del algoritmo, es un principio estable de la criptografía.

74 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasFue expuesto definitivamente en 1883 por el lingüista holandés Augusto Kerckhoffs von Nieuwenhof en su libro «La Cryptographie Militaire».

75 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactas«El Principio de Kerckhoffs: La seguridad de un cripto-sistema no debe depender de mantener secreto el cripto-algoritmo. La seguridad depende sólo de mantener secreta la clave».

76 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasAdemás de mantener secreta la clave, un sistema de cifra seguro debe tener también una amplia gama de claves potenciales.

77 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasPor ejemplo, si el emisor utiliza la cifra de «cambio del César» para cifrar un mensaje, la codificación es relativamente débil, porque sólo hay 25 claves potenciales.

78 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasDesde el punto de vista del enemigo, si éste intercepta el mensaje y sospecha que el algoritmo utilizado es «el cambio del César», entonces sólo tiene que revisar las 25 posibilidades.

79 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasSin embargo, si el emisor utiliza el algoritmo de sustitución más general, que permite que el alfabeto cifrado sea cualquier combinación del universo llano, entonces hay 4∙1026 claves posibles entre las que elegir. Una de ellas es:

80 LA ESCRITURA SECRETA: Sospechas y claves exactasDesde el punto de vista del enemigo, si el mensaje es interceptado y se conoce el algoritmo, queda aún la horrenda tarea de revisar todas las claves posibles. Si un agente enemigo fuese capaz de revisar una de las 4∙1026 claves posibles por segundo le llevaría aproximadamente un billón de veces los siglos de vida del universo revisar todas ellas y descifrar el mensaje.

81 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasTexto llano: et tu, brute? Texto cifrado: WX XH, LGHXW? Un ejemplo de algoritmo de sustitución general, en el que cada letra del texto llano se sustituye por otra letra según una clave. La clave se define mediante el alfabeto cifrado, que puede ser cualquier combinación del alfabeto llano.

82 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasLa ventaja de este tipo de cifra radica en que es fácil de poner en práctica, a la vez que ofrece un alto nivel de seguridad.

83 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasPara el emisor es fácil definir la clave, que consiste meramente en determinar el orden de las 26 letras en el alfabeto cifrado elegido, y, sin embargo, al enemigo le será prácticamente imposible revisar todas las claves posibles por el denominado «ataque por la fuerza bruta».

84 LA ESCRITURA SECRETA: Combinar un puñado de letrasLa simplicidad de la clave es importante, porque el emisor y el receptor tienen que compartir el conocimiento de la clave, y cuanto más simple sea esta, menor será la posibilidad de un malentendido.

85 TEORÍA DE LA INFORMACIÓN Y LEYES DE LA FÍSICA

86 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEn 1948, Claude E. Shannon publicó un artículo seminal titulado “A mathematical theory of communication”, transformado en libro un año más tarde, que fundó una nueva disciplina, la teoría de la comunicación o de la información, como se tiende a llamarla hoy.

87 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaDesde entonces su importancia no ha dejado de crecer. Aunque es necesaria para el análisis de cómo se procesa el pensamiento, surge de un dispositivo creado por los humanos, la telegrafía (algo parecido ocurrió antes con la máquina de vapor, los aviones o los circuitos eléctricos).

88 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEn la teoría de la información es central el concepto de entropía, idea que los físicos estudian desde sus cursos de termodinámica. Pero conviene decir desde el principio que la entropía de que vamos a hablar es distinta, al menos en su forma, de la de la termodinámica, pareciéndose en cambio a la de Boltzmann propia de la Mecánica Estadística.

89 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaConsideremos un gas que se expande contra un pistón dentro de un cilindro. Si el proceso es lo bastante lento y no hay flujo de calor desde o hacia el gas, se trata de un proceso reversible que se puede deshacer volviendo el gas al mismo estado de presión, energía y temperatura que al principio.

90 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEn los procesos reversibles, la entropía permanece constante. Por eso el cambio de entropía es un indicador de la reversibilidad. Los estados reversibles son la excepción, no la regla.

91 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaSupongamos que, en el ejemplo anterior, el cilindro estuviese dividido en dos mediante una pared y que todo el gas se encontrase a la izquierda de esta pared.

92 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaSi la pared desaparece de manera súbita, el gas se expande y llena el cilindro rápidamente.

93 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEn este proceso, su energía permanece constante, pero la entropía crece. Antes de la partición, era posible obtener energía mecánica del gas, dejándolo salir a través de un agujero en la pared y haciéndole mover un pequeño motor.

94 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaPero tras la expansión y el consiguiente aumento de la entropía eso no es ya posible. Un aumento de la entropía implica una disminución de nuestra capacidad de transformar energía térmica en energía mecánica.

95 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEsto se refiere al concepto de entropía según la termodinámica. Nos interesa más aquí el de la mecánica estadística, en la que aparece como proporcional al logaritmo de la extensión en el espacio de las fases del conjunto de los microestados que son compatibles con un cierto macroestado.

96 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEn términos matemáticos S = k log W ecuación, por cierto, grabada en la tumba de Boltzmann en el cementerio de Viena.

97 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaSe suele decir que la entropía es una medida del desorden, afirmación que suele ser muy imprecisa pues no se suele explicar bien qué cosa es desorden, aunque suele asociarse de modo no explícito con la complejidad del estado. La mejor manera de dar sentido a esta frase tópica es hacer corresponder orden con conocimiento.

98 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEl desorden estaría entonces relacionado con la imprevisibilidad (o impredecibilidad). O sea, que un aumento del desorden es una disminución de nuestro conocimiento de los detalles de un sistema, lo que hace más difícil la predicción (así ocurre de modo notable con los sistemas caóticos).

99 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaVolvamos al ejemplo anterior. Hemos visto que si sabemos que las moléculas están a un lado de la pared, la entropía es menor que si se reparten por todo el cilindro.

100 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaSin duda sabemos más sobre las moléculas en el primer caso que en el segundo, lo que muestra que cuanto más detallado sea nuestro conocimiento de un sistema, menor será su entropía y menor será también nuestra incertidumbre sobre él.

101 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEste es el sentido de la entropía que nos interesa: es una medida de nuestra incertidumbre, de modo que un crecimiento de la entropía significa un decrecimiento del orden (aunque este concepto es ambiguo) y también una disminución de nuestro conocimiento.

102 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaEn la definición de Boltzmann es claramente así. Si aumenta la extensión en el espacio de las fases W, disminuye nuestro conocimiento del sistema.

103 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaLo mismo ocurre en teoría de la información (o de la comunicación). Tenemos en este caso una fuente de mensajes (una persona que escribe o habla, por ejemplo), que puede producir en cada ocasión uno cualquiera de un cierto número de posibles mensajes.

104 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaSe entiende bien de modo intuitivo que la cantidad de información que proporciona cada mensaje aumenta con el grado de incertidumbre sobre cuál será ese mensaje. Si sólo hay uno posible, por ejemplo la letra A, no se añade ningún conocimiento al recibirlo.

105 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaDel mismo modo, un mensaje entre 10 posibles transmite menos información que uno entre mil. Por eso la entropía de la teoría de la información tiene mucho parecido con la de la mecánica estadística (no así con la de la termodinámica): es también una medida de la incertidumbre.

106 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaLa incertidumbre, es decir, la entropía, se toma como medida de la información aportada por un mensaje. Cuanto más sepamos sobre los mensajes que puede producir la fuente, menor será nuestra incertidumbre, menor la entropía y menor la información.

107 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaHay que tener cuidado aquí con la manera de hablar, especialmente con el uso de la palabra información. Debe distinguirse entre la información que tenemos ya sobre un sistema y la información al hacer un experimento.

108 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseMientras hacía un viaje trasatlántico en 1832, Samuel Morse discutió con unos amigos sobre algunos experimentos recientes de Ampère. Se le ocurrió entonces la idea de un código para la comunicación telegráfica.

109 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseAl principio constaba de secuencias de rayas largas y cortas en una banda de papel, que no representaban letras sino números asignados a palabras en un diccionario que el mismo Morse elaboró. Curiosamente era un sistema eficiente aunque poco práctico.

110 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseMás tarde elaboró la forma conocida, en la que las letras del alfabeto y algunos signos ortográficos se representaron por espacio, puntos y rayas. El espacio es ausencia de corriente eléctrica, el punto es una corriente breve, la raya, una más larga.

111 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseMorse asignó combinaciones de puntos y rayas a las letras, adecuadamente teniendo en cuenta la frecuencia relativa de las letras. Por eso a la E, la letra más frecuente en inglés, le fue asignada la combinación más simple, el punto, y a las letras menos frecuentes se les asoció combinaciones más largas.

112 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorsePor ejemplo, la Z (--..), la W (.--) o la Q (--.-). Morse consiguió así un código muy eficaz, la velocidad de transmisión de un mensaje sólo se podría aumentar en un 15% con otras asignaciones, según se comprobó después.

113 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseEsta cuestión de la eficacia de un código es una de las más importantes de la teoría de la información. Más adelante se consiguieron sistemas más eficaces aún, por ejemplo con cuatro posibilidades en vez de las dos punto y raya, como en la telegrafía cuadruplex de Edison.

114 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseEl punto y la raya podían representarse como +1 y -1 o como 0 y 1. En el sistema cuadruplex, las posibilidades se representaban por +3, +1, -1 y -3

115 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseEn 1924 otro protagonista de la teoría de la información, Harry Nyquist, que trabajaba para la American Telephone an Telegraph Company se planteó la cuestión de como calcular la velocidad de transmisión de un mensaje de una fuente que envía símbolos a ritmo constante, elegidos entre m posibilidades.

116 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto MorseSu conclusión fue que la velocidad de transmisión está dada por V = K log m siendo K una constante que depende de las características del aparato. Lo más conveniente es tomar logaritmos binarios, es decir, en base 2.

117 Teoría de la Información y Leyes de la Física El Alfabeto Morselog2m 1 2 3 1,6 4 8 16

118 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaNyquist acertó con el logaritmo para su fórmula. Si la máquina puede enviar sucesiones de “unos” y “ceros”, tomando cada signo un tiempo t, entonces m = 2 y la velocidad V = K.

119 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaSupongamos que puede enviar un par de esos símbolos cada t, o sea que su velocidad será V = 2K. Esto significa que puede elegir entre cuatro pares de dos símbolos (00, 01, 10, 11), o sea que m = 4. Si puede enviar tripletes de “unos” y “ceros”, m = 8 y V = 3K.

120 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaMás adelante, en 1928, el americano Hartley publicó un artículo clásico titulado “Transmission of information” en el que argumentaba que debe definirse la cantidad de información contenida en un mensaje como: H = n log s donde n es el número de símbolos del mensaje y s es el número de símbolos diferentes con los que se puede construir el mensaje.

121 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaPara entender mejor la teoría de la información conviene aplicarla a mensajes con letras, como los de nuestras comunicaciones. Para ello conviene saber las frecuencias de aparición de las diferentes 26 letras. La más frecuente, tanto en español como en inglés, es la E, cuya frecuencia es p(E) = 0,13, con una diferencia de milésimas entre los dos idiomas.

122 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaYa vimos que Morse consiguió una gran eficacia por haber elegido sabiamente las combinaciones de puntos y rayas que representan las letras (más cortas las de las más frecuentes). Curiosamente, esas frecuencias varían muy poco entre los distintos autores o tipos de texto, aunque hay, claro está, excepciones.

123 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaHubo un poeta alemán, Gottlob Burmann ( ), que fue famoso porque escribió 130 poemas sin usar nunca la R e incluso aprendió a hablar sin usarla durante los últimos diecisiete años de su vida. Un escritor español, Alonso Alcalá y Herrera, escribió en 1641 un libro titulado “Varios efectos de amor”, que es un conjunto de cinco cuentos en cada uno de los cuales falta una de las vocales.

124 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaTambién hay un cuento de Mark Twain, en el que a un periódico le roban los tipos de la letra E. Un artículo publicado al día siguiente tiene un gran efecto cómico por los circunloquios a que se ve obligado el periodista para no usar esa letra.

125 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaShannon se ocupó de esa cuestión, construyendo varias aproximaciones a un texto en inglés. Consideró, en primer lugar sucesiones de letras y espacios, en las que cada símbolo tenía la misma probabilidad, o sea 1/27. A eso lo llamó aproximación de orden cero al inglés (símbolos independientes y equiprobables).

126 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaUn ejemplo: XFOML RXKHRJFFJUJ ZLPWCFWKCYJ FFJEYVKCQSGHYD Tomó luego sucesiones en las que cada letra y el espacio tenían la misma probabilidad que en un texto en inglés.

127 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaO sea, la E aparecía 130 veces cada 1000 símbolos [p(E) = 0,13], la W, 20 veces [p(W) = 0,02], etc. Un ejemplo de esta aproximación de orden uno (símbolos independientes con la frecuencia de un texto inglés) es OCRO HLI RGWR NMIEL WIS EU LL NBNESEBYA...

128 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaComo se ve, no se parece mucho a un texto inglés, porque una característica de un idioma es la frecuencia de pares y triplos de letras. Por ejemplo, la Q aparece siembre seguida de una U, nunca de una B.

129 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaPor eso Shannon construyó aproximaciones en las que no sólo letras, sino los pares y triplos de letras tienen la misma frecuencia que en un texto inglés. Luego tomó sucesiones de palabras con la frecuencia inglesa y hasta secuencias de palabras en la que cada par de dos sucesivas tenía la frecuencia adecuada.

130 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaHe aquí un ejemplo de esa aproximación: THE HEAD AND IN FRONTAL ATTACK ON AN ENGLISH WRITER THAT THE CHARACTER OF THIS POINT IS THEREFORE ANOTHER...

131 Teoría de la Información y Leyes de la FísicaComo se ve, aunque el mensaje no tiene ningún sentido discernible, su aspecto recuerda al inglés. Lo que nos interesa de este esquema de Shannon es que la entropía de cada símbolo depende del tipo de aproximación usado.

132 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosLa teoría de la información se ocupa de mensajes generados por fuentes, en un sentido muy general que no tiene en cuenta, en un principio, su significado: se dice que no es semántica, aunque sí es sintáctica en un sentido.

133 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosPor ejemplo, trata de textos escritos en cualquier idioma, de una canción o de una interpretación instrumental grabada, fotografías, imágenes quietas o en movimiento, ... Cada uno de esos objetos puede codificarse, es decir, representarse por una sucesión de símbolos que permitan luego recuperar el texto, la voz, la música o la imagen.

134 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosEn general se consideran fuentes ergódicas. Para saber qué es una tal fuente tomemos primero la idea de fuente estacionaria que es aquella en la que las probabilidades de los diferentes símbolos no varían en el tiempo. Por ejemplo, las frecuencias de las letras que usamos en nuestro lenguaje cotidiano son bastante constantes (aunque no fuera el caso de Burmann pues la frecuencia de la R decayó para él a cero al final de su vida).

135 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosUna sucesión de tiradas de dado o de lotería es estacionaria, si no se hacen trampas o no cambian el número de billetes distintos. En un idioma, la probabilidad de aparición de una letra en un lugar depende de la letra que hay en el lugar inmediatamente anterior. Por tanto podría ocurrir que las probabilidades de aparición en un mensaje dependiesen de por qué letra empieza.

136 Conviene por ello introducir el concepto de conjunto de mensajes. Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binarios Conviene por ello introducir el concepto de conjunto de mensajes. En el caso de un idioma sería un conjunto muy grande de mensajes cuya primera letra tiene la misma frecuencia que la de un texto. Por ejemplo, si es en inglés, la primera letra sería la E con frecuencia 0,13, la W con frecuencia 0,02.

137 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosPues bien una fuente es ergódica si es estacionaria y además la frecuencia de cada letra, o de cada par o trío de letras, etc. en el conjunto es la misma que en cada mensaje. Un ejemplo de fuente no ergódica es la que sólo puede generar los tres mensajes siguientes con igual probabilidad. 1. ABABABAB, etc. 2. BABABABA, etc. 3. EEEEEEEE, etc

138 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosLas tres letras aparecen con frecuencia 1/3 en el conjunto, pero sus frecuencias en los mensajes particulares son diferentes. Nótese la correspondencia de esta definición con la usada en Física a veces, basada en la igualdad de los valores medios en el tiempo en cada trayectoria y en el espacio de las fases.

139 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosVolvamos a la codificación, que aparece en contextos muy distintos, por ejemplo en Genética. La herencia biológica funciona al transmitir un texto consistente en una ordenación lineal de cuatro símbolos diferentes (o bases) en la molécula de ADN, o sea, una codificación.

140 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosA su vez, este texto produce otro equivalente en la molécula de ARN, mediante el cual se sintetizan las proteínas mediante los veinte aminoácidos. De hecho los genetistas han llegado a ese lenguaje por la existencia previa de la teoría de la información.

141 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosComo vimos un texto se codifica en el sistema Morse mediante puntos y rayas. Desde esa perspectiva, las ondas electromagnéticas que transmiten una música por la radio son una codificación de esa música, lo mismo que la variación de la presión del aire, lo que llamamos sonido, que sirve para comunicarnos, y naturalmente la grabación en un disco u otro sistema.

142 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosEstos ejemplos nos explican claramente que uno de los objetivos de la teoría de la información es diseñar sistemas eficientes de codificación, para conseguir un almacenamiento más compacto de datos (pensemos en el incremento espectacular de la capacidad de los discos de los ordenadores) o una representación lo más fiel posible de la música para mejor disfrutar de ella.

143 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosPara todos los propósitos y otros parecidos, se usa una medida de la cantidad de información llamada entropía y una unidad de esa medida llamada bit.

144 Los mensajes pueden ser discretos o continuos. Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binarios Los mensajes pueden ser discretos o continuos. Un ejemplo de los primeros es un texto escrito, constituido por un conjunto discreto de letras, de los segundos es una música representada por la variación continua de un voltaje V(t).

145 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosLo que se hace es “discretizar” esa señal tomando muestras, es decir, valores de su amplitud a intervalos iguales de tiempo.

146 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binarios

147 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosUn teorema matemático asegura que podemos reconstruir la señal perfectamente mediante un tal muestreo, si el intervalo temporal es menor que la mitad del período de la frecuencia más alta presente en la señal.

148 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosPara la señal de una voz que incluye frecuencias de 0 a Hz hay que hacer al menos muestras por segundo. En el caso de una señal de TV, cuyas frecuencias llegan a 4 MHz, hay que tomar 8 millones de muestras por segundo.

149 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosEso no resuelve completamente el problema, pues las muestras son continuas. El paso siguiente (una vez discretizado el tiempo) es discretizar la intensidad, aproximándola por uno de entre 100 niveles por ejemplo, o 50 u 80.

150 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosDe este modo se tiene una sucesión de números discretos (que son aproximaciones al valor de la señal cada intervalo de tiempo) que codifican la música o el sonido de una manera comparable a lo que hace un alfabeto con el lenguaje. Nótese que la calidad del sonido va a depender del número de niveles que usemos.

151 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosEsos números se pueden representar mediante sucesiones de espacios (voltaje nulo) y pulsos eléctricos de igual intensidad. Cada sucesión de varios pulsos y espacios equivale a un número en base 2. Por ejemplo, cuando usamos el número 285 en base 10 significamos 2 x x x 100 = 285

152 El mismo número se escribe en base 2 como 100011101, pues Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binarios El mismo número se escribe en base 2 como , pues 1 x x x x x 20 = = 285 O sea, que podemos representar cualquier número con cadenas de dígitos binarios (de ahí viene la palabra bit, de binary digit)

153 Podemos hacer lo mismo con las letras.Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binarios De esta forma, cualquier número puede representarse por una cadena de dígitos binarios. El número de dígitos de la cadena es esencialmente el logaritmo del número. Podemos hacer lo mismo con las letras.

154 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosMediante cadenas de tres dígitos podemos representar ocho símbolos distintos, por ejemplo los números entre 0 y 7; con cadenas de cuatro, hasta 16, con cadenas de cinco hasta 32; con cadenas de 10 dígitos hasta 1024 y con cadenas de 20 dígitos hasta

155 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosAntes consideramos cadenas de las 26 letras y el espacio, o sea de 27 símbolos. Eso corresponde a 4,755 bits por cada uno, pues 4,755 es el logaritmo binario de 27, o sea 4,7552 = 27 (con 4 dígitos no hay bastante, con 5 sobran algunas combinaciones).

156 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosUn teclado normal tiene 48 teclas de símbolos, cada una de ellas con dos posibilidades y alguna con tres, o sea, unos 100 símbolos. Con cadenas de 6 hay 64 posibilidades (no basta), con cadenas de 7 hay 128, sobra algo.

157 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosSi se quieren incluir otros símbolos, otros signos ortográficos o letras de otros alfabetos como el griego, necesitamos cadenas de ocho (256 posibilidades) pues 7 no es bastante. Por eso los ordenadores usan cadenas de ocho “0” y “1”, llamadas bytes que no se suelen dividir y son sus unidades prácticas de información.

158 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosUna manera formalmente eficiente es tomar las cadenas de 14 dígitos (214 = ) y representar con ellas otras tantas palabras. Cada una tendría 14 bits. En inglés cada palabra tiene en promedio 4,5 letras. Como hay que usar un espacio serían 5,5 símbolos, lo que hace a cinco bits por carácter 5,5 x 5 = 27,5 bits por palabra.

159 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosEn español el promedio de letras por palabra es aproximadamente 5,1, con lo que se necesitan 30,5 bits por palabra. Tomando la palabra como unidad de codificación se necesitarían 14 bits por cada una, o sea que la ventaja es grande.

160 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Codificación y dígitos binariosPero codificar por palabras tiene inconvenientes, no admite neologismos o préstamos de otros idiomas, onomatopeyas nuevas o palabras escritas deformadas a propósito.

161 La entropía de la teoría de la información se mide en bits. Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía La entropía de la teoría de la información se mide en bits. Se dice que una fuente de mensajes tiene tantos bits por letra, por palabra o por mensaje. Si produce símbolos a ritmo constante, se dice que su velocidad es de tantos bits por segundo.

162 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaLa entropía crece si crece el número de mensajes posibles. También crece si aumenta la libertad de elección de mensajes (es decir, si aumenta la incertidumbre del receptor) y recíprocamente disminuye si lo hace la libertad de elección. Si se impone la restricción de que algunos mensajes se envíen muy frecuentemente o muy infrecuentemente, la entropía decrece.

163 Tomemos un ejemplo sencillo. Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía Tomemos un ejemplo sencillo. Sea una fuente que puede enviar mensajes formados sólo con dos símbolos A y B, de modo que el dispositivo elige entre ellos sin que la probabilidad de hacerlo depende de cuáles fueron los símbolos anteriores. Supongamos que A es elegido con probabilidad po y B, con probabilidad p1.

164 En este caso sencillo, la entropía se define como: Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía El sistema es ergódico. En este caso sencillo, la entropía se define como: H = -(po log po + p1 log p1) en bits por símbolo

165 H = -(½ log ½ + ½ log ½) = 1 bit por tiradaTeoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía Supongamos ahora que la fuente consiste en un jugador que tira sucesivamente una moneda. A sería cara, B sería cruz. Si la moneda no está amañada, las dos probabilidades son iguales, po = p1 = ½. En ese caso: H = -(½ log ½ + ½ log ½) = 1 bit por tirada

166 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaSe dice que al saber cómo cayó la moneda en una tirada ganamos 1 bit de información. Nótese que si representamos cara por 0 y cruz por 1, una sucesión de tiradas se representa por una sucesión de dígitos binarios. El número de dígitos binarios por mensaje es la entropía de la fuente por mensaje.

167 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaSaber el resultado de una tirada es como determinar entre dos alternativas binarias. ¿Qué ocurre si la moneda está cargada y es más probable la cara que la cruz? Sea por ejemplo po = 0,6 y p1 = 0,4.

168 Sustituyendo estos valores en la ecuación se tiene Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía Sustituyendo estos valores en la ecuación se tiene H = - (0,6 log 0,6 + 0,4 log 0,4) = 0, bit por tirada En este caso sabemos algo más sobre el resultado de la tirada que si las dos probabilidades fuesen iguales.

169 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaNuestra incertidumbre es menor (hay más orden) y por eso la entropía es también menor. Intuitivamente comprendemos que cada tirada tiene ahora menos de un bit, aunque sea difícil imaginarse cuánto.

170 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaLa curva H(po, p1) está representada en la figura. Como vemos, es simétrica entre po y p1 y tiene un máximo para po = p1 = ½.

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172 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaUna fuente puede generar mensajes eligiendo entre los diez dígitos arábigos, entre las 26 letras o entre los siete colores.

173 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaSi lo hace eligiendo entre n símbolos, con probabilidades independientes de las elecciones anteriores, la entropía por símbolo es bits por símbolo

174 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaEn el caso de que cada símbolo consista en dos tiradas de una moneda, la fórmula anterior dice que H = 2 bits por símbolo. Tomando un dado honesto que se tira sucesivamente, resulta H = log2 6 = 2,58 por tirada.

175 H = log n bits por símbolo.Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía En general, si hay n alternativas equiprobables, H = log n bits por símbolo. Nótese que en ese caso se parece mucho a la entropía de Boltzmann.

176 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropíaSi hacemos una partición en grano grueso del espacio de fases de volumen dw (por ejemplo dw = N en el caso de un gas siendo N el número de partículas) y n = W/dw, se tiene S = HB = k (log n + log dw)

177 Nótese que estos razonamientos justifican la fórmula de Hartley.Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía De aquí resulta que la diferencia entre las entropías de Shannon y Boltzmann es una constante. Nótese que estos razonamientos justifican la fórmula de Hartley.

178 Teoría de la Información y Leyes de la Física: Teoría de Shannon y entropía¿Codificar palabras: 14 dígitos  palabras (eficaz, pero incómodo) 64 = 26  6 bits

179 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitEn una ocasión en que John Archibald Wheeler asistía a un seminario en que se hablaba de las leyes de la Física le oyeron musitar de manera oscura “It from bit”.

180 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitAl principio no le entendían hasta que explicó que estaba considerando la posibilidad de que las leyes de la Física expresen, de una manera que no entendemos aún, que la realidad consiste en flujos de información.

181 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitO sea, con “It from bit” significaba que ello (la cosa) se sigue del bit (la información). La idea encaja en lo que Wheeler llama un universo participativo.

182 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitNormalmente consideraremos que el mundo está constituido por elementos básicos, partículas elementales, por ejemplo que podemos organizar de modo que se transmita información con ellas.

183 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitPero la importancia de las comunicaciones y la información en la sociedad de hoy ha provocado el nacimiento de una idea extraña que conviene examinar: quizá la realidad más profunda sea un complejo entramado de flujos fluctuantes de información y la materia tal como la conocemos sea simplemente una manifestación secundaria.

184 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitLa idea es extraña, pero no es una locura completa. Al fin y al cabo la Física es una ciencia experimental, lo que significa que se basa en experimentos, en los que se interroga a la naturaleza: medir una cantidad es en cierto modo como recibir un mensaje o averiguar cómo ha caído un dado o qué número ha salido en un sorteo de lotería.

185 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitSi refinamos el valor de una constante, por ejemplo de G, podemos decir que ha aumentado nuestra información sobre ella. Desde este punto de vista se llega a decir que los fenómenos se dan como consecuencia de nuestras preguntas mediante experimentos.

186 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitLa naturaleza sería una fuente de mensajes como los que hemos considerado antes. En el universo participativo de Wheeler la acción de los humanos es decisiva y no puede eliminarse de las leyes físicas.

187 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitEstas frases resumen la idea: “All things physical are information-theoretic in origin and this is a participatory universe... Observer participancy gives rise to information; and information gives rise to physics”

188 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitMás o menos mientras Schrödinger, Heisenberg, Dirac y otros fundaban su nueva mecánica ondulatoria, de matrices o cuántica, en la que la interpretación estadística de Born juega un papel tan importante, el gran matemático inglés Ronald Fischer desarrollaba la estadística mediante el análisis de la variancia, el método de estimación de la máxima verosimilitud (“likelihood”) y una medida de la incertidumbre conocida como la información de Fischer.

189 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitCuriosamente hay una relación muy estrecha entre esa información de Fischer y el término cinético en el método variacional para obtener la ecuación de Schrödiunger, pero los dos campos se mantuvieron muy lejanos, pues Fischer propuso sus métodos para analizar problemas de demografía humana y animal, de genética y de eugenesia.

190 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitPero medio siglo más tarde muchos han empezado a aplicar sus ideas a la Física. La primera indicación en favor de hacerlo así vino de un trabajo del matemático holandés Stam, quien probó en 1959 que las incertidumbres de Heisenberg se pueden probar como una consecuencia de un resultado de la teoría de la información conocido como desigualdad de Cramer-Rao aplicado a la información de Fischer.

191 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitSin duda esto influyó en Wheeler. Más recientemente, Roy Frieden, un físico de Arizona que había trabajado mucho tiempo en limpiado de imágenes, desarrolló una teoría que pretende unificar toda la Física (¡palabras mayores!) basándose en un principio variacional sobre la información de Fischer que tiene una gran semejanza formal con el principio variacional de Hamilton.

192 Teoría de la Información y Leyes de la Física: It from bitAparte de la interpretación de las incertidumbres dada por Stam, a Fischer le impresionó mucho darse cuenta de que la integral del gradiente al cuadrado, que aparece en el estudio de todos los campos tiene una gran semejanza formal con la información de Fischer.

193 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNEl interés de los físicos por los estados entrelazados nace con un trabajo de Einstein, Podolsky y Rosen (EPR) en el que describen un sistema de partículas que según la Mecánica Cuántica (MC) tiene propiedades globales perfectamente definidas, pero en el que las propiedades de las partículas individuales están totalmente indefinidas. Esta situación llevó a EPR a la conclusión de que la MC era una teoría “Incompleta”.

194 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNSin embargo, Bell demostró que cualquier intento de “completar” la MC conduce, en ciertos casos, a predicciones diferentes de las de la MC. Hasta la fecha, todos los experimentos realizados han confirmado las predicciones de la MC.

195 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNEn los últimos años se ha descubierto que otros estados entrelazados de dos y tres partículas permiten demostrar el teorema de Bell de una forma particularmente simple, usando sólo las correlaciones perfectas entre resultados que predice la MC, sin recurrir a otras predicciones estadísticas.

196 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNRecientemente se ha obtenido una demostración de este tipo para los estados entrelazados del tipo considerado por EPR.

197 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNHay tres situaciones en las que las palabras “Mecánica Cuántica” (MC) e “información” aparecen asociadas. La primera y más fundamental, está relacionada con una característica de la MC: “La teoría cuántica (...) es realmente una teoría, no de cosas físicas, sino de información física.”

198 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNLa segunda situación tiene que ver con el hecho de que la teoría clásica de la información puede considerarse que es un caso particular de una teoría más general, a la que ya se ha bautizado como teoría cuántica de la información.

199 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNEsta teoría más general nace de la observación de que la MC permite formas de codificar, transmitir y procesar información inconcebibles sin herramientas cuánticas. Una de estas herramientas es el entrelazamiento.

200 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN“El entrelazamiento es un recurso que se encuentra en la mecánica cuántica y del que no existe ninguna analogía en nuestro mundo clásico diario; es acero en la edad del bronce del mundo clásico.” Michael Nielsen,

201 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNExiste una tercera situación en la que la MC e información aparecen relacionadas. Tiene que ver con la (escasa) presencia de la MC en la cultura de principios del siglo XXI.

202 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNEllo resulta preocupante ya que, por un lado “Más del 25% del producto mundial bruto depende de nuestra comprensión de la mecánica cuántica; donde esté un transistor, un láser, una resonancia magnética, ahí está la presencia de la Mecánica Cuántica! Luis A. Orozco, El País, 13 de diciembre de 2000, página 39.

203 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNPero sobre todo porque la MC conduce a una comprensión más profunda de qué es y como funciona la naturaleza.

204 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN“Yo diría que existe una diferencia mucho mayor entre un humano que sabe mecánica cuántica y uno que no sabe mecánica cuántica, que la que existe entre uno que no sabe mecánica cuántica y los otros grandes simios.” Murray Gell-Mann, Reunión anual de la American Association for the Advancement of Science, Chicago, 11 de febrero de 1992 /// Premio Nobel de Física en 1969

205 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNPese a todo esto, la MC es prácticamente desconocida para el público general. En un reciente artículo con motivo del centenario de la explicación de Planck de la distribución de la energía en la radiación del cuerpo negro –que marca el comienzo de la MC-, Rolf Tarrach hacía la siguiente reflexión:

206 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN“En este mundo ahogado en la información, ¿cómo es [posible] que casi nadie sepa nada de la revolución científica del siglo XX más profunda y más determinante de nuestro mundo actual?

207 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓNQuizá sea un problema de formación, o acaso de dificultad, pero es una pena que la sociedad no disfrute más con algo tan relevante para nuestra actualidad tecnológica y, a la vez, tan irreal, tan sorprendente y provocador como el mundo de los fenómenos cuánticos.” Rolf Tarrach, El Cultural (ABC), 20 de diciembre de 2000, pp

208 El argumento de Einstein, Podolsky y Rosen.MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y Rosen El argumento de Einstein, Podolsky y Rosen. La mecánica cuántica es “incompleta”. El sábado 4 de mayo de 1935, el New York Times incluía una noticia con el titular “Einstein ataca la teoría cuántica”. La noticia, fechada en Princeton, New Jersey, comienza:

209 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y Rosen“El Profesor Albert Einstein atacará la importante teoría científica de la mecánica cuántica... Su conclusión es que aunque es “correcta”, no es “completa”.

210 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenJunto con dos colegas aquí en el Instituto de Estudios Avanzados [Institute for Advance Study, en Princeton], el destacado científico está a punto de informar a la Sociedad Física Americana [American Physical Society] de qué está mal en... la mecánica cuántica.”

211 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenLos dos colegas de Einstein ( ) en Princeton eran Boris Podolsky (¿-1966) y Nathan Rosen ( ). Podolsky era un físico ruso graduado en el California Institute of Technology de Pasadena en 1929 y con el que Einstein ya había trabajado en un artículo en 1931. En 1935 Podolsky estaba en Princeton con una beca (él trabajaba en el Instituto Físico-Técnico Ucraniano en Kharkow –o Jarkov-).

212 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenPodolsky fue quien, al parecer, redactó el criterio de elemento de realidad del que hablaremos después. Rosen, nacido en Brooklyn, New York, graduado en el M.I.T. en 1939, master en Física en 1931 y Doctor en 1932, ya había usado estados entrelazados en un artículo de 1931 sobre la estructura de la molécula de hidrógeno.

213 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenÉl fue quien llamó la atención de Einstein sobre las curiosas propiedades de los estados entrelazados. Se fue a la Unión Soviética en 1936 (Kiev) y volvió a los Estados Unidos en 1941 (a la Universidad de North Carolina), donde estuvo hasta 1952. En 1953 emigró a Israel.

214 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenEl trabajo al que se refiere el New York Times salió publicado en el número del 15 de mayo de 1935 de Physical Review, bajo el título de “¿Puede considerarse completa la descripción mecano-cuántica de la realidad?”.

215 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenLos puntos esenciales de este artículo se resumen ya en el artículo del New York Times. Según EPR, cualquier teoría física satisfactoria debe cumplir dos requisitos:

216 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenDebe ser “correcta”; lo que implica que debe permitir calcular y predecir hechos comprobables experimentalmente.

217 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenPuede ser “completa”: “Una teoría satisfactoria debe, como una buena imagen del mundo objetivo, contener una contrapartida para las cosas encontradas en el mundo objetivo.”

218 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenO como escriben EPR en Physical Review, “cada elemento de la realidad física debe tener una contrapartida en la teoría física.”

219 ¿Qué es un elemento de ralidad para EPR? MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y Rosen ¿Qué es un elemento de ralidad para EPR? “Los elementos de realidad física no pueden determinarse por consideraciones filosóficas a priori, sino que deben encontrarse apelando a los resultados de experimentos y mediciones.

220 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenUna definición global de realidad es, sin embargo, innecesaria para nuestro propósito. Nos conformaremos con el siguiente criterio que consideraremos razonable.

221 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El argumento de Einstein, Podolsky y RosenSi, sin perturbar de ninguna manera un sistema, podemos predecir con certeza (i.e., con probabilidad igual a la unidad) el valor de una cantidad física, entonces existe un elemento de realidad física correspondiente a esa cantidad física.”

222 El experimento de Bohm para ilustrar el argumento de EPR MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPR El experimento de Bohm para ilustrar el argumento de EPR El argumento que demuestra la incompletitud de la MC se basa en un experimento hipotético sobre un sistema de dos partículas preparado en un estado en el que la posición relativa de ambas partículas y el momento lineal total están perfectamente definidos.

223 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPREn 1951, David Bohm propuso un experimento hipotético diferente, que es conceptualmente equivalente al de EPR y mucho más sencillo de analizar matemáticamente en MC.

224 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPREl experimento de PR-Bohm es el siguiente:

225 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRSupongamos que tenemos una molécula que contiene dos átomos en un estado en el que el espín total es cero y que el espín de cada átomo es /2.

226 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRAhora supongamos que la molécula se desintegra mediante un proceso que no cambia el momento angular total.

227 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRLos dos átomos empezarán a separarse y pronto dejarán de interactuar de forma apreciable. Sin embargo, su momento angular conjunto sigue siendo cero ya que, por hipótesis, no han actuado pares de fuerzas sobre el sistema.

228 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRSi el espín fuese un momento angular clásico, la interpretación de este proceso sería la siguiente: Mientras que los dos átomos están juntos formando una molécula, cada componente del momento angular de cada átomo tendría un valor definido que es siempre opuesto al del otro, haciendo cero de esta manera el momento angular total.

229 Por tanto, los dos vectores momento angular estarían correlacionados.MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPR Cuando los átomos se separan, cada átomo continuaría teniendo cada componente de su momento angular opuesta a la del otro. Por tanto, los dos vectores momento angular estarían correlacionados.

230 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRSupongamos que uno mide el momento angular de espín de una cualquiera de las partículas (átomos), digamos la número 1. Debido a la existencia de correlaciones, uno puede concluir que el vector momento angular de la otra partícula (la número 2) es igual y opuesto al de la partícula número 1.

231 Ahora veamos cómo describe este experimento la mecánica cuántica. MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPR Ahora veamos cómo describe este experimento la mecánica cuántica. Aquí, el investigador puede medir la componente x, o la componente y o la componente z del espín de la partícula número 1, pero no más de una de estas componentes en un experimento (sin “perturbar” la otra componente, según nos dice el principio de Heisenberg).

232 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPR

233 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRNo obstante, todavía sucede que cualquiera que sea la componente medida, los resultados están correlacionados, de manera que si medimos la misma componente del espín del átomo número 2, siempre tendrá el valor opuesto.

234 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPREs decir, que una medición de cualquier componente del espín del átomo número 1 proporciona, lo mismo que en una teoría clásica, una medida indirecta de la misma componente de espín del átomo número 2.

235 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRComo, por hipótesis, las dos partículas no interactúan, hemos obtenido una forma de medir una componente arbitraria del espín de la partícula número 2 sin perturbarla en modo alguno.

236 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRSi aceptamos la definición de elemento de realidad sugerida por EPR, es claro que después de medir la componente σz para la partícula número 1, la componente σz de la partícula número 2 debe considerarse un elemento de realidad, que existe separadamente sólo en la partícula número 2.

237 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRSin embargo, si esto es cierto, este elemento de realidad debe haber existido en la partícula número 2 incluso antes de que la medida de σz de la partícula número 1 tuviese lugar.

238 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRYa que como, por hipótesis, no hay interacción con la partícula número 2, el proceso de medida no puede haber afectado de ninguna manera a esta partícula.

239 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRPero recordemos que, en cada caso, el observador es libre para reorientar el aparato en una dirección arbitraria mientras que los átomos están todavía en vuelo y, por tanto, de obtener un valor definido (pero impredecible) de la componente de espín en cualquier dirección que elija.

240 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRComo esto puede hacerse sin perturbar de ninguna manera el segundo átomo, llegamos a la conclusión de que, si el criterio de EPR es aplicable, entonces deben existir elementos de realidad precisos en el segundo átomo, que corresponden a cualesquiera tres componentes de su espín.

241 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPRComo un estado cuántico permite especificar con total precisión sólo una de esas componentes como mucho, llegamos a la conclusión de que el estado cuántico no proporciona una descripción completa de todos los elementos de realidad que existen en el segundo átomo.

242 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN El experimento de Bohm para ilustrar el argumento EPREn resumen, según EPR, la descripción cuántica de este sistema es incompleta.

243 La descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm. MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm La descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm. Veamos ahora cómo describe este experimento la MC. El estado de espín de una partícula de espín ½ se representa en MC mediante un vector (o un operador) bidimensional.

244 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmEl estado de espín de una partícula de espín ½ es un ejemplo de lo que hoy se llama un qubit, un sistema cuántico de dos niveles y, por tanto, la unidad mínima de información cuántica.

245 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmEl estado de espín de dos partículas se describe mediante el producto tensorial de dos vectores bidimensionales; esto es, mediante un vector de dimensión cuatro.

246 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmEl estado cuántico del sistema completo (no sólo de su parte de espín) se obtiene haciendo el producto tensorial del estado de espín por el estado espacial, que depende de las coordenadas espaciales de las dos partículas.

247 Por ejemplo, una base puede ser la formada por los vectores:MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm Cualquier estado de espín de dos partículas de espín ½ se puede expresar como una combinación lineal de una base de estados. Por ejemplo, una base puede ser la formada por los vectores:

248 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm

249 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm

250 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmDdonde son estados de espín de una sola partícula, que representan, respectivamente, que la partícula tiene componente de espín igual a /2 ó -/2 en la dirección z.

251 Así, por ejemplo, el estado MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm Así, por ejemplo, el estado representa que la partícula número 1 tiene la componente z de su espín con valor /2 y la partícula número 2 tiene la componente z de su espín con valor -/2.

252 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmO eligiendo un sistema de unidades en el que /2 = 1, que la componente z tiene, respectivamente, el valor +1 ó -1.

253 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmPara construir el estado cuántico que representa la situación en la que el espín total del sistema es cero hay que percatarse de que los estados de la base anterior, los únicos en los que cada partícula tiene la componente de espín opuesta a la de la otra son

254 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmPor tanto, el estado buscado debe ser una combinación lineal de esos dos estados. De las diferentes combinaciones lineales posibles, la única en la que el espín total del sistema conjunto es cero resulta ser

255 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohmque es el estado buscado. El estado [5] se llama estado singlete de espín.

256 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmLa primera observación importante sobre este estado es que el espín total del sistema está completamente definido pero que la componente z del espín de cada partícula está completamente indefinida.

257 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmDe hecho, si usamos las reglas de la MC para calcular cuál es la probabilidad de obtener /2 al medir la componente z de la partícula número 1, obtendremos ½, que es la misma probabilidad de obtener el otro resultado (el resultado opuesto).

258 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmLa segunda observación importante es que si expresamos el singlete en otra base ortogonal formada por los estados propios de las componentes de espines individuales en otra dirección, digamos n (formada por los cuatro vectores: y

259 Y, el singlete se escribe [6] MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm Y, el singlete se escribe [6] Es decir, la primera observación es válida no sólo para las componentes en la dirección z sino también para las componentes en cualquier dirección n.

260 Exactamente igual que en la teoría clásica.MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-Bohm La tercera observación es que, además de tener un valor definido del espín total, si se mide la misma componente de espín en cada partícula, los resultados estarán correlacionados: serán opuestos. Exactamente igual que en la teoría clásica.

261 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmPor ejemplo, si se miden las componentes en la dirección z, si el resultado de la partícula número 1 es -/2, el resultado de la partícula número 2 será /2, y lo mismo si medimos las componentes en la dirección x o y. Esto lo expresaremos:

262 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmZ1 = -Z [7] X1 = -X [8] Y1 = -Y [9]

263 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Descripción cuántica del experimento de EPR-BohmComo curiosidad diremos que, según el Science Citation Index, el artículo de EPR se ha convertido en el más citado en la literatura científica de entre todos los trabajos de Einstein.

264 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazados“El entrelazamiento no es un sino más bien el rasgo característico de la mecánica cuántica, el que obliga a desviarse completamente de las líneas clásicas del pensamiento.” Erwin Schrödinger

265 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazadosEl sustantivo “entrelazamiento” y el adjetivo “entrelazado” (o en alemán “Verschränkung” (cruzamiento) y “verwickelten” (enredado, enmarañado) –que eran los que usó Schrödinger para bautizarlos- o en inglés “entanglement” y “entangled”) son ejemplos de algo muy común en física: términos que nos dan la impresión de que sabemos lo que significan pero que en realidad son palabras cifradas que necesitan una aclaración algo más amplia.

266 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazadosEn este caso, esa aclaración requiere unos conocimientos mínimos de MC. Se dice que un sistema se halla en un estado cuántico puro si la información que se posee sobre ese sistema es la máxima permitida por la MC. Los estados puros de sistemas físicos discretos se representan por vectores (en un cierto espacio de Hilbert).

267 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazadosUn estado puro de un sistema de dos partículas se dice que se halla en un estado entrelazado si ese estado no se puede expresar como un producto de estados puros de cada una de las partículas.

268 Es decir es un estado entrelazado si no se puede escribir comoMECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazados Es decir es un estado entrelazado si no se puede escribir como donde es un estado puro de la partícula número 1 y es un estado puro de la partícula número 2. El símbolo denota producto tensorial.

269 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazadosUn estado puro que no es entrelazado se dice que es un estado factorizable o un estado puro. Un estado puro entrelazado de dos partículas se dice que es máximamente entrelazado si el estado del sistema conjunto está perfectamente definido pero los estados de las partículas están completamente indefinidos.

270 El singlete es un estado máximamente entrelazado.MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazados Una forma de expresar esto es diciendo que la información contenida en ese estado es toda ella sobre las correlaciones entre las partículas y no se dice nada de los estados individuales de las partículas. El singlete es un estado máximamente entrelazado.

271 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazadosHay estados que son entrelazados pero no máximamente entrelazados. Por ejemplo, consideremos los estados de la forma: [10] Si θ = nπ/2 con n entero, el estado es factorizable. Si θ = π/4 + nπ/2 el estado es máximamente entrelazado.

272 En los restantes casos el estado es entrelazado pero no máximamente. MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazados En los restantes casos el estado es entrelazado pero no máximamente. En los estados entrelazados no máximamente las probabilidades de obtener los dos posibles resultados al medir una componente particular del espín ya no son siempre iguales.

273 MECÁNICA CUÁNTICA E INFORMACIÓN Estados entrelazados y máximamente entrelazadosLa noción de entrelazamiento se puede extender a sistemas con más de dos partículas. Por ejemplo, un estado puro de un sistema de tres partículas se dice que es entrelazado si no se puede escribir como:

274 LAS DESIGUALDADES DE BELL El teorema de BellEn un artículo de 1964 Bell demuestra que para el estado singlete las predicciones estadísticas de la MC resultan incompatibles con una “predeterminación separable” (i.e., con los elementos de realidad de EPR).

275 LAS DESIGUALDADES DE BELL El teorema de BellBell viene a decir que la MC no sólo es “incompleta” sino que también debe ser “incorrecta”. En otras palabras, una teoría “completa” a la manera de EPR conduce a predicciones diferentes.

276 LAS DESIGUALDADES DE BELL El teorema de Bell¿Cuáles son las “predicciones estadísticas” de la MC para el singlete? Esencialmente que si A es una componente de espín de la partícula número 1 y B de la partícula 2 y las direcciones de A y B forman un ángulo θAB, entonces en el singlete el valor esperado de AB (el producto de ambas componentes) es –cosθAB (en unidades en las que /2 = 1).

277 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.La desigualdad de Clauser, Horne, Shimony y Holt (CHSH), de 1969, es diferente de la desigualdad de Bell de 1964, pero incluye ésta como caso particular y, además, es muy fácil de derivar. Sean A, a, B y b cuatro cantidades cuyos posibles valores son -1 y 1. Consideremos las expresiones A + a y A - a: necesariamente una de ellas es cero y la otra -2 ó 2.

278 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.Por tanto, la expresión B(A + a) + b(A - a) necesariamente vale -2 ó 2. Supongamos ahora que A, a, B y b fuesen observables físicos cuyos valores estuviesen predefinidos para cada sistema individual y supongamos que disponemos de muchos sistemas individuales sobre los que medir esas cantidades.

279 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.Entonces, por lo dicho antes, está claro que al promediar los resultados de esas medidas deberá suceder que -2 ≤ (AB + Ab + aB – ab) ≤ [11]

280 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.Supongamos ahora que los sistemas físicos son pares de partículas de espín ½ preparados en el estado singlete, y que A y a son dos componentes de espín de la partícula número 1, mientras que B y b son componentes de espín de la partícula número 2.

281 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.Supongamos además que las partículas 1 y 2 están lo suficientemente alejadas entre sí para que nada que se haga sobre la partícula número 1 pueda influir causalmente (i.e., a velocidades no superiores a la de la luz en el vacío) sobre la partícula número 2.

282 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.Entonces, A, a, B y b verifican cada uno de ellos el criterio de elemento de realidad de EPR.

283 Experimento de Bell-CHSH

284 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.En MC no podemos medir simultáneamente A y a, ni B y b, sin embargo sí podemos hacer experimentos en los que midamos A y B, otros en los que midamos A y b, otros en los que midamos a y B, y otros en los que midamos a y b.

285 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.Suponiendo que los valores de los observables medidos no dependen de los no medidos, también debe ocurrir que los promedios de los cuatro experimentos alternativos cumplan -2 ≤ ≤ 2 [12]

286 LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt.Sin embargo, la MC dice que si A y B son componentes de espín que forman un ángulo θAB, entonces en el singlete el valor esperado de AB es –cosθAB. Por tanto [13]

287 cosθAB = cosθAb = cosθaB = cosθab = LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt. Eligiendo cosθAB = cosθAb = cosθaB = cosθab = Por ejemplo, midiendo las componentes A = σz, a = σY, B = (-σx – σy)/ b = (-σx + σy)/ se obtiene que es mayor que 2.

288 En resumen: en ciertas situaciones la MC viola la desigualdad [12]. LAS DESIGUALDADES DE BELL La demostración de Clauser, Horne, Shimony y Holt. En resumen: en ciertas situaciones la MC viola la desigualdad [12]. Las desigualdades de CHSH se violan para cualquier estado entrelazado de dos partículas, pero la máxima violación, , se obtiene para los estados máximamente entrelazados (también llamados “estados de Bell”) como el singlete.

289 Esta demostración fue luego simplificada por David Mermin. EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger En 1989, Greenberger, Horne y Zeilinger (GHZ) obtuvieron una extraordinaria demostración de la incompatibilidad entre la MC y los elementos de realidad de EPR. Esta demostración fue luego simplificada por David Mermin. Las características de la demostración de GHZ-Mermin del teorema de Bell son:

290 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerSólo usa correlaciones perfectas (y no predicciones estadísticas, como en las demostraciones de Bell y CHSH), lo cual la hace fantásticamente sencilla (en otras palabras, es una demostración “sin probabilidades”). Sirve sólo para un tipo particular de estados de tres o más partículas que, desde entonces, se conocen como estados de GHZ.

291 Un estado de GHZ para un sistema de tres qubits es, por ejemplo,EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger Un estado de GHZ para un sistema de tres qubits es, por ejemplo, [14]

292 ESQUEMA DEL EXPERIMENTO GHZ

293 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerSi de manera similar a como hicimos antes, llamamos X1 al resultado de medir la componente x del espín de la partícula número 1, Y2 al resultado de medir la componente y del espín de la partícula número 2, Y3 al resultado de medir la componente y de la partícula número 3, etc. (pero ahora en unidades tales que /2 = 1).

294 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerLas correlaciones entre los resultados que nos interesan para la demostración se pueden resumir en las siguientes ecuaciones: X1Y2Y3 = [15] Y1X2Y3 = [16] Y1Y2X3 = [17] X1X2X3 = [18]

295 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerDe ellas se deduce que X1, Y1, X2, Y2, X3 e Y3 cumplen el criterio de EPR de elementos de realidad puesto que cualquiera de ellos se puede predecir con certeza a partir de medidas sobre las otras dos partículas.

296 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerSi hacemos la hipótesis de que las tres partículas están lo suficientemente alejadas entre sí como para que nada que se haga sobre ellas pueda afectar causalmente a las demás, ello implica que las medidas sobre las partículas 1 y 2 que permiten determinar, por ejemplo, X3, no pueden perturbar la tercera partículas.

297 La demostración es muy sencilla por reducción al absurdo:EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger Sin embargo, las cuatro ecuaciones anteriores también demuestran que es imposible que existan todos esos elementos de realidad. La demostración es muy sencilla por reducción al absurdo:

298 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerSupongamos que X1, Y1, X2, Y2, X3 e Y3 tuviesen predefinidos -1 ó 1 (que equivalen, en los ejemplos anteriores, a -/2 y /2). Entonces el valor de, por ejemplo, X1 sería el mismo en la primera ecuación y en la cuarta.

299 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerSin embargo, es imposible completar esa asignación de valores por el sencillo motivo de que cada valor aparece exactamente dos veces, por lo que al multiplicar las cuatro ecuaciones necesariamente obtendríamos un 1 a la izquierda del signo igual, mientras que obtendríamos un -1 a la derecha.

300 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerEn 2000, PAN y sus colaboradores han hecho un experimento con fotones en el que han verificado, dentro de un razonable error experimental, estas predicciones de la MC.

301 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de HardyEn 1993, Lucien Hardy propuso una demostración del teorema de Bell sin desigualdades (pero “con probabilidades”) válida para dos qubits en un estado no máximamente entrelazado. La de Hardy es probablemente la demostración más sencilla posible del teorema de Bell.

302 D. Bouwmeester, L. Hardy, J. Eisert y A. Cabello.

303 Hardy demostró que cualquier estado no máximamente entrelazado EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger Hardy demostró que cualquier estado no máximamente entrelazado de dos qubits, existen dos observables (componentes de espín, por ejemplo) A y a para la partícula 1 y dos observables B y b para la partícula 2, tales que el estado se puede expresar en las correspondientes cuatro bases ortogonales de las siguientes formas:

304 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger

305 Los coeficientes ci, di, fi y gi son todos distintos de cero. EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger Los coeficientes ci, di, fi y gi son todos distintos de cero. De esas cuatro ecuaciones se deduce que cualquier estado tiene las siguientes propiedades [23] [24] [25] [26]

306 Esto puede ocurrir, según nos dice la propiedad [23].EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger Consideremos ahora un experimento en el que se hayan medido A (sobre la partícula número 1) y B (sobre la número 2) y fijémonos en un suceso en el que se haya obtenido en ambas mediciones el resultado +1. Esto puede ocurrir, según nos dice la propiedad [23].

307 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerImaginemos ahora que en ese mismo suceso hubiésemos medido sobre la partícula número 2 el observable b en lugar del observable B. Según la propiedad [24] el resultado de esa medición habría sido, con total certeza b = +1.

308 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerDe hecho, desde el momento que en la partícula número 1 se obtiene A = +1 es posible predecir con certeza y sin perturbar la partícula número 2 (si asumimos que las partículas están suficientemente alejadas) que el valor de b es +1. Entonces, según EPR, en ese suceso la segunda partícula tiene un elemento de realidad correspondiente a b = +1.

309 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y ZeilingerMediante un argumento similar, a partir de la propiedad [25] podemos concluir que en ese suceso la partícula número 1 tiene un elemento de realidad correspondiente a a = + 1.

310 Sin embargo, esto contradice la propiedad [26]. EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger Por tanto, si en ese suceso hubiésemos medido a sobre la partícula número 1 y b sobre la partícula número 2, habríamos obtenido a = +1 y b = +1. Sin embargo, esto contradice la propiedad [26]. Por tanto, para un sistema preparado en un estado no máximamente entrelazado (o estado de Hardy) no pueden existir elementos de realidad.

311 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración de Greenberger, Horne y Zeilinger

312 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.La demostración de GHZ usa sólo correlaciones perfectas, pero sólo vale para ciertos estados entrelazados de tres o más partículas.

313 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.La demostración de Hardy vale para estados entrelazados de dos partículas pero, curiosamente, no para los estados máximamente entrelazados (como el singlete), que son precisamente aquellos para los que la violación de las desigualdades de Bell es máxima.

314 En este punto surgen de manera natural dos preguntas: EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados. En este punto surgen de manera natural dos preguntas: ¿Se puede extender la demostración de Hardy a estados máximamente entrelazados como el singlete? ¿Se puede demostrar el teorema de Bell para el singlete usando sólo correlaciones perfectas?

315 La respuesta es sí para ambas preguntas. EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados. La respuesta es sí para ambas preguntas. La respuesta a la primera pregunta se puede encontrar en la primera página del número del 5 de marzo de 2001 de Physical Review Letters, y la respuesta a la segunda en el número de 2 de julio.

316 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.De hecho, las dos respuestas están estrechamente relacionadas y las demostraciones de tipo (a) y (b) son en realidad dos formas distintas de una misma demostración.

317 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.El “truco” de estas demostraciones del teorema de Bell consiste en preparar dos parejas de partículas en el estado singlete y en permitir mediciones no sólo de componentes de espín (en las direcciones z o x) sino también de observables de dos partículas, como por ejemplo (cuyo resultado representaremos por Z1Z2).

318 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.A continuación, vamos a ver la demostración del teorema de Bell para el singlete usando sólo correlaciones perfectas.

319

320 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.Supongamos que las partículas número 1 y número 3 están en el estado singlete y que también lo están las partículas número 2 y número 4.

321 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.Supongamos también que un observador puede hacer mediciones sobre las partículas número 1 y número 2, mientras que otro observador suficientemente alejado puede hacer mediciones sobre las partículas número 2 y número 4.

322 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.En ese caso, usando sólo correlaciones perfectas se puede demostrar que no existen elementos de realidad.

323 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.La demostración es fruto de una contradicción algebraica similar a la que se obtenía en la demostración de GHZ y se resume en que es imposible asignar valores definidos, -1 ó 1, a los 12 observables que aparecen en las siguientes nueve ecuaciones (seis para la pareja formada por las partículas número 1 y número 2, 6 para la pareja formada por las partícula número 3 y número 4):

324 Z1 = -Z3 [27] X1 = -X3 [28] Z2 = -Z4 [29] X2 = -X4 [30]EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados. Z1 = -Z [27] X1 = -X [28] Z2 = -Z [29] X2 = -X [30] Z1Z2 = Z3∙Z [31] X1X2 = X3∙X [32] Z1∙X2 = Z3X [33] X1∙Z2 = X3Z [34] Z1Z2∙X1X2 = -Z3X4∙X3Z [35]

325 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.La demostración es muy similar a la de antes: cada observable aparece en dos ecuaciones y siempre en el mismo lado de la ecuación. Por tanto, el producto de los lados izquierdos es 1 mientras que el producto de los lados derechos es -1.

326 EL TEOREMA DE BELL SIN DESIGUALDADES La demostración para estados máximamente entrelazados.Por tanto, aunque existen correlaciones perfectas entre los resultados de esos experimentos nos vemos obligados a concluir que los resultados no estaban determinados antes de los experimentos

327 Epílogo: “It from bit” “Llegué a la frase “ello del bit” intentando casar en mi cerebro la idea de la teoría de la información como base de la existencia. El universo y todo lo que contiene (“ello”) puede surgir de la mirada de elecciones sí-no de la medición (los “bits”).

328 Epílogo: “It from bit” Niels Bohr pasó gran parte de su vida luchando con la pregunta de cómo los actos de medida (o “registro”) pueden afectar la realidad. El registro (...) es lo que cambia la potencialidad en actualidad.

329 Epílogo: “It from bit” Yo sólo he construido un poco sobre la estructura del pensamiento de Bohr cuando sugiero que nunca entenderemos esta extraña cosa, el cuanto, hasta que no entendamos cómo la información puede servir de base a la realidad. La información puede no sólo ser simplemente lo que aprendemos del mundo sino lo que hace el mundo.

330 Epílogo: “It from bit” Un ejemplo de la idea de ello del bit.Cuando se absorbe un fotón y de se modo se “mide” –hasta su absorción, no tiene verdadera realidad- se añade un bit indivisible de información a lo que conocemos del mundo, y, al mismo tiempo, ese bit de información determina la estructura de una pequeña parte del mundo. Crea la realidad del momento y lugar de esa interacción del fotón.”