1 Debemos responder muchas preguntas, pero gráficamente no es posibleINTRODUCCION 𝟕 𝑷=(𝟑,𝟒) (𝒙,𝒚) 𝑸=(𝟕,𝟕) 𝟒 ¿El punto (0,0) pertenece a la recta? Solo sí se ha dibujado correctamente se puede responder observando la recta 𝟑 𝟕 ¿El punto (530,468) pertenece a la recta? Debemos responder muchas preguntas, pero gráficamente no es posible

2 Ecuación Vectorial de la RectaEcuación Analítica de una Recta 1.- Se necesita conocer 2 puntos Cualquiera Por ejemplo: 𝑷=(𝟏,𝟑) 𝑸=(𝟒,𝟔) 𝒙,𝒚 = 𝑼𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 +𝜶 𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 Representa Cualquier punto de la recta ¿P o Q? ¿(P –Q) o (Q-P)? Cualquiera 𝒙,𝒚 = 𝑷 +𝜶 (𝑷 −𝑸) 𝒙,𝒚 = 𝑸 +𝜶 (𝑸 −𝑷) Cualquiera de ellas es correcta Por ejemplo: 𝒙,𝒚 = (𝟏,𝟑) +𝜶 (−𝟑,−𝟑) Ecuación Vectorial de la Recta

3 Ecuación Vectorial de la RectaVector Dirección 𝑥,𝑦 = 𝑃 0 +𝛼 𝑎 Cualquier punto de la recta Punto Inicial Parámetro de la recta Si por los puntos A =(2,-2) ; B = (5,1) y C = (-2,-6) Pasa una recta. Hallar: su gráfica y encontrar su Ecuación Vectorial 𝒙,𝒚 = (𝟓,𝟏) +𝜶 (𝟒,𝟒) 𝜶=𝟎 ⇒ 𝒙,𝒚 =(𝟓,𝟏) 𝟏 𝜶=𝟏 ⇒ 𝒙,𝒚 =(𝟗,𝟓) 𝜶=−𝟏 ⇒ 𝒙,𝒚 =(𝟏,−𝟑) 𝟐 𝟓 ¿El Punto (100,96) pertenece a la recta? El Punto pertenece a la Recta −𝟐 100,96 =(5,1)+𝛼(4,4) 𝜶= 𝟗𝟓 𝟒 100,96 − 5,1 =𝛼(4,4) ⇒ 95,95 =𝛼(4,4) ⇒

4 Se llama Ecuación Paramétrica de la recta 𝑥,𝑦 =(2,3)+𝛼(3,7)𝑥,𝑦 =(2,3)+(3𝛼,7𝛼) 𝑥=2+3𝛼 𝑦=3+7𝛼 Por igualdad de vectores: 𝑥,𝑦 =(2+3𝛼,3+7𝛼) 5+2𝛼 𝑥= 𝑦= 𝑥,𝑦 =(5,−1)+𝛼(2,5) Hallar su Ecuación Paramétrica −1+5𝛼 𝑥=−7+𝛼 𝑦=3−9𝛼 Hallar su Ecuación Vectorial 𝑥,𝑦 = (−7,3) +𝛼(1,−9) De la primera Ecuación Paramétrica despejemos el Parámetro: 𝑥−2=3𝛼 𝑥=2+3𝛼 𝑦=3+7𝛼 𝑥−2 3 =𝛼 𝑦−3 7 =𝛼 ⇒ ⇒ 𝑦−3=7𝛼 Se llama Ecuación Simétrica de la recta Igualando los 𝛼 : 𝑥−2 3 = 𝑦−3 7

5 D𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎, 𝑥+8 6 = 𝑦−5 11 :𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙𝒙,𝒚 = (−𝟖,𝟓) +𝜶 (𝟔,𝟏𝟏) ¿Cuál sería 𝑠𝑢 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎? −8+6𝛼 𝑥= 𝑦= 5+11𝛼 D𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎, 2𝑥+6 5 = 4−𝑦 2 :𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 2𝑥+6 5 = 4−𝑦 2 2𝑥+6 5 = (−1)(4−𝑦) (−1)(2) 2𝑥+6 5 = 𝑦−4 −2 ⇒ 2𝑥 = 𝑦−4 −2 𝑥 = 𝑦−4 −2 ( 𝟓 𝟐 ,−𝟐) ⇒ 𝒙,𝒚 = (−𝟑,𝟒) +𝜶

6 𝑥+8 6 = 𝑦−5 11 (11) (𝑥+8) = (6) (𝑦−5) 11𝑥+88 =6𝑦−30 11𝑥−6𝑦=−110 Ecuación General 2𝑥+6 8 = 4−𝑦 3 ⇒ (3) (2𝑥+6) =(8) (4−𝑦) 6𝑥+18 =32−8𝑦 2𝑥+6 8 = 𝑦−4 −3 6𝑥+8𝑦=14 𝑥+3 4 = 𝑦−4 −3 Una ecuación que no es simétrica no necesita convertirla a simétrica para obtener una ecuación general 𝟑𝒙+𝟒𝒚=𝟕 −3𝑥−9 =4𝑦−16 −3𝑥−4𝑦=−7 𝟑𝒙+𝟒𝒚=𝟕

7 Por los puntos. A = (2,2) , B = (5, -1) y C = (-3, 7) pasa una recta encuentre todas sus ecuaciones𝑥,𝑦 =𝐴+𝛼(𝐵−𝐶) 𝑥,𝑦 =𝐶+𝛽(𝐴−𝐵) { 𝑥,𝑦 =(2,2)+𝛼( ) 8,−8 } (8,8) { 𝑥,𝑦 =(−3,7)+𝛽( ) −3,3 } (−3,−3) 2+8𝛼 −3−3𝛽 𝒙= 𝒚= 𝒙= 𝒚= 2−8𝛼 7+3𝛽 𝒙−𝟐 𝟖 = 𝒚−𝟐 −𝟖 𝒙+𝟑 −𝟑 = 𝒚−𝟕 𝟑 −𝟖𝒙+𝟏𝟔 =𝟖𝒚−𝟏𝟔 𝟑𝒙+𝟗 =−𝟑𝒚+𝟐𝟏 −𝟖𝒙−𝟖𝒚=−𝟑𝟐 𝟑𝒙+𝟑𝒚=𝟏𝟐 𝟖𝒙+𝟖𝒚=𝟑𝟐 𝒙+𝒚=𝟒 𝒙+𝒚=𝟒

8 PENDIENTE DE UNA RECTA 𝑻𝒈𝜶 = Pendiente de una rectaÁngulo de inclinación de la recta 𝜶 = 𝟐 𝟖 𝟏 𝟒 { 𝑥,𝑦 =(2,3)+𝛼( 8, 2) } (−2,8) 𝑻𝒈𝜶 𝜶=𝒂𝒓𝒄𝑻𝒈( 𝟏 𝟒 ) Ángulo de inclinación de la recta −𝟐𝒙+𝟖𝒚=−𝟒+𝟐𝟒 −𝟐𝒙+𝟖𝒚=𝟐𝟎 𝟐𝒙−𝟖𝒚=−𝟐𝟎 𝒙−𝟒𝒚=−𝟏𝟎 Ecuación General 𝒚= 𝟏𝟎 𝟒 + 𝟏 𝟒 𝐱 −𝟒𝒚=−𝟏𝟎−𝐱 ⇒ Ecuación Punto Pendiente