1 Definición precisa de límiteIntroduciendo el rigor matemático en el concepto de límite

2 Informalmente habíamos definido:“Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L, y notamos: si es posible acercarnos con los valores de f tanto como queramos a L, con sólo tomar valores de x suficientemente cercanos a a, pero no iguales a a.” Esto, que lo hemos expresado en palabras, trataremos ahora de expresarlo algebraicamente, básicamente definiendo qué quiere decir “tanto como queramos” y “suficientemente cercanos”. a L f(x)

3 a L f(x) Si quiero que los valores de f caigan dentro de esta franja cerca de L… … me basta tomar valores de x dentro de este entorno de a

4 a L f(x) Si ahora aumento mis exigencias y quiero que los valores de f caigan dentro de esta otra franja, más cerca aún de L… … me basta tomar valores de x dentro de este nuevo entorno (más pequeño) de a

5 a L f(x) Para cualquier franja cercana a L en la cual yo quiera que caigan los valores de f… …tengo que ser capaz de encontrar un entorno de a donde los valores de f cumplan ese requisito

6 Reemplazando “franja” y “entorno” por expresiones matemáticas…f(x) Si quiero que los valores de f caigan entre L – ε y L + ε (con ε > 0)… … me basta tomar valores de x entre a – δ y a + δ, pero no iguales a a (con δ > 0)

7 Introduciendo la condición de que tiene que ser válido para cualquier franjaf(x) Para cualquier ε > 0 que yo fije… … tengo que ser capaz de de encontrar un δ > 0 tal que si x está entre a – δ y a + δ, pero no es igual a a, entonces los valores de f caerán entre L – ε y L + ε

8 Traduciendo a símbolos…Para cualquier ε > 0 que yo fije… … tengo que ser capaz de de encontrar un δ > 0 … … tal que si x está entre a – δ y a + δ, pero no es igual a a, … … entonces los valores de f caerán entre L – ε y L + ε

9 Introduciendo estos símbolos en nuestra definición…f(x) Para cualquier ε > 0 que yo fije… … tengo que ser capaz de de encontrar un δ > 0 tal que si x está entre a – δ y a + δ, pero no es igual a a, entonces los valores de f caerán entre L – ε y L + ε

10 Resumiendo… a L L - ε L + ε a - δ a + δ f(x)

11 Para hacer más concisa la notación…

12 Quedando finalmente… a L L - ε L + ε a - δ a + δ f(x)