1 DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN GENERAL

2 LÓGICA PROPOSICIONAL NÚCLEO TEMÁTICO Nº 1Lic.Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO

3 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional¿Qué es la lógica? La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.- ¿Qué aporte le hace la Lógica a la Matemática? De acuerdo a la respuesta anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-

4 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional¿Qué es una proposición? Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa. Por ejemplo: Hoy es lunes Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea: p, q, r, s, t, u V F

5 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLOS CONECTIVOS LÓGICOS Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:  Ó -: NO : “Y” : “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA  : SI Y SOLO SI  : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE

6 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTASÁlgebra Moderna – Lógica Proposicional PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular. SIMPLE: p PROPOSICIÓN COMPUESTA: p  q

7 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalTABLA DE VALORES DE VERDAD ¿Qué es una tabla de valores de verdad? Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.- ¿Cuántos valores de verdad debe llevar una tabla? O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:

8 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalOperaciones proposicionales LA NEGACIÓN La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p ~ p V F F V Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.

9 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLa disyunción o suma lógica La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-

10 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLa conjunción o producto lógico La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-

11 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalEl condicional o la implicación El condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-

12 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalCondiciones necesarias y suficientes p q p  q p condición SUFICIENTE para q (q si p) q condición NECESARIA para p (p sólo si q) V F V F V F

13 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalEl bicondicional o la doble implicación El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-

14 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLa diferencia simétrica La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p v q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F F V Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-

15 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalTautología Definición Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.- Por ejemplo: p q (pq)  [(pq)  (q p)] V V V F F V F F V F V V F V F V F 1 1 3 2

16 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalContradicción Definición Una proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen Por ejemplo: p q (p q)  - [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 F F V 4 V F 1 V F 3 V F 2

17 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalContingencia Definición Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen Por ejemplo: p q (p q) v [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 V F V F 1 V F 3 V F 2

18 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLEYES LÓGICAS Una ley lógica es una proposición verdadera.- 1º) Involución La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición p -(-p)  p V F V F 2 V F V 1

19 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional2º) Idempotencia de la conjunción La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.- p (p  p)  p V F V F 1 V

20 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional3º) Idempotencia de la disyunción La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.- p (p  p)  p V F V F 1 V

21 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional4º) Conmutatividad de la conjunción La conjunción es conmutativa p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F

22 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional5º) Conmutatividad de la disyunción La disyunción es conmutativa p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F

23 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional6º) Asociatividad de la conjunción La conjunción es asociativa p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1

24 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional7º) Asociatividad de la disyunción La disyunción es asociativa p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1

25 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional8º) Ley de De Morgan (de la conjunción) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.- p q -(p  q)  -p  -q V F V F F V 2 V F 1 V F V 1 F V 3 F V 2

26 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional9º) Ley de De Morgan (de la disyunción) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.- p q -(p  q)  -p  -q V F V F F V 2 V F 1 V F V 1 F V 3 F V 2

27 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción La conjunción es distributiva con respecto a la disyunción p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 1 V F 3 V F 2

28 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunción La disyunción es distributiva con respecto a la conjunción p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 1 V F 3 V F 2

29 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional10º) Las implicaciones asociadas p  q Directa q  p Recíproca -p  -q Contraria q  -p Contra - recíproca p  q Recíprocas q  p Contrarias Contra - recíprocas Contra - recíprocas Contrarias -p  -q Recíprocas -q  -p

30 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalPropiedad Las implicaciones contrarecíprocas son equivalentes. O sea que: p q p  q  -q  -p V F V F V F 1 V F V 1 V F 3 F V 2

31 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional11º) Negación de una implicación La siguiente proposición es una tautología, o sea: p q (p  q)  -(p  -q) V F V F V F 1 V V F 3 F V 2 F V 1 Ahora: -(pq)  -[-(p  -q)  p  -q Pero: -(pq)  -[-(p  -q)  -(-p  q) Ahora: (pq)  -(p  -q)  -p  q

32 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional12º) La doble implicación y la implicación La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. p q (p  q)  [(pq)  (qp) V F V F 2 V F V F 1 V V F 1 V F 3

33 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional13º) La diferencia simétrica y la doble implicación La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación. p q (p  q)  - (p  q) V F V F F V 1 V F V 2 V F 1

34 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalCIRCUITOS LÓGICOS EN SERIE EN PARALELO p p q q p  q p  q

35 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalCircuito en serie p(V) q(V) V p q p  q p(V) q(F) V F V F V F F p(F) q(V) F p(F) q(F) F

36 Álgebra Moderna – Lógica Proposicionalp(V) Circuito en paralelo V q(V) p(V) p q p  q V V F V F q(F) V F p(F) V q(V) p(F) F q(F)

37 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional¿Cómo se trabaja para hacer un circuito lógico de proposiciones que no son conjunciones, disyunciones o negaciones? Por ejemplo, sea p  q  -(p  q)  -[(pq)  (qp)]  -(pq)  -(qp)  (p  -q)  (q  -p) p -q q -p

38 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalRAZONAMIENTO DEDUCTIVO Premisas q Conclusión Un razonamiento es deductivo sí y sólo sí, las premisas son la evidencia de la verdad de la conclusión.-

39 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional(p1  p2  p3  p4  p5  p6  p7  p8 ... pn)  q V F V F V F

40 Álgebra Moderna – Lógica Proposicional(p1  p2  p3  p4  p5  p6  p7  p8 ... pn)  q V E R D A V E R D A VERDADERAS Un razonamiento deductivo se dice que es VÁLIDO, si no es posible que de premisas VERDADERAS se obtenga una conclusión FALSA

41 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalPor ejemplo p1 p2 p3 p4::::::q p  q -r  -q -(-p  -t) t s -r s V V

42 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalReglas de inferencias Llamamos reglas de inferencias a todo esquema válido de razonamiento. Algunas de ellas son: Ley de Modus Ponens p q p  (pq)  q p  (pq)  q V F V F V F V F V p pq q

43 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLey de Modus Tolens -q  (pq)  -p p q -q  (pq)  -p V F V F F V F V V F V F V -q pq -p

44 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLey del silogismo hipotético  (pq)  (qr)  (pr) p q r (pq)  (q r)  (p r) V F V F V F V F V F V F V V F pq qr pr

45 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLey del silogismo disyuntivo -q  (pq)  p p q -q  (p q)  p V F V F F V F V V F V -q p  q p

46 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalPor ejemplo: 1) 2) 3) 4) 5) p  q -r  -q -(-p  -t) t s -r s 1) p  q 2) q  r de 2 ICR 3) p  t de 3 LDM e INV 4) t  s 5) -r s 1) pr de 1)2) LSH 2) p t 3) ts 4) -r s 1) -p de 1)4) LMT 2) p  t 3) ts s 1) t de 1)2) LSD 2) t s s t(V) s(V) (V)

47 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLA FUNCIÓN PROPOSICIONAL Una función proposicional en una variable x es toda oración en la que figura la variable como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.- Por ejemplo: P(x): x es impar P(-4): -4 es impar (F) P(5): 5 es impar (V)

48 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalP(x,y):x es divisor de y P(-2,6):-2 es divisor de 6 (V) P(10,2):10 es divisor de 2 (F) UNIVERSAL: x:P(x) CUANTIFICADORES EXISTENCIAL: x/P(x)

49 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalNEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR UNIVERSAL Todos los números enteros son impares x:x es impar x:P(x) Negando el cuatificador queda: -x:x es impar -x:P(x) No Todos los números enteros son impares Existen números enteros que no son impares x/x no es impar x/-P(x) -x:P(x)x/-P(x)

50 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalNEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Existen números enteros que son impares x/x es impar x/P(x) Negando el cuatificador queda: -x/x es impar -x/P(x) No existen los números enteros que son impares Todos los números enteros no son impares x:x no es impar x:-P(x) -x/P(x)x:-P(x)

51 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalLa negación de un cuantificador, es equivalente al otro cuantificador con la negación de la función proposicional Por ejemplo: Cualquiera que sea entero, existe otro que sumado a él de cero P(x,y): x+y=0 x,y/x+y=0 Su negación es: -x,y/x+y=0  x/-(y/x+y=0)  x/y:x+y≠0 -x,y/x+y=0  x/y:x+y0

52 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalRAZONAMIENTO INDUCTIVO Un razonamiento inductivo es aquel que partiendo de casos particulares, podemos generalizar, y demostrar de esta forma una propiedad.- Por ejemplo, demostrar la propiedad conmutativa de la adición en los números naturales 1+5 = 5+1 7+10 = 10+7 Si a y b   a+b=b+a 100+32=32+100

53 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalUn teorema es un esquema válido de razonamiento donde el conjunto de premisas se denomina HIPÓTESES y la conclusión TÉSIS TEOREMA En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. b A a’ c’ H) Sea T) a c D) Cortadas por

54 Álgebra Moderna – Lógica ProposicionalREDUCCIÓN AL ABSURDO En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. b A a’ c’ H) Sea T) a c D) H  T  -T  -H Cortadas por ¡ABSURSDO! 

55 UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOIDEA Y REALIZACIÓN Lic. Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO FIN Departamento de Formación General 2013