1 Depto. Estadística, Universidad Carlos IIIVariables aleatorias Tema 4 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
2 Descripción breve del temaConcepto de variable aleatoria Variables aleatorias discretas y continuas Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión Desigualdad de Chebichev Transformaciones de variables aleatorias Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
3 Depto. Estadística, Universidad Carlos IIIObjetivos Manejar variables aleatorias con soltura. Manejar funciones de distribución, de probabilidad y de densidad con soltura. Calcular esperanzas de variables aleatorias y de transformaciones suyas. Calcular la distribución de una transformación de una variable aleatoria con distribución conocida. Entender el concepto de independencia entre variables aleatorias. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
4 Descripción breve del temaConcepto de variable aleatoria Variables aleatorias discretas y continuas Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión Desigualdad de Chebichev Transformaciones de variables aleatorias Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
5 Concepto de variable aleatoriaUna variable aleatoria asocia un número con cada resultado del experimento aleatorio. Es aleatoria porque al no conocer el resultado del experimento antes de realizarlo, tampoco conocemos el valor que va a tomar la variable. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
6 Concepto de variable aleatoriaDefinición. Una variable aleatoria X es una aplicación X: E ® IR, donde E es el espacio muestral asociado a un experimento. X e1 e2 e3 IR X (e3) X (e2) X (e1) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
7 Concepto de variable aleatoriaLos sucesos que nos interesarán a partir de ahora son del tipo XÎA donde A es un subconjunto de IR. Con probabilidades P(XÎA) = P({eÎE: X(e)ÎA}). Propiedades: P(XÎA) ³ 0 ; P(XÎIR) = 1 ; si A1, A2,…ÌIR son tales que AiÇAj= Æ para i ¹ j, entonces P(XÎÈi=1,¥ Ai)=Si=1,¥ P(XÎAi) . Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
8 Descripción breve del temaConcepto de variable aleatoria Variables aleatorias discretas y continuas Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión Desigualdad de Chebichev Transformaciones de variables aleatorias Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
9 El rango de una variable aleatoriaEl rango de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar. Una variable aleatoria es discreta si su rango es finito o infinito numerable. Ejemplos: nº piezas defectuosas, nº lanzamientos dado hasta un 5. Una variable aleatoria es continua si en su rango contiene un intervalo. Ejemplos: duración batería. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
10 Variables aleatorias discretasDada X una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad asigna a cada posible valor de la variable, la probabilidad de que X tome dicho valor. p: IR ® [0,1] x ® p(x) = P(X=x) Cumple que 0 £ p(x) £ 1 para todo x y si la variable toma n valores distintos x1,…,xn , entonces Si p(xi) = 1, así P(XÎA) = SxiÎA p(xi) . Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
11 Variables aleatorias discretasSupongamos que X es el número de motores averiados en cierta máquina compuesta por tres motores. Dicha variable tendrá como función de probabilidad x p(x) = P(X=x) 0’125 1 0’375 2 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
12 Variables aleatorias discretasLa función de distribución evaluada en x es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que x. F(x) = P(X £ x) limx® -¥ F(x) = 0 ; limx® ¥ F(x) = 1 ; F es no decreciente ; F es continua por la derecha. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
13 Variables aleatorias discretasLa función de distribución de una variable aleatoria discreta será escalonada, F(x) = P(X £ x) = Sxi £ x p(xi) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
14 Variables aleatorias continuasComo el conjunto de valores que toma una variable aleatoria continua es no numerable, expresiones del tipo Si p(xi) = 1 no tienen sentido. Histograma para la duración de baterías. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
15 Variables aleatorias continuasLa curva f que hemos trazado sobre el segundo histograma, lo aproxima muy bien, de hecho tenemos P(2 £ X £ 4) » ò24 f(x)dx donde X es la duración, en cientos de horas de una batería. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
16 Variables aleatorias continuasLa función de densidad f describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Cumple: f(x) ³ 0 ; ò-¥+¥ f(x)dx = 1 . Tenemos además P(a £ X £ b) = òab f(x)dx . Dada X v.a. continua, cumple P(X = a) = 0 ; P(a £ X £ b) = P(a < X £ b) = P(a £ X < b) = P(a < X < b) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
17 Variables aleatorias continuasCalculamos la función de distribución de una variable aleatoria continua integrando su función de densidad, F(x) = P(X £ x) = ò-¥x f(t)dt limx® -¥ F(x) = 0 ; limx® ¥ F(x) = 1 ; F es no decreciente ; F es continua. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
18 Variables aleatorias continuasComo la función de distribución es una primitiva de la función de densidad, obtenemos la función de densidad derivando la función de distribución, f(x) = dF(x)/dx . Estamos manejando f(x) = e-x si x > 0 F(x) = 1- e-x si x > 0 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
19 Descripción breve del temaConcepto de variable aleatoria Variables aleatorias discretas y continuas Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión Desigualdad de Chebichev Transformaciones de variables aleatorias Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
20 Esperanza matemática o mediaLa esperanza o media (m) de una variable aleatoria es el centro de gravedad de los valores que toma X discreta, m = E[X] = åxip(xi) X continua, m = E[X] = ò xf(x)dx Propiedades: Dadas X,Y y dos números, a,b E[a+bX] = a+bE[X] ; E[X+Y] = E[X]+E[Y] . Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
21 Esperanza matemática o mediaDada una función g: IR ® IR, podemos calcular la esperanza de la variable aleatoria g(X) como X discreta, E[g(X)] = åg(xi)p(xi) X continua, E[g(X)] = ò g(x)f(x)dx Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
22 Depto. Estadística, Universidad Carlos IIIMediana La mediana de una variable aleatoria X es un valor Me tal que F(Me) ³ 1/2 ; P(X ³ Me) ³ 1/2 Si X es una variable aleatoria continua, entonces F(Me) = 1/2. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
23 Medidas de posición no centralEl cuantil 0 < a < 1 de una variable aleatoria X es un valor xa tal que la probabilidad de que X sea menor o igual que xa es, al menos, a y la probabilidad de que sea mayor o igual es, al menos, 1-a. F(xa) = P(X £ xa) ³ a ; P(X ³ xa) ³ 1-a Podemos también hablar de percentiles y de cuartiles Pa = xa/100 ; Qi = P25i donde 1 £ a £ 99 y 1 £ i £ 3 . Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
24 Medidas de dispersión La varianza de una variable aleatoria X se define s2 = Var[X] = E[(X-E[X])2] X discreta, s2 = Var[X] = å(xi-m)2 p(xi) X continua, s2 = Var[X] = ò (x-m)2 f(x)dx La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza, s = (Var[X])1/2 . Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
25 Depto. Estadística, Universidad Carlos IIIMedidas de dispersión Propiedad. Var[X] = E[X2]-E[X]2 = E[X2]-m2 Dados a,bÎIR y una variable aleatoria X, tenemos las siguientes propiedades de la varianza Var[b] = 0 ; Var[aX] = a2Var[X] ; Var[aX+b] = a2Var[X] . Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
26 Depto. Estadística, Universidad Carlos IIIMedidas de forma Describen la distribución de la variable aleatoria sin tener en cuenta su escala Momento de orden k respecto del origen, mk = E[Xk] Momento de orden k respecto de la media, mk = E[(X-m)k] Coeficiente de asimetría. CA = m3/s3 Coeficiente de apuntamiento. CAp = m4/s4-3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
27 Descripción breve del temaConcepto de variable aleatoria Variables aleatorias discretas y continuas Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión Desigualdad de Chebichev Transformaciones de variables aleatorias Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
28 Desigualdad de ChebichevSi una variable aleatoria X tiene media m y varianza s2 y dados k,e > 0, tenemos las siguientes expresiones equivalentes: P(| X-m | ³ ks) £ 1/k2 P(| X-m | ³ e) £ s2/e 2 P(m-ks < X < m+ks) ³ 1-1/k2 P(m-e < X < m+e) ³ 1-s2/e 2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
29 Descripción breve del temaConcepto de variable aleatoria Variables aleatorias discretas y continuas Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión Desigualdad de Chebichev Transformaciones de variables aleatorias Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
30 Transformaciones de vables. aleatoriasDada una variable aleatoria X y una función g: IR ® IR, queremos estudiar la distribución de la variable aleatoria Y=g(X). FY(y) = P(Y £ y) = P(g(X) £ y) = P(X Î Ay) , donde Ay = {x: g(x) £ y}. En muchos casos este conjunto Ay es sencillo de calcular. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
31 Transformaciones de vables. aleatoriasSi X es una variable aleatoria discreta, tenemos FY(y) = P(Y £ y) = P(g(X) £ y) = Sg(xi) £ y pX(xi) , además la función de probabilidad de Y será, pY(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = Sg(xi) = y pX(xi) . Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
32 Transformaciones de vables. aleatoriasSi g es continua y creciente FY(y) = P(g(X) £ y) = P(X £ g-1(y)) = FX(g-1(y)) En general, si X es una variable aleatoria continua e Y=g(X) con g derivable e inyectiva, tenemos que la función de densidad de Y cumple fY (y) = fX (x) |dx/dy| Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
33 Descripción breve del temaConcepto de variable aleatoria Variables aleatorias discretas y continuas Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión Desigualdad de Chebichev Transformaciones de variables aleatorias Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III
34 Independencia de variables aleatoriasDos variables aleatorias X e Y se dicen independientes si para cualesquiera A,BÌIR, P((XÎA)Ç(YÎB)) = P(XÎA)P(YÎB) Equivalentemente, para cualesquiera x,yÎIR P((X £ x)Ç(Y £ y)) = P(X £ x)P(Y £ y) Propiedad. Si X e Y son independientes, Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y] Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III