1 Derivadas. Técnicas de derivación.Tasa de variación media. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Derivadas laterales Continuidad y derivabilidad Función derivada Reglas de derivación

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4 Tasa de variación media.Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b] Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la función e(t) = 2.t 2; donde t es el tiempo en segundos y e(t) el espacio que recorre dicho móvil en línea recta en metros. Calcular la velocidad media (tasa de variación) durante los 10 primeros segundos Hay que observar que la tasa media de f en [a,b], es la pendiente de la recta secante a f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))

5 Si existe TVI(a), lo denominamos DERIVADA DE f(x) EN EL PUNTO a, y se denota por f ’(a)

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7 Derivada de una función en un punto.Dada una función f definida en [a,b], se llama derivada de f en el punto a, a: Cuando existe, decimos que la función f es derivable en x = a. Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la función e(t) = 2.t 2; t es el tiempo en segundos y e(t) el espacio en metros. Calcular la velocidad instantánea (t’(a)) en el segundo 5 Hay que observar que f’(a) (si existe) es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el el punto (a,f(a))

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9 La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+):Derivadas laterales Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a, a los límites: La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+): Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función Teniendo en cuenta que Se deduce que f no es derivable en x = 1

10 Derivabilidad y continuidadSi f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a. Hay que observar que: Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a. Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor absoluto. f es continua ya que Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que

11 Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable. Funciones derivables Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable. Hay que observar que: Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos, o también las funciones exponenciales. Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable

12 La recta tangente y normalTeniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto (a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será

13 La recta tangente y normalEjemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1

14 Función derivada Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se obtiene mediante el límite Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se obtiene mediante el límite La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y así sucesivamente

15 Función derivada Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1 metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea

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17 Derivada de la función constante f(x) = kCálculo de derivadas Derivada de la función constante f(x) = k Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0 Derivada de la función identidad f(x) = x Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1

18 Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número naturalCálculo de derivadas Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural En general, también se cumple para n un número racional Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4

19 Derivada de la raíz cuadrada f(x) = xCálculo de derivadas Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x

20 Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/xCálculo de derivadas Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x

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26 Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.xReglas de derivación Si y = k.f(x) Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x

27 Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1Reglas de derivación Si y = f(x)  g(x) Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1

28 Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será Reglas de derivación Si y = f(x) . g(x) Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será y ‘ (x) = (6x). (x) + (3x2).[1/(2x)] = (15x2) / (2x)

29 Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será Reglas de derivación Si y = f(x) / g(x) Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será y ‘ (x) = [1.(x2) – (x+1).(2x)] / x4 = - (x+2) / x3

30 Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple:La regla de la cadena Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple: Ejemplo.- Si y = (x2+1), denominando f(g) = g y g(x) = x2+1, será:

31 Derivando la ecuación implícita de la circunferencia Derivación implícita Si en vez de venir una curva mediante su función o expresión explícita, viene expresada mediante su ecuación implícita (ecuación algebraica de variables x e y, con y = y(x)). Entonces, se deriva dicha expresión, teniendo en cuenta las reglas de aplicación a las derivadas, y despejando y ‘ Ejemplo.- Calcular la recta tangente a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio la unidad, que pasa por el punto (2/2, 2/2). Derivando la ecuación implícita de la circunferencia x2 + y2 = 1 Obtenemos 2.x + 2.y.y ‘ = 0. Es decir y ’ = - x/y Que en el punto (2/2, 2/2), y ‘ = -1, luego la ecuación de la recta será y – 2/2 = -1. (x-2/2) es decir x + y = 2.

32 Derivadas de las funciones logarítmicasSi y = ln x Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será

33 Derivadas de las funciones logarítmicasSi y = loga x, como loga x = ln x / ln a, teniendo en cuenta las reglas de derivación será Ejemplo.- Si y = log3 (5x+9). Será

34 Derivadas de las funciones exponencialesSi y = ex , tomando logaritmos neperianos será Si y = ax , como y = ex.ln a será

35 Derivadas de las funciones exponencialesSi y = f(x)g(x) , como y = eg(x).ln f(x) será Ejemplo.- Si y = 72x. Será

36 Derivadas de las funciones trigonométricasSi y = sen x, aplicando la definición de derivada será Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será

37 Derivadas de las funciones trigonométricasSi y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será

38 Derivadas de las funciones trigonométricas inversasHay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el cual dicha función sea biyectiva Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será Si y = Arc tg x, será

39 Derivadas de las funciones trigonométricas inversasEjemplo.- Si y = Arc sen x, será

40 Derivada como razón de cambioDada una función f(x), si para cada x denominamos: df(x) = f ‘ (x) . dx (ó df = f ‘ (x) . dx) será: f ‘ (x) = df / dx Ejemplo.- Se está hinchando un globo esférico. Si su radio crece a razón de 1 centímetro por segundo, ¿Con que rapidez estará creciendo el volumen cuando el radio sea de 5 centímetros? Como el volumen viene dado por Tanto r como V son cantidades que varian con el tiempo, es decir, funciones de t, luego la variación del volumen, será Que para r = 5 cm y dr/dt = 1 cm/s., será Lo que indica que cuando el radio alcanza la longitud de 5 cm. El volumen aumenta a razón de 314 cm cúbicos por segundo, aproximadamente

41 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

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49 Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/gauss/web) En la siguiente diapósitiva

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51 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticasMas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

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54 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) (http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva

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