1 DESCRIPTIVA INFERENCIALDIFERENCIA ENTRE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL DESCRIPTIVA INFERENCIAL SE OCUPA DE RESUMIR DATOS RECOPILADOS EN EVENTOS PASADOS SE OCUPA DE: ESTUDIAR LO QUE OCURRIRÁ, LO QUE SUCEDERÁ CON EVENTOS FUTUROS ESTIMAR UTILIZANDO DATOS DE LA MUESTRA PARA LLEGAR A CONCLUSIONES ACERCA DE LA POBLACIÓN Y TOMAR DECISIONES LOS PRECIOS DE VENTAS DE VEHÍCULOS DURANTE EL MES PASADO

2 1.-UN FABRICANTE DE ROMPECABEZAS QUIERE SABER SI LOS USUARIOS LO COMPRARÁN, UTILIZANDO UNA MUESTRA EL FABRICANTE PUEDE ESTIMAR , PRONOSTICAR LA PROPORCIÓN DE LA POBLACIÓN QUE VA A COMPRAR 2.- LAS AUTORIDADES SANITARIAS SABEN QUE UNA DETERMINADA ENFERMEDAD INFECCIOSA SE TRASMITE POR CONTACTO, PERO NO TODAS LAS PERSONAS SON SUCEPTIBLES DE CONTAGIARSE Por lo que se puede desarrollar modelos probabilísticos para describir el posible progreso de tales epidemias, con lo que se podrá predecir ¿Cuánto tiempo durará la epidemia, cuántas personas se contagiarán y la velocidad con la que se difundirá a través de una comunidad EJEMPLOS

3 ¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?ES LA MEDIDA QUE DESCRIBE LA POSIBILIDAD RELATIVA DE QUE UN EVENTO OCURRA; EL TÉRMINO PROBABILIDAD SE USA PARA SUGERIR QUE EXISTE RIESGO O INCERTIDUMBRE, SE EXPRESA EN DECIMALES Y PUEDE ASUMER VALORES ENTRE CERO Y UNO P(E) ≤ 0 ; ≤ 1 CERO REPRESENTA ALGO QUE NO PUEDE OCURRIR UNO REPRESENTA LGO QUE SÍ PUEDE OCURRIR

4 Seguramente va a sucederNo puede suceder Seguramente va a suceder 1,00 0,00 Probabilidad de que este año llueva Probabilidad de que el sol no salga este año

5 PROBABILIDAD COMPARACIÓN ENTRE EVENTOS FAVORABLES Y EL TOTAL DE LA MUESTRA COMPARACIÓN ENTRE EVENTOS POSIBLES Y ESPACIO MUESTRAL

6 ESPACIO MUESTRAL ELEMENTOS BÁSICOS DE LAS PROBABILIDADES RESULTADOEVENTO O SUCESO ALEATORIO RESULTADO EXPERIMENTO 1. ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO 2. ES LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS P(+) POSITIVAS O FAVORABLES P(-) NEGATIVAS O DESFAVORABLES P+q = 1 Espacio muestral ES UNA ACCIÓN QUE CONLLEVA A LA OCURRENCIA DE UNO Y SÓLO UNO DE LOS POSIBLES RESULTADO ES LA CONSECUENCIA PARTICULAR DE UN EXPERIMENTO SON LAS FORMAS COMO PUEDEN PRESENTARSE LOS RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO

7 EXPERIMENTO RESULTADO EVENTO ESPACIO MUESTRAL LANZAR UNA MONEDA RESULTADO PARTICULAR PUEDE SER “CARA” O “SELLO” E(CARA) E(SELLO) SS= (CARA, SELLO) LANZAR UN DADO RESULTADO PARTICUAR PUEDE SER “UNO”, “DOS”,”TRES”, “CUATRO”, “CINCO” O “SEIS” E (1) E (2) E(3) E(4) E(5) E(6) SS= (1,2,3,4,5,6) PREGUNTAR AUN GRUPO DE ESTUDIANTES SI COMPRARÁN O NO UN NUEVO PROGRAMA DE CONTABILIDAD ESTE SEMESTRE RESULTADO PARTICULAR PUEDE SER Sí comprarán No comprarán E(SÍ COMPRARÁ) E(NO COMPRARÁN) SS = (SÍ COMPRARÁN, NO COMPRARÁN)

8 REVISAR UN PRODUCTO PARA VER SI ESTÁ “DEFECTUOSO” O “NO DEFECTUOSO” EXPERIMENTO RESULTADO EVENTO ESPACIO MUESTRAL REVISAR UN PRODUCTO PARA VER SI ESTÁ “DEFECTUOSO” O “NO DEFECTUOSO” DEFECTUOSO NO DEFECTUOSO E(DEFECTUOSO) E(NO DEFECTUOSO) SS= DEFECTUOSO, NO DEFECTUOSO) LANZAR DOS DADOS DADOS A B 1 2 3 4 5 6 A (1,2,3,4,5,6) B (1,2,3,4,5,6) SS = A B posibles combinaciones (1,1) (1, 2) (1,3 ) (1,4 ) (1,5) (1,6 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3,) (3,4) (3,5) (3,6 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Total 36

9 AUTOEVALUACIÓN 5-1 UNA EMPRESA DESARROLLÓ UN NUEVO JUEGO DE VÍDEO PARA COMPUTADORA, OCHENTA JUGADORES VETERANOS VAN A PROBAR SU POTENCIAL EN EL MERCADO ¿CUÁL ES EL EXPERIMENTO? ¿CUÁL ES UN RESULTADO POSIBLE? SUPONGAMOS QUE 65 JUGADORES PROBARON EL NUEVO JUEGO Y DIJERON QUE LES GUSTABA. ¿65 ES UNA PROBABILIDAD? LA PROBABILIDAD DE QUE EL NUEVO JUEGO SEA UN ÉXITO SE CALCULA EN -1 . COMENTE AL RESPECTO ESPECIFIQUE UN EVENTO POSIBLE SOLUCIÓN: PRUEBAS DEL NUEVO JUEGO PARA COMPUTADORA A 73 JUGADORES LES GUSTÓ EL JUEGO NO, LA PROBABILIDAD NO PUEDE SER MAYOR DE 1 . LA PROBABILIDAD DE QUE EL JUEGO TENGA ÉXITO SI SE LANZA AL MERCADO ES 65/80 O 0, 8125 NO PUEDE SER MENOR DE 0 . QUIZÁ UN ERROR EN ARITMÉTICA A MÁS DE LA MITAD DE LAS PERSONAS QUE PROBARON EL JUEGO LES GUSTÓ. (DESDE LUEGO , SON POSIBLES OTRAS RESPUESTAS)

10 ENFOQUES PARA ASIGNAR PROBABILIDADESENFOQUE OBJETIVO ENFOQUE SUBJETIVO PROBABILIDAD CLÁSICA PROBABILIDAD EMPÍRICA CUANDO NO EXISTE INFORMACIÓN ANTERIOR SE ESTIMA LA PROBABILIDAD EN BASE A LA INFORMACIÓN DISPONIBLE IMPLICA UNA DETERMINACIÓN A PRIORI DE LOS VALORES PROBABILISTICOS;ES DECIR, SE CALCULAN LOS VALORES ANTES DE OBSERVAR LOS HECHOS SE CALCULAN LAS PROBABILIDADES DESPUÉS QUE SE HAN OBSERVADO LOS RESULTADOS DE UN NÚMERO DE HECHOS

11 PROBABILIDAD EMPÍRICA PROBABILIDAD CLÁSICANº DE VECES QUE UN EVENTO OCURRIÓ PROB. EMPÍRICA= Nº TOTAL DE OBSERVACIONES Nº RESULTADOS FAVORABLES PROB. CLÁSICAS= Nº TOTAL RESULTADOS POSIBLES EL 1 DE FEBRERO DEL 2003, EXPLOTÓ EL TRANSBORDADOR ESPACIAL COLUMBIA. ESTE FUE EL SEGUNDO DESASTRE EN 113 MISIONES ESPACIALES PARA LA NASSA. CON BASE EN ESTA INFORMACIÓN, ¿ CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA MISIÓN FUTURA SE REALICE CON ÉXITO? P = PROBABILIDAD PA = PROBABILIDAD DE QUE UNA MISIÓN FUTURA SE LLEVE A CABO CON ÉXITO Nº DE VUELOS EXITOSOS PROB.DE VUELO EXITOSO = Nº TOTAL DE VUELOS 111 P(A) = = 0.98 113 CONSIDERE EL EXPERIMENTO DE TIRAR UN DADO CON SIES LADOS ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EN EL EVENTO “LA CARA EN LA QUE HAY UN NÚMERO PAR DE PUNTOS QUEDE HACIA ARRIBA DADOS EN EL GRUPO DE 6 RESULTADOS POSIBLES QUE SON IGUALMENTE PROBABLES, HAY 3 RESULTADOS FAVORABLES (2,4,6) (RES.FAVO) PROB. DE UN NÚMERO PAR= = TOT.RES.PO)

12 ----------------------------- = 0.0769 52 total de cartas 182 AUTOEVALUACIÓN 5-2 1. Se va a seleccionar al azar una carta de una baraja estándar de 52 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea una reina?. ¿Qué estrategia de probabilidad empleó para responder esta pregunta? 2. El centro para el cuidado del niño reporta el estado civil de los padres de 539 niños. Hay 333 parejas casadas, 182 divorciadas y 24 padres viudos. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño en particular elegido al azar tenga un padre divorciado?. ¿Qué estrategia empleó?. 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el Promedio Industrial Dow Jones sea mayor de en los próximos 12 meses?. ¿Qué estrategia de probabilidad utilizó para responder esta pregunta? SOLUCIÓN 4 reinas tiene La baraja = 52 total de cartas 182 = empírico 539 El punto de vista del autor al escribir el libro de la probabilidad de que el DJIA aumente a es Usted puede ser 5 o más optimista. Subjetivo.

13 CLASES DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOSCUANDO AL REALIZAR UN EXPERIMENTO, POR LO MENOS UNO DE LOS EVENTOS DEBE OCURRIR CUANDO UN EVENTO OCURRE ,NINGUNO DE LOS OTROS PUEDE OCURRIR AL MISMO TIEMPO EJEMPLO: EN LA VARIABLE GÉNERO TENEMOS HOMBRE O MUJER, PERO NO PUEDE SER DE AMBOS GÉNEROS A LA VEZ EJEMPLO: AL LANZAR UN DADO TODOS LOS RESULTADOS SERÁN PARES O IMPARES Ejercicios del 1 al 10 ( )

14 REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓNREGLAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN SI DOS EVENTOS A Y B SON MÚTUAMENTE EXCLUYENTES, LA REGLA DE LA ADICIÓN ESTABLECE QUE LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UNO U OTRO ES IGUAL A LA SUMA DE SUS PROBABILIDADES REGLA ESPECIAL : P(A o B) = P(A)+P(B) PARA TRES EVENTOS: P(A o B o C) = P(A)+P(B)+P(C) ES APLICABLE A EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES(CUANDO UN EVENTO OCURRE, NINGUNO DE LOS OTROS PUEDE OCURRIR AL MISMO TIEMPO) LA VARIABLE “GÉNERO” ES HOMBRE O MUJER, NO PUEDE SER DE AMBOS GÉNEROS UN PRODUCTO PUEDE SER ACEPTABLE O INACEPTABLE, NO PUEDE SER LAS DOS COSAS A LA VEZ

15 EJEMPLO: UNA MÁQUINA AUTOMÁTICA LLENA FUNDAS DE PLÁSTICO CON UNA MEZCLA DE FRIJOLES, BRÓCOLI Y OTRAS VERDURAS. LA MAYOR PARTE DE LAS FUNDAS CONTIENE EL PESO CORRECTO, PERO DEBIDO A LA VARIACIÓN EN EL TAMAÑO DE LOS FRIJOLES Y LAS VERDURAS, UN PAQUETE PUEDE TENER MAYOR O MENOR PESO. UNA REVISIÓN DE 4000 PAQUETES QUE SE LLENARON REVELÓ : Peso Evento Nº de paquetes Probabilidad de ocurrencia Menos peso Satisfactorio Más peso A B C 100 3 600 300 4 000 0,025 0,900 0,075 1 000 4, 000 ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular está “pasado de peso” o “le falte peso”

16 El resultado “pasado de peso” es el evento A El resultado “falto de peso” es el evento C APLICANDO LA RERGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN TENDRÍAMOS: P(A o C) = P(A) +P(C) 0, ,075 = 0,10 NÓTESE QUE LOS EVENTOS SON MÚTUAMENTE EXCLUYENTES (lo que significa que un paquete de mezcla de verduras no puede estar pasado de peso y pesar menos al mismo tiempo) ASIMISMO, SON COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS PORQUE (un paquete seleccionado sólo puede estar pasado de peso, o pesar menos)

17 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL RESULTADO DE UN EXPERIMENTOEl lógico inglés J. Venn ( ) desarrolló el Diagrama de Venn , es una herramienta útil para representar las reglas de la adición y multiplicación. Para elaborar este diagrama primero se delimita un espacio rectangular que representa el total de todos los resultados posibles y dentro de él se representa mediante círculos los eventos en tamaño proporcional a la probabilidad del evento; ejemplo CUANDO LOS EVENTOS SON MÚTUAMENTE EXCLUYENTES (NINGUNO SE SUPERPONE) Evento A Evento B Evento C

18 MÁS LA PROBABILIDAD DE QUE NO PESE MENOS P (  A); DEBE SER IGUAL A 1 POR LÓGICA: EN EL EJEMPLO ANTERIOR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA FUNDA DE MEZCLA DE VERDURAS SELECCIONADA : PESE MENOS DE LO QUE DEBE P(A), MÁS LA PROBABILIDAD DE QUE NO PESE MENOS P (  A); DEBE SER IGUAL A 1 Esto se puede expresar de dos maneras: Primera: P(A) + P ( A) = 1 Segunda: REGLA DEL COMPLEMENTO = P(A) = 1 – P( A) UTILIZANDO LA REGLA DEL COMPLEMENTO PODRÍAMOS MOSTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA FUNDA SEA SATISFACTORIA (que no pese ni menos , ni más de lo que debe) P(B) = 1- P(A)+P(C) 1 – 0,025 +0,075 = 0,900

19 ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea: AUTOEVALUACIÓN 5-3: Una muestra de empleados participa en una encuesta sobre un nuevo plan de pensión. Los empleados se clasifican como sigue: Clasificación Evento Nº de Empleados Supervisores A 120 Mantenimiento B 50 Producción C 1460 Administración D 302 Secretarias E 68 Total 2000 ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea: i )Un empleado de mantenimiento o una secretaria ii )Un empleado que no forma parte de la gerencia b. Elabore un diagrama de Venn ilustrando sus respuestas en la parte (a) c. ¿Los eventos en la parte (a) (i) son complementarios, mutuamente excluyentes o ambos?

20 SOLUCIÓN: b) B D E c) No son complementarios, pero sí mutuamente excluyentes

21 REGLA GENERAL DE LA ADICIÓNLOS RESULTADOS DE UN EVENTO PUEDEN NO SER MUTUAMENTE EXCLUYENTES REGLA GENERAL =P(A o B) = P(A)+P(B) – P(A y B) Para la expresión P(A o B) , el conectivo o sugiere que puede ocurrir A o puede ocurrir B. Esto también incluye la posibilidad de que ocurra A y B . El uso del conectivo o en ocasiones se conoce como inclusivo.

22 ENTONCES: P(DISNEY O BUSCH) = P(DISNEY) + P(BUSCH) – P(DISNEY Y BUSCH)EJEMPLO. SUPONGAMOS QUE LA COMISIÓN DE TURISMO, DE FLORIDA SELECCIONÓ UNA MUESTRA DE TURISTAS QUE VISITARON EL ESTADO DURANTE ESTE AÑO . LA ENCUESTA REVELÓ QUE 120 TURISTAS FUERON A DISNEY WORDL Y 100 A BUSCH GARDENS . ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA SELECCIONADA HAYA VISITADO DISNEY WORDL O BUSCH GARDENS ? SI SE EMPLEA LA REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN LA ,PROBABILIDAD DE ELEGIR A UN TURISTA QUE HAYA VISITADO DISNEY WORDL ES 120/200 = 0,60 DE MANERA SIMILAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN TURISTA VISITE BUSCH GARDENS ES 100/200 = 0,50 ENTONCES: P(DISNEY O BUSCH) = P(DISNEY) + P(BUSCH) – P(DISNEY Y BUSCH) = 0, , , = 0,80 LA SUMA DE ESTOS DOS PROBABILIDADES ES 1,10. SIN EMBARGO SABEMOS QUE ESTA PROBABILIDAD NO PUEDE SER MAYOR DE 1; LA EXPLICACIÓN ES QUE MUCHOS TURISTAS VISITARON AMBAS ATRACCIONES Y SE CUENTAN DOS VECES PORQUE UNA REVISIÓN DE LA ENCUESTA REVELÓ QUE 60 DE CADA 200 PARTICIPANTES EN LA MUESTRA LO HICIERON.

23 PROBABILIDAD CONJUNTAES CUANDO OCURREN DOS EVENTOS AL MISMO TIEMPO EN EL EJEMPLO ANTERIOR LA POSIBILIDAD DE QUE UN TURISTA VISITE LAS DOS ATRACCIONES QUE ES (0,30) ES UNA PROBABILIDAD CONJUNTA EL DIAGRAMA DE VEN ILUSTRA DOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, PERO AMBOS SE SUPERPONEN PORQUE SON EVENTOS CONJUNTOS DE QUE ALGUNAS PERSONAS VISITARON LOS DOS PARQUES P(Disney ) = 0,60 P( Busch) = 0,50 A P(Disney y Busch) = 0,30

24 REGLA GENERAL REGLA ESPECIAL DIFERENCIA ENTRE LA REGLAS DE LA ADICIÓNCUANDO LOS RESULTADOS DE UN EVENTO NO PUEDEN SER MUTUAMENTE EXCLUYENTES, PERO SE DAN AL MISMO TIEMPO (PROBABILIDAD CONJUNTA) QUE LOS EVENTOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES

25 EJEMPLO: ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA CARTA ELEGIDA DE UNA BARAJA ESTÁNDAR SEA UN REY O UN CORAZÓN? CARTA PROBABILIDAD EXPLICACIÓN REY P(A) = 4 REYES EN UNA BARAJA DE 52 CORAZONES P(B) = 13 CORAZONES EN UNA BARAJA DE 52 REY DE CORAZONES P(A Y B) = (4) (13 ) (52) (52) 1 rey de corazones en una baraja de 52 cartas P(A o B) = P(A) +P(B) – P(A y B) = – (4/52) (13/52) = 52 = __ = , = 17 – 0,99 =0,3077

26 AUTOEVALUACIÓN 5-4: CADA AÑO SE REALIZAN EXÁMENES FÍSICOS DE RUTINA COMO PARTE DE UN PROGRAMA DE SERVICIOS DE SALUD PARA LOS EMPLEADOS DE UNA EMPRESA. SE DESCUBRIÓ QUE EL 8% DE LOS EMPLEADOS NECESITAN ZAPATOS ORTOPÉDICOS, 15% REQUIEREN DE UN TRATAMIENTO DENTAL Y 3% NECESITAN TANTO ZAPATOS ORTOPÉDICOS COMO UN TRATAMIENTO DENTAL. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN EMPLEADO SELECCIONADO EN FORMA ALEATORIA NECESITE ZAPATOS ORTOPÉDICOS O TRATAMIENTO DENTAL? REPRESENTE ESTA SITUACIÓN EN EL DIAGRAMA DE VENN SOLUCIÓN La necesidad de zapatos ortopédicos es un evento A La necesidad de un tratamiento dental es un evento B P(A o B)= P(A) +P(B) – P(A y B) = 0,08+0,15 – (0,08) (0,15) = 0, _ 0,012 = 0,22 Ejercicios 11 al 22 ( )

27 REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓNREGLA ESPECIAL REGLA GENERAL ESTA REGLA REQUIERE DE QUE DOS EVENTOS A y B SEAN INDEPENDIENTES SON AQUELLOS CUYAS PROBABILIDADES NO ESTÁN RELACIONADAS ENTRE SÍ; QUE OCURRAN EN MOMENTOS DIFERENTES); POR LO TANTO LA OCURRENCIA DE UNO DE ELLOS NO ALTERA LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DEL OTRO ESTA REGLA REQUIERE QUE DOS EVENTOS SEAN DEPENDIENTES ES DECIR AQUELLOS CUYAS PROBABILIDADES ESTÁN CONDICIONADAS A LA REALIZACIÓN DE LA PROBABILIDAD DEL SUCESO ANTERIOR. SE UTILIZA PARA ENCONTRAR LA PROBABLIDAD CONJUNTA P(A y B) = P(A) P(B /A) P(A y B) = P(A)P(B) PARA TRES EVENTOS INDEPENDIENTES P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C)

28 Entonces . P(R1 y R2) = P(R1)P(R2) = (0,60) (0,60) = 0,36 EJEMPLOS UNA ENCUESTA REALIZADA POR UNA EMPRESA AERONÁUTICA, REVELÓ QUE EL 60% DE SUS MIEMBROS HICIERON ALGUNA RESERVACIÓN EN UNA LÍNEA AEREA EL AÑO PASADO. SE SELECIONARON DOS MIEMBROS EN FORMA ALEATORIA. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS HAYAN HECHO UNA RESERVACIÓN EN UNA LÍNEA AÉREA EL AÑO PASADO? La probabilidad de que el primer miembro haya hecho una reservación en una línea aérea el año pasado es 0,60, se expresa P(R1) = 0,60 La probabilidad de que el segundo miembro seleccionado también haya hecho una reservación, también es 0,60, se expresa P(R2) = 0,60 REGLA ESPECIAL Entonces . P(R1 y R2) = P(R1)P(R2) = (0,60) (0,60) = 0,36 CON LA REGLA DEL COMPLEMENTO, podemos calcular la probabilidad conjunta de Todos los resultado posibles, donde: R = que hizo una reservación NR= que no hizo ninguna reservación RESULTADOS PROBABILIDAD CONJUNTA R1 R (0,60)(0,60) =0,36 R1 NR (0,60)(0,40) = 0,24 N R R (0,40) (0,60) = 0,24 NR NR (0,40) (0,40) = 0,16 TOTAL ,00

29 AUTOEVALUACIÓN 5-5- Teton Tire sabe que la probabilidad de que su llanta XB-70 dure millas antes de que quede lisa o falle es de 0,80. A cualquier llanta que no dura millas se le realiza un ajuste. Usted compra cuatro llantas XB-70. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro llantas duren por lo menos millas? SOLUCIÓN: P(A y B y C y D) = P(A) P(B) P(C) P(D) = (0,80)(0,80) (0,80) (0,80) = 0,4096

30 PROBABILIDAD CONDICIONALES CUANDO EL VALOR ESTÁ CONDICIONADO ( O ES DEPENDIENTE) DEL OTRO EVENTO EJEMPLO REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN(INDEPENDIENTES): SUPONGAMOS QUE EXISTEN 10 ROLLOS DE UNA PELÍCULA EN UNA CAJA Y SE SABE QUE 3 ESTÁN DEFECTUOSOS, SE SELECCIONA UN ROLLO DE LA CAJA. LA PROBABILIDAD DE QUE UNO SEA DEFECTUOSO ES 3/10, Y LA PROBABILIDAD DE ELEGIR UN ROLLO NO DEFECTUOSO ES 7/10., LUEGO, SE SELECCIONA UN SEGUNDO ROLLO DE LA CAJA, SIN HABER REPUESTO EL PRIMERO. LA PROBABILIDAD DE QUE ESTE SEGUNDO ROLLO ESTÉ DEFECTUOSO DEPENDE DE SI EL PRIMERO ESTABA DEFECTUOSO O NO. LA PROBABILIDAD DE QUE EL SEGUNDO ROLLO ESTÉ DEFECTUOSO ES: 2/9, SI EL PRIMER ROLLO ESTABA DEFECTUOSO (SÓLO HAY DOS ROLLOS DEFECTUOSOS EN LA CAJA QUE CONTIENE NUEVE ROLLOS) 3/9, SI EL PRIMER ROLLO SELECCIONADO ERA ACEPTABLE (LOS TRES ROLLOS DEFECTUOSOS SIGUEN EN LA CAJA QUE CONTIENE NUEVE ROLLOS) LA FRACCIÓN 2/9 o 3/9 SE CONOCEN COMO PROBABILIDAD CONDICIONAL, PORQUE SU VALOR ESTÁ CONDICIONADO ( O ES DEPENDIENTE) A LA ELECCIÓN DE UN ROLLO DEFECTUOSO EN LA PRIMERA OCASIÓN

31 EJEMPLO REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN(DEPENDIENTES) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE ELEGIR UN ROLLO DEFECTUOSO Y DESPUÉS OTRO ROLLO DEFECTUOSO? EN EL EJEMLO ANTERIOR DE LOS 10 ROLLOS EN UNA CAJA, 3 DE LOS CUALES ESTÁN DEFECTUOSOS….SE VAN A SELECCIONAR 2 ROLLOS, UNO DESPUÉS DE OTRO. EL PRIMER ROLLO SELECCIONADO DE LA CAJA QUE RESULTÓ DEFECTUOSO ES EL EVENTO D1, P(D1) =3/10, porque 3 de cada 10 están defectuosos. EL SEGUNDO ROLLO ELEGIDO QUE TAMBIÉN ESTÁ DEFECTUOSO ES EL EVENTO D2, P(D2/D1) = 2/9 después de la primera sacada. DETERMINANDO LA PROBABILIDAD DE DOS ROLLOS DEFECTUOSOS TENDRÍAMOS: P(D1 y D2 Y D3) = P(D1)P (D2/ D1) = (3/10) (2/9) = 6/90, O ALREDEDOR DE 0,07 ACLARACIONES: SE SUPONE QUE ESTE EXPERIMENTO SE REALIZÓ SIN REEMPLAZO LA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN SE PUEDE AMPLIAR A MÁS DE DOS EVENTOS. Así para tres eventos tendríamos: P(A y B y C) = P(A) P(B/A) P(C/ A y B) PARA ILUSTRAR, LA PROBABILIDAD DE QUE LOS TRES PRIMEROS ROLLOS SELECCIONADOS DE LA CAJA SEAN DEFECTUOSOS SERÍA: P(D1 y D2 y D3) = P(D1) P(D2/D1) P(D3/ D1 y D2) = (3/10) (2/9) (1/8) = 6/720 = 0,00833

32 ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro miembros sean hombres AUTOEVALUACIÓN 5-6 LA JUNTA DE DIRECTORES DE UNA EMPRESA CONSTA DE 8 HOMBRES Y 4 MUJERES, TOTAL 12 PERSONAS. DE ENTRE ELLOS, SE DEBE ELEGIR AL AZAR UN COMITÉ DE BÚSQUEDA DE CUATRO MIEMBROS PARA BUSCAR EN TODO EL PAÍS UN NUEVO PRESIDENTE PARA LA COMPAÑÍA. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro miembros del comité de búsqueda sean mujeres? ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro miembros sean hombres ¿La suma de las probabilidades de los eventos descritos en las partes (a) y (b) es igual a 1 ? Explique su respuesta. SOLUCIÓN: (4/12) (3/11) (2/10) (1/9) = 24/ = 0,002 (8/12) (7/11) (6/10) (5/9) = / = 0,1414 No, porque hay otras posibilidades, tales como tres mujeres y un hombre

33 PROBABILIDADES EN BASE A LAS TABLA DE CONTINGENCIASES UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA QUE PERMITE CLASIFICAR LOS RESULTADOS(OBSERVACIONES) DE UNA ENCUESTA DE DOS VARIABLES DE INTERÉS Y SU RELACIÓN

34 GÉNERO HOMBRES MUJERES TOTAL 20 40 60 1 30 70 2 o más 10 total 80 150EJEMPLOS: CLASIFICACIÓN DE 150 PERSONAS DE ACUERDO A SU GÉNERO Y POR EL NÚMERO DE PELÍCULAS QUE VEIRON EN EL CINE LA SEMANA PASADA. GÉNERO PELÍCULAS VISTAS HOMBRES MUJERES TOTAL 20 40 60 1 30 70 2 o más 10 total 80 150

35 EJEMPLO 2: LA AMERICAN COFFEE PRODUCERS ASSOCIATION REPORTA LA SIGUIENTE INFORMACIÓN SOBRE LA EDAD Y CANTIDAD DE CAFÉ CONSUMIDO EN UN MES CONSUMO DE CAFÉ Edad (Años) BAJO Moderado Alto Total Menos de 30 36 32 24 92 30 a 34 18 30 27 75 40 a 45 10 20 54 50 o más 26 29 79 total 90 110 100 300

36 Permanecería en la compañía ,A1 10 30 5 75 120 EJEMPLO 3: SE ENTREVISTÓ A UNA MUESTRA DE 200 EJECUTIIVOS ACERCA DE SU LEALTAD CON SU COMPAÑÍA. UNA DE LAS PREGUNTAS FUE: “Si otra empresa le ofreciera un puesto mejor o igual que el que ocupa en la actualidad, seguiría con la compañía o aceptaría el otro puesto ? Las respuestas se clasificaron según el tiempo que tienen de servicio. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR AL AZAR A UN EJECUTIVO QUE SEA LEAL A LA COMPAÑÍA ( Y SIGA SIÉNDOLO) Y QUE TENGA MÁS DE DIEZ AÑOS DE SERVICIO? NÓTESE QUE LOS DOS EVENTOS (1)EL EJECUTIVO SEGUIRÁ CON LA EMPRESA Y (2) TIENE MÁS DE 10 AÑOS DE SERVICIO) TIEMPO DE SERVICIO LEALTAD MENOS DE 1 AÑO DE 1 a 5 AÑOS DE 6 a 10 AÑOS MÁS DE 10 AÑOS TOTAL B1 B2 B3 B4 Permanecería en la compañía ,A1 10 30 5 75 120 No permanecería con la compañía  A 25 15 80 total 35 45 105 200

37 UTILIZANDO LA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN(EVENTOS DEPENDIENTES)1.- PARA ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE SUCEDA EL EVENTO A1 SI UN EJECUTIVO SELECCIONADO AL AZAR PERMANECERÁ CON LA COMPAÑÍA A PESAR DE UN OFRECIMIENTO O UN POCO MEJOR O IGUAL POR PARTE DE OTRA EMPRESA TENDRÍAMOS : P (A1) = 120 / 200 = 0,60 2.- LA PROBABILIDAD CONDICIONAL DE QUE UN EJECUTIVO CON MÁS DE 10 AÑOS)DE SERVICIO SIGA CON LA COMPAÑÍA A PESAR DE RECIBIR UN OFRECIMIENTO MEJOR O IGUAL POR PARTE DE OTRA EMPRESA (EVENTO B4) TENDRÍAMOS: P(B4 /A1) = 75/ 120 ENTONCES: PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN EJECUTIVO SELECCIONADO AL AZAR PERMANEZCA CON LA EMPRESA Y TENGA MÁS DE 10 AÑOS DE SERVICIO. UTILIZANDO LA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN(EVENTOS DEPENDIENTES) TENDRÍAMOS: P(A1 y B4) = P(A1) P(B4/A1) = (120 ) ( ) = 9000/ = 0,375 ( 200) ( 120 )

38 TENDRÍAMOS: P(A1 o B1) = P(A1) + P(B1) – P(A1 y B1)PARA ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR UN EJECUTIVO QUE SIGA CON LA COMPAÑÍA O TENGA MENOS DE UN AÑO DE EXPERIENCIA , UTILIZAMOS LA REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN: TENDRÍAMOS: P(A1 o B1) = P(A1) + P(B1) – P(A1 y B1) = 0,60 +0,175 – 0, = 0,725 El EVENTO A1 SE REFIERE A LOS EJECUTIVOS QUE SEGUIRÍAN EN LA EMPRESA. DE MODO QUE P(A1) = 120/200 = 0,60 EL EVENTO B1 SE REFIERE A LOS EJECUTIVOS QUE HAN TRABAJADO EN LA COMPAÑÍA MENOS DE UN AÑO. LA PROBABILIDAD DE B1 ES P(B1) = 0,175 LOS EVENTOS A1, y B1 NO SON MÚTUAMENTE EXCLUYENTES. ES DECIR, UN EJECUTIVO PUEDE ESTAR DISPUESTO A PERMANECER EN LA COMPAÑÍA Y TENER MENOS DE UN AÑO DE EXPERIENCIA. ESTA PROBABILIDAD, QUE SE CONOCE COMO PROBABILIDAD CONJUNTA, SE DESCRIBE ASÍ. P(A1 y B1) HAY 10 EJECUTIVOS QUE SE QUEDARÍAN EN LA EMPRESA y TIENEN MENOS DE UN AÑO DE SERVICIO, DE MO DO QUE: P(A1 y B1) = 10/200 = 0,0,05. estas personas están en ambos grupos, aquellas que permanecerían en la compañía y aquellos que tienen menos de un año de servicio. En realidad, se cuentan dos veces, de modo que necesitamos restar este valor.

39 EN BASE A LA TABLA ANTERIOR:AUTOEVALUACIÓN: 5-7 EN BASE A LA TABLA ANTERIOR: a)¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un ejecutivo con más de 10 años de servicio? b)¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un ejecutivo que no permanecería en la empresa, debido a que tiene más de 10 años de servicio? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un ejecutivo con más de 10 años de servicio o a uno que no permanecería en la empresa? SOLUCIÓN: P(B4) = 105/200 = 0,525 P(A2 / B4) = 30/105 = 0,286 P(A2 o B4) = 80/ /200+30/200 = 155/200 =0,775

40 EL LADO IZQUIERDO REPRESENTA LA RAÍZ DEL ÁRBOLDIAGRAMA DEL ÁRBOL PASOS EL LADO IZQUIERDO REPRESENTA LA RAÍZ DEL ÁRBOL DE LA RAÍZ SALEN DOS RAMAS PRINCIPALES; LA SUPERIOR REPRESENTA “PERMANECERÍA” Y LA INFERIOR “NO PERMANECERÍA”. SUS PROBABILIDADES ESTÁN ESCRITAS EN LAS RAMAS: 120/200 Y 80/200. Estas también se podrían expresar P(A) y P ( B). CUATRO RAMAS “CRECEN” DE CADA UNA DE LAS RAMAS PRINCIPALES. ESTAS REPRESENTAN EL TIEMPO DE SERVICIO: MENOS DE UN AÑO, 1 A 5 AÑOS, 6 A 10 AÑOS Y MÁS DE 10 AÑOS.. LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES PARA LA RAMA SUPERIOR DEL ÁRBOL , 10/120, 30/120 , 5/120 ETC. ESTÁN ESCRITAS EN LAS RAMAS APROPIADAS. ESTAS SON P(B1/A1), P(B2/A1), P(B3/A1) y P(B4/A1), donde B1 SE REFIERE A MENOS DE UN AÑO DE SERVICIO, B2 DE 1 A 5 AÑOS, B3 DE 6 A 10 AÑOS Y B4 A MÁS DE 10 AÑOS. A CONTINUACIÓN, ESCRIBIMOS LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES PARA LA RAMA INFERIOR. POR ÚLTIMO, LAS PROBABILIDADES CONJUNTAS, DE QUE LOS EVENTOS A1 y Bi o LOS EVENTOS  A Y Bi OCURREN JUNTOS, SE MUESTRAN DEL LADO DERECHO. POR ES: P(A1 y B1)= P(A1) P(B1/A1) = (120/200) (10/120) = 0,05 COMO LAS PROBABILIDADES CONJUNTAS REPRESENTAN TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES (PERMANECERÍA, 6 A 10 AÑOS DE SERVICIO; NO PERMANECERÍA, MÁS DE 10 AÑOS DE SERVICIO, ETC), DEBEN SUMAR 1

41 EJERCICIO:LEALTAD DE LOS EJECUTIVOS Y TIEMPO DE SERVICIO EN LA COMPAÑÍAProbabilidad Condicional Servicio Probabilidad conjunta 10/120 Menos de 1 año 120/ x 10/120 = 0,050 30/120 1 a 5 años 30/120= 0,150 Permanencia 5/120 6 a 10 años 5/120 = 0,025 120/200 75/120 Más de 10 años 75/120= 0,375 25/80 80/ x 25/80 = 0,125 80/200 15/80 15/80 = 0,075 No permanecería 10/80 10/80 = 30/80 30/80 = El total debe ser de 1 1,000

42 ¿CÓMO SE LLAMA LA TABLA? R : DE CONTINGENCIAAUTOEVALUACIÓN: 5-8 SE ENTREVISTÓ ALGUNOS CONSUMIDORES SOBRE EL NÚMERO RELATIVO DE VISITAS A UNA TIENDA (A MENUDO, EN FORMA OCASIONAL Y NUNCA) Y SI LA TIENDA TENÍA UNA UBICACIÓN CONVENIENTE (SÍ U NO). CUANDO LAS VARIABLES SE MIDEN EN FORMA NOMINAL, COMO LA UBICACIÓN CONVENIENTE ; U ORDINAL, COMO LA FRECUENCIA DE VISITAS, LOS DATOS SE PUEDEN PRESENTAR Y RESUMIR EN UNA FRECUENCIA EN DOS DIRECCIONES O UNA TABLA DE CONTINGENCIA. ¿CÓMO SE LLAMA LA TABLA? R : DE CONTINGENCIA ¿LA FRECUENCIA DE LAS VISITAS Y LA CONVENIENCIA SON INDEPENDIENTES? ¿POR QUÉ?. INTERPRETE SU CONCLUSIÓN R LA INDEPENDENCIA REQUIERE QUE P(A/B) =P(A). UNA PROBABILIDAD ES : P(VISITAS FRECUENTES / SÍ UBICACIÓN CONVENIENTE = P(VISITAS FRECUENTES) ELABORE UN DIAGRAMA DEL ÁRBOL Y DETERMINE LAS PROBABILIDADES CONJUNTAS R GRÁFICA SIGUIENTE DIAPOSITIVA ¿60/90 = 80/195?. NO LAS DOS VARIABLES NO SON INDEPENDIENTES(por lo tanto, cualquier probabilidad conjunta en la tabla se debe calcular mediante el uso de la regla general de la multiplicación)

43 Conveniente visitas sí No Total Con frecuencia 60 20 80 Ocasional 25 35 Nunca 5 50 55 90 105 195

44 Probabilidad conjuntavisitas 60/90 Con frecuencia (90/195)(60/90)= 0,31 sí 90/195 25/90 ocasionalmente (90/195)(25/90)= 0,13 convenient 5/90 nunca (90/195)(5/90)= 0,03 no 20/105 (105/195)(20/105)= 0,10 105/195 Visitas 35/105 5/105 Ocasionalmente (105/195)(35/105)= (105/195)(5/105)= 0,18 0,25 1,000 EJERCICIOS DEL 23 AL 32

45 TEOREMA DE BAYES EN EL SIGLO XVIII EL SACERDOTE PRESBITERIANO INGLÉS THOMAS BAYES, MANIFESTÓ ¿EN VERDAD EXISTE DIÓS?, COMO SE INTERESABA POR LAS MATEMÁTICAS DESARROLLÓ UNA FÓRMULA PARA LLEGAR A LA PROBABILIDAD QUE DIÓS EXISTE. POSTERIORMENTE LAPLACE DETALLÓ El TRABAJO DE BAYES Y LE DIO EL NOMBRE DE “TEOREMA DE BAYES” P(A1) P (B/A1) TEOREMA DE BAYES = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2)

46 EJEMPLO: SUPONGAMOS QUE LOS EVENTOS A1 Y A2 SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS, Y QUE Ai SE REFIERE AL EVENTO A1 o A2. EL SIGNIFICADO DE LOS SÍMBOLOS QUE SE UTILIZAN ILUSTRAMOS ASÍ: SUPONGAMOS QUE EL 5% DE LA POBLACIÓN DE UNA CIUDAD TIENE UNA ENFERMEDAD QUE ES COMÚN DE ESA CIUDAD. TAMBIÉN QUE A1 SE REFIERE AL EVENTO “tiene la enfermedad” Y A2 AL EVENTO “No tiene la enfermedad”. POR TANTO, SI SELECCIONAMOS AL AZAR UNA PERSONA DE ESTA CIUDAD: LA PROBABILIODAD DE QUE EL INDIVIDUO ELEGIDO TENGA LA ENFERMEDAD ES P(A1) = 0,05. A ESTA PROBABILIDAD SE LA LLAMA A PRIORI O INICIAL (PORQUE SE LA ASIGNA ANTES DE OBTENER CUALQUIER DATO EMPÍRICO Y SE BASA EN EL NIVEL DE INFORMACIÓN ACTUAL) B) LA PROBABILIDAD A PRIORI DE QUE UNA PERSONA NO TENGA LA ENFERMEDAD ES LA DIFERENCIA DE UNO ASÍ: P(A2) = 1 – 0,05 = 0,95

47 SEGÚN LA PROBABILIDAD CONDICIONAL EXPRESARÍAMOS P(B/A1) = 0,903. SUPONGAMOS QUE B INDICA EL EVENTO “LAS PRUEBAS DEMUESTRAN QUE LA ENFERMEDAD ESTÁ PRESENTE” SUPONGAMOS TAMBIÉN QUE LAS EVIDENCIAS HISTÓRICAS DEMUESTRAN QUE SI UNA PERSONA TIENE LA ENFERMEDAD, LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRUEBA INDIQUE SU PRESENCIA ES 0,90. SEGÚN LA PROBABILIDAD CONDICIONAL EXPRESARÍAMOS P(B/A1) = 0,90 SUPONGAMOS QUE LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA QUE EN REALIDAD NO TIENE LA ENFERMEDAD LA PRUEBA INDICARÁ LA PRESENCIA DE ÉSTA ES 0,15 P(B/A2) = 0,15 4. SUPONGAMOS QUE SELECCIONAMOS AL AZAR A UNA PERSONA DE ESA CIUDAD, LE REALIZAMOS LA PRUEBA Y ÉSTA INDICA QUE LA ENFERMEDAD ESTÁ PRESENTE. ¿Qué probabilidad hay de que la persona realmente padezca la enfermedad? P(tiene la enfermedad / los resultados de la prueba son positivos) P(A1 /B ) ESTA PROBABILIDAD ES A POSTERIORI (BASADA EN INFORMACIÓN ADICIONAL)

48 DETERMINAR LA PROBABILIDAD A PRIORI MEDIANTE EL TEOREMA DE BAYESP(A1) P (B/A1) TEOREMA DE BAYES = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) (0,05) (0,90) TEOREMA DE BAYES = = 0,24 (0,05) (0,90) + (0,95) (0,15) ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA TENGA LA ENFERMEDAD, DEBIDO A QUE LA PRUEBA DIO POSITIVO INTERPRETACIÓN: SI SE SELECCIONA UNA PERSONA AL AZAR, LA PROBABILIDAD DE QUE PADEZCA LA ENFERMEDAD ES 0,05 SI LA PERSONA SE SOMETE A LA PRUEBA Y EL RESULTADO ES POSITIVO, LA PROBABILIDAD DE QUE REALMENTE ESTÉ ENFERMA AUMENTA CINCO VECES, DE 0,05 a 0,24.

49 TEOREMA DE BAYES = ----------------------------------- EN EL PROBLEMA ANTERIOR TENEMOS SÓLO DOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO A1 y B1, SI HAY n eventos EL TEOREMA DE BAYES SERÍA: P(A1) P (B/A1) TEOREMA DE BAYES = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + …….P(An) P (B/An) LA TABLA ANTERIOR QUEDARÍA: EVENTO Ai PROBABILIDAD ANTERIOR (P(Ai) PROBABILIDAD CONDICIONAL P(B/A1) PROBABILIDAD CONJUNTA P(Ai y B) PROBABILIDAD POSTERIOR P (Ai/B) Enfermedad A1 0,05 0,90 0,0450 0,0450/0,1875 =0,24 Sin Enfermedad 0,95 0,15 0,1425 P(B)=0,1875 0,1425/0,1875=0,76 1,00

50 EJEMPLO : TEOREMA DE BAYES UN FABRICANTE DE VIDEO RREPRODUCTORAS COMPRA UN MICROCHIP A TRES PROVEEDORES: Hall Electronics el 30% pero sabe que el 3% están defectuosos A Shuller Sales el 20%, sabe que el 5% son defectuosos A Crawford Components, el 50% y sabe que el 4% son defectuosos Los chips se colocan directamente en un depósito y no se identifican de acuerdo con el proveedor, ni se inspeccionan. Un trabajador elige uno para instalarlo y se da cuenta que está defectuoso ¿ Qué probabilidad hay de que el fabricante sea Schuller Sales? 1.- HAY TRES EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS; ES DECIR TRES PROVEEDORES: A1 El Ships se compró a Hall Electronic A 2 Se compró a Schuller sales A3 Se compró a Crawford Componente 2. LAS PROBABILIDADES ANTERIORES SON: P(A1) =0,30 La probabilidad de que Hall Electronics haya fabricado el chips `P(A2) = 0,20 La probabilidad de que Schuller Sales haya fabricado P(A3) = 0,50 La probabilidad de que Crawford Components haya fabricado

51 3. LA INFORMACIÓN ADICIONAL PUEDE SER B1 el chips está defectuoso B2 el chips no está defectuoso 4. SE DAN LAS SIGUIENTES PROBABILIDADES CONDICIONALES P(B1/A1) = 0,03 La probabilidad de que un chips fabricado por Hall Electronics está defectuoso P (B1/A2)=0,05 La probabilidad de que un chips fabricado por Schuller Sales esté defectuoso P(B1/A3)=0,04 La probabilidad de que el Chips fabricado por Crawford Components esté defectuoso 5. EL CHIPS SE SELECCIONA DEL DEPÓSITO , NO, SE ESTÁ SEGURO QUÉ PROVEEDOR LO FABRICÓ. SE DESEA SABER LA PROBABILIDAD DE QUE EL CHIPS DEFECTUOSO SEA DE SCHULLER SALE, SE EXPRESA ASÍ: P(A2 /B1)

52 PROBABILIDAD ANTERIOR P(Ai) % DE PRODUCCIÓN PROBABILIDAD CONDICIONAL EVENTO Ai PROBABILIDAD ANTERIOR P(Ai) % DE PRODUCCIÓN PROBABILIDAD CONDICIONAL P(B1 /A1) % DEFECTUOSOS PROBABILIDAD CONJUNTA P(Ai y B1)multiplicación PROBABILIDAD POSTERIOR P(Ai /B1) HALL O,30 0,03 0,009 0,009/0,039 =0,2308 SCHULLER 0,20 0,05 0,010 0,010/0,039=0,2564 CRAWFORD 0,50 0,04 0,020 P(B1)=0,039 0,020/0,039=0,5128 1,000

53 Probabilidad a priori Probabilidad condicional Probabilidad conjunta P(B1/A1)=0,03 B1=Defectuoso P(A1 y B1)= P(A1)P(B1/A1) A1 = Hall (0,30)(0,03) = 0,009 P(A1) =0,30 P(B2/A1) = 0,97 B2=Bueno P(A1 y B2) = P(A1)P(B2/A1) (0,30)(0,97) = 0,291 A2= Schuller P(A2) =0,20 P(B1/A2)=0,05 P(A2)P(B1/A2) (0,20)(005) = 0,010 P(B2/A2)=0,95 B2 = Bueno P(A2 y B2) = P(A2)P(B2/A2) (0,20) (0,95) = 0,190 A3=Crawford P(A3)=0,50 P(B1/A3)=0,04 P(A3 y B1) = P(A3)PB1/A3) (0,50) (0,04) = 0,020 P(B2/A3)=0,96 P(A3 y B2) = P(A3)P(B2/A3) (0,50) (O,96) = 0,480 1,000

54 P(A1) P(B1/A1) + P(A2) P(B1/A2)+ P(A3) P (B1/A3)MEDIANTE EL TEOREMA DE BAYES CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL CHP DEFECTUOSO PROVENGA DE Schuller Sales P(A2 / B1) A2 ….SE REFIERE A SCHULLER SALES B1…….SE REFIERE AL HECHO DE QUE EL CHIP SELECCIONADO ESTABA DEFECTUOSO P(A2) P (B1/A2) TEOREMA DE BAYES = P(A1) P(B1/A1) + P(A2) P(B1/A2)+ P(A3) P (B1/A3) (0,20) (0,05) TEOREMA DE BAYES = = 0,010 = 0,2564 (0,30) (0,03) + (0,20) (0,05)+ (0,50) (0,04) 0,039

55 PRINCIPIOS DE CONTEO LA FÓRMULA DE LA MULTIPLICACIÓNCUANDO EL NÚMERO DE RESULTADOS POSIBLES EN UN EXPERIMENTO ES BAJO, CONTARLOS ES RELATIVAMENTE FÁCIL. POR EJEMPLO EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO PUEDEN DARSE 1, 2,3 ,4 ,5 o 6 NO OBSTANTE SI HAY GRAN CANTIDAD DE RESULTADOS POSIBLES POR EJEMPLO AL LANZAR UNA MONEDA 10 VECES, SERÍA TEDIOSO Y DIFÍCIL CONTAR TODAS LAS POSIBILIDADES PARA FACILITAR ESTO SE UTILIZAN TRES FÓRMULAS: LA FÓRMULA DE LA MULTIPLICACIÓN LA FÓRMULA DE LA PERMUTACIÓN LA FÓRMULA DE LA COMBINACIÓN

56 MULTIPLICACIÓN SE APLICA PARA CALCULAR EL NÚMERO DE ARREGLOS POSIBLES PARA DOS O MÁS GRUPOS

57 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓNSi hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra, hay m x n formas de hacer ambas EN TÉRMINOS DE FÓRMULA: NÚMERO TOTAL DE ARREGLOS = (m)(n) PARA TRES EVENTOS TENDRÍAMOS: (m)(n)(o) EJEMPLO: UN DISTRIBUIDOS AUTOMOTRIZ QUIERE ANUNCIAR QUE CON s/ ES POSIBLE COMPRAR UN VEHÍCULO MODELO CONVERTIBLE, DE DOS PUERTAS O DE CUATRO PUERTAS Y ELEGIR SI DESEA RINES DE RAYOS O PLANOS. ¿CUÁNTOS ARREGLOS DIFERENTES DE MODELOS Y RINES PUEDE OFRECER EL DISTRIBUIDOR? m es el número de modelos n es el tipo de rines Entonces: total de arreglos posibles = (m)(n) = (3)(2) = 6

58 AUTOEVALUACIÓN : 5-10 UN DETALLISTA DE ROPA EN INTERNET OFRECE SUÉTERES Y PANTALONES PARA DAMAS. SE OFRECEN EN COLORES COORDINADOS. SI HUBIERA SUÉTERES EN CINCO COLORES Y PANTALONES EN CUATRO. ¿CUÁNTOS ARREGLOS DIFERENTES SE PODRÍAN ANUNCIAR? PIONEER FABRICA TRES MODELOS DE APARATOS ESTÉREO, DOS REPRODUCTORES DE CINTAS, CUATRO BOCINAS Y TRES CARRUCELES DE CD. CUANDO LOS CUATRO TIPOS DE COMPONENTES SE VENDEN JUNTOS, FORMAN UN”SISTEMA”. ¿ CUÁNTOS SISTEMAS DIFERENTES PUEDE OFRECER LA EMPRESA DE ELECTRÓNICA? (5)(4) = 20 (3)(2)(4)(3) =72

59 PERMUTACIÓN SE APLICA PARA ENCONTRAR EL NÚMERO POSIBLE DE ARREGLOS CUANDO HAY UN SOLO GRUPO DE OBJETOS AQUÍ, EL ORDEN DE LOS OBJETOS SELECCIONADOS DE UN CONJUNTO ESPECÍFICO SI ES IMPORTANTE Ejemplo: Tres partes electrónicas se van a armar en una unidad complementaria para un televisor. Las partes se pueden armar en cualquier orden . La duda es : ¿de cuántas maneras diferentes se pueden armar las tres partes? El operador de una máquina debe realizar cuatro revisiones de seguridad antes de encenderla. No importa en qué orden las haga. ¿ En cuántas formas el operador puede hacer las revisiones? El orden para la primera ilustración podría ser: primero el transistor, en segundo lugar las LED y en tercero el sintetizador

60 FORMULA DE LA PERMUTACIÓN n Pr = __n!__PREMUTACIÓN Permutación cualquier distribución de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles FORMULA DE LA PERMUTACIÓN n Pr = __n!__ (n – r )! Como n =1 = n! Donde: p es el número de permutaciones n es el número total de objetos r es el número de objetos seleccionados n! Es n factorial, significa el producto de n(n-1) (n-2) (n-3)….(1) por ejemplo 5! = 5x4x3x2x1 = 120 LOS NÚMEROS SE PUEDEN SIMPLIFICAR CUANDO LOS MISMOS SE INCLUYEN EN EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR ASÍ: 6! 3! = 6*5*4*3*2*1 (3*2*1) = 180 4! *3*2*1 POR DEFINICIÓN, CERO FACTORIAL , 0! =1

61 EJEMPLO: REFIRÉNDONOS AL GRUPO DE TRES PARTES ELECTRÓNICAS QUE SE VAN A ARMAR EN CUALQUIER ORDEN ¿DE CUÁNTAS FORMAS DIFERENTES SE PUEDEN ARMAR? n = 3 porque son tres partes electrónicas que se van a armar r = 3 porque las tres se tienen que insertar en la unidad complementaria nPr = n! = 3! = 3x2x 1 = 6 (n-r)! (3 – 3)! ! Podemos revisar el número de permutación al que llegamos utilizando la fórmula de la multiplicación. Determinamos cuántos “espacios” se tienen que llenar y las posibilidades para cada “espacio”. Hay 3 lugares para 3 partes. Para el primer lugar hay 3 posibilidades Dos para el segundo (uno ya se usó) Uno para el tercero (3)(2)(1) = 6 permutaciones Las seis maneras de distribuir las tres partes electrónicas, ilustramos con letras A,B,C. ABC BAC CAB ACB BCA CBA

62 COMBINACIÓN AQUÍ EL ORDEN DE LOS OBJETOS SELECCIONADOS DE UN CONJUNTO ESPECÍFICO NO ES IMPORTANTE

63 nCr = n! r! (n – r)! Ejemplo: El departamento de mercadotecnia tiene la tarea de designar los códigos de color para las 42 distintas líneas de discos compactos que vendo Goody Records. En cada CD se va a usar tres colores, pero una combinación que se utilizó para un CD no se puede reordenar y usarse para identificar un CD diferente. Esto significa que los colores verde, amarillo y violeta (o cualquier combinación de esos tres colores)no se pueden usar para identificar otra línea. ¿ siete colores en combinaciones de tres serían adecuados para marcar un código de color las 42 líneas. nCr = n! = ! = 7x6x5x4x3x2x1 = 35 r! (n – r)! ! (7-3)! x2x1 (4x3x2x1)