1 Desigualdades e InecuacionesProf. Isaías Correa M.

2 APRENDIZAJES ESPERADOSAplicar las propiedades de las desigualdades en las resolución de ejercicios. Representar soluciones de una inecuación a través de intervalos, conjuntos y representación gráfica. Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

3 Contenidos Desigualdades 2. Intervalos 3. Inecuaciones lineales1.1 Definición 1.2 Propiedades 1.3 Operaciones 2. Intervalos 2.1 Intervalo abierto 2.2 Intervalo cerrado 2.3 Intervalo semi-abierto o semi-cerrado 2.4 Intervalos indeterminados 3. Inecuaciones lineales 4. Sistemas de Inecuaciones

4 1. Desigualdades 1.1. Definición: La simbología utilizada es:Una desigualdad es una comparación entre "a" y "b" tal que: a > b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva a < b Se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa. La simbología utilizada es: < Menor que > Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que

5 1.2. Propiedades Ejemplos:Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad. Ejemplos: a) Si sumamos m a ambos miembros de la desigualdad, a ≤ b resulta: a + m ≤ b + m b) 5 < 8 (Sumando 2 a cada lado de la desigualdad) 5 + 2 < 8 + 2 7 < 10 c) 12 > 8 (Restando 3 a cada lado de la desigualdad) > 8 - 3 9 > 5

6 Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplicanUna desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Ejemplos: a) 3 7 6 5 < (Multiplicando por 2 cada lado de la desigualdad) 3 7 6 5 ∙ 2 < ∙ 2 6 7 12 5 < b) 160 > 24 (Dividiendo por 8 cada lado de la desigualdad) 24 8 160 > 20 > 3

7 Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplicanUna desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. Ejemplos: a) 3 7 6 5 < (Multiplicando por -2 cada lado de la desigualdad) 3 7 6 5 ∙ -2 > ∙ -2 -6 7 -12 5 > b) 160 > 24 (Dividiendo por -8 cada lado de la desigualdad) 24 -8 160 < -20 < -3

8 Ejemplo: Ejemplos: /( )3 /( )2Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo: (Elevando al cubo cada miembro) 7 < 10 73 < 103 343 < 1.000 Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; sin embargo, si el grado de la potencia es par, cambia de sentido. Ejemplos: a) /( )3 b) -8 < -4 -3 > -6 /( )2 (-8)2 > (-4)2 (-3)3 > (-6)3 64 > 16 -27 > -216

9 Si ambos miembros de una desigualdad son positivos oSi ambos miembros de una desigualdad son positivos o negativos, y se invierten, es decir, se elevan a -1, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplos: -5 < -2 /( )-1 < 6 5 3 7 /( )-1 (-5)-1 > (-2)-1 3 7 -1 6 5 -1 -1 5 2 > > > 5 6 7 3

10 1.3 Operaciones Unión: Consiste en reunir todos los elementos en un solo conjunto. Su símbolo es U. Ejemplo:Si A={1,2,3,5,7} y B={3,4,5,8,9} Entonces: AUB={1,2,3,4,5,7,8,9}

11 Diferencia: Corresponde a todos aquellos elementos queestán en un conjunto, pero no están en el otro. Su símbolo es “-”. Ejemplo: Si A={1,2,3} y B={3,4,5} Entonces A – B ={1,2} Obs. Cuando el universo no se da, entonces se obtiene “uniendo” todos los elementos en un solo conjunto, en nuestro ejemplo, sería u={1,2,3,4,5}

12 2. Intervalos 2.1. Intervalo abiertoLos intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica. 2.1. Intervalo abierto ] a,b [ = { x Є IR / a < x < b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a “a”, ni “b”. Gráficamente: a b -∞ +∞ Observación: ] a,b [ = (a,b)

13 2.2. Intervalo cerrado [ a,b ] = { x Є IR / a ≤ x ≤ b } a bIncluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” y “b”. Gráficamente: a b -∞ +∞

14 2.3. Intervalo semi-abierto o semi-cerradoI. [ a,b [ = { x Є IR / a ≤ x < b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” pero no a “b”. Gráficamente: b a -∞ +∞ II. ] a,b ] = { x Є IR / a < x ≤ b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, no incluyendo a “a”, pero sí a “b”. Gráficamente: b a -∞ +∞

15 2.4. Intervalos indeterminadosI. [ a,+∞ [ = { x Є IR / x ≥ a } Incluye a todos los reales mayores o iguales que “a” a -∞ +∞ II. ] a,+∞ [ = { x Є IR / x > a } Incluye a todos los reales mayores que “a” a -∞ +∞

16 IV. ]-∞, b [ = { x Є IR / x < b }III. ]-∞, b ] = { x Є IR / x ≤ b } Incluye a todos los reales menores o iguales que “b” b -∞ +∞ IV. ]-∞, b [ = { x Є IR / x < b } Incluye a todos los reales menores que “b” b -∞ +∞

17 V. ]-∞, +∞ [ = IR +∞ -∞ IR El infinito nunca se incluye dentro de un intervalo y además nunca se escribe en la desigualdad.

18 3. Inecuación lineal Ejemplos: 5Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad. Ejemplos: 7 √5-x a) La expresión representa un número real si: 5 - x > 0 5 > x x es un número real menor que 5, o bien, x Є ] -∞, 5 [ Gráficamente: 5 -∞ +∞

19 b) x 2 6x -2 5 ≥ 1 - (Multiplicando por 10) (Simplificando) 10 ∙ 6x -2 5 x 2 - 10 ∙ 10 ≥ 2(6x – 2) ≥ 5x - 10 (Desarrollando) 12x – 4 ≥ 5x - 10 12x – 5x ≥ 7x ≥ -6 7 x ≥ -6

20 Se cumple para todo x mayor o igual que7 -6 , ,+∞ o bien, x Є 7 -6 Gráficamente: -∞ +∞ 7 -6

21 IR c) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4 7x – 8 ≥ 7x - 12 – 8 ≥ - 12En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa que la inecuación se cumple para cualquier x en los reales. Gráficamente: +∞ -∞ IR

22 d) 6x + 11 2 < 3x / ∙ 2 6x + 11 < 6x 11 < 0 En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero la desigualdad resultante es FALSA. Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO existe un x real que satisfaga la inecuación. El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:

23 4. Sistemas de InecuacionesCada inecuación del sistema se resuelve por separado, obteniéndose como solución un subconjunto de la recta real. La solución del sistema es la intersección de estos subconjuntos. Ejemplo: a) 2x + 3 ≤ 5 Resolviendo cada inecuación en forma independiente: -x - 2 ≥ -4 2x + 3 ≤ 5 -x - 2 ≥ -4 / ∙ (-1 ) 2x ≤ 5 - 3 x + 2 ≤ 4 x ≤ 1 x ≤ 2 o bien, x Є ] -∞, 1 ] o bien, x Є ] -∞, 2]

24 La solución del sistema será la intersección de los subconjuntos:S1 = ] -∞, 1 ] y S2 = ] -∞, 2] -∞ 2 +∞ 1 S = S1 Ç S2 S = ] -∞, 1 ] o bien, x ≤ 1