1 Dimensión fractal y problemas de escala Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http://carlosreynoso.com.ar

2 2 Objetivos Comprender el carácter problemático de la noción de escala Clarificar un concepto expresivo pero delicado Establecer una forma relativamente correcta de trabajar con la cuestión No meterse en cuestiones excesivamente técnicas o en problemas de camarillas de los geómetras Examinar las principales herramientas de análisis de dimensión fractal y sus aplicaciones –Patrones de asentamiento, formas geométricas, series temporales, música Establecer tareas y recursos

3 3 Agenda Problemas de escalaProblemas de escala Dimensión fractalDimensión fractal Conceptos esencialesConceptos esenciales HerramientasHerramientas Casos en ciencias sociales, arte, diseño, arquitecturaCasos en ciencias sociales, arte, diseño, arquitectura RecursosRecursos Tareas a realizarTareas a realizar

4 4 Problemáticas de la escala (1/2) Presupuestos de monotonía y homogeneidad en el análisis espacial clásicoPresupuestos de monotonía y homogeneidad en el análisis espacial clásico Inexistencia de “longitudes” precisas independientes de la unidad de medidaInexistencia de “longitudes” precisas independientes de la unidad de medida Falacia locacionalFalacia locacional –Presupuesto de ubicación única de los actores, con impacto en análisis sanitario, etc –Casa, trabajo, transporte Problema de la unidad areal modificable (MAUP)Problema de la unidad areal modificable (MAUP) –Diferentes correlaciones con distintas agrupaciones de datos –De -0,99 a +0,99

5 5 Problemáticas de la escala (2/2) Problema del límite [boundary problem]Problema del límite [boundary problem] –Diferentes formas de trazar los límites producen distintos resultados en la estimación de la distribución y en diversos párámetros estadísticos Autocorrelación espacialAutocorrelación espacial –Primera ley de la geografía (Waldo Tobler, 1970) –Modelo gravitacional –Imposibilidad de aplicar estadísticas convencionales Falacia ecológicaFalacia ecológica –Imposibilidad de inferir probabilidades individuales a partir del conjunto Múltiples distribuciones en un áreaMúltiples distribuciones en un área Cómo pasar de lo local a lo globalCómo pasar de lo local a lo global

6 6 Fractales - Conceptos Dimensión fractalDimensión fractal Auto-repetición (homotecia)Auto-repetición (homotecia) Distribución de ley de potencia – Ruido 1/fDistribución de ley de potencia – Ruido 1/f

7 7 Distribución normal Cerca del 68% del conjunto se encuentra a 1 desviación estándar de la media, 95 a 2 y 99,7 a 3Cerca del 68% del conjunto se encuentra a 1 desviación estándar de la media, 95 a 2 y 99,7 a 3 Regla de 68-95-99,7Regla de 68-95-99,7 Mal llamada “curva de Bell”Mal llamada “curva de Bell”

8 8 Ley de potencia Independiente de escala = No hay valores normales, ni una media, ni una escala característicaIndependiente de escala = No hay valores normales, ni una media, ni una escala característica La dispersión de los valores puede ser de orden astronómicoLa dispersión de los valores puede ser de orden astronómico

9 9 Dimensiones fraccionales. 01 2 3 0.4498 0.6309 1.2619 1.5850 2.06 2 2.72681.70

10 10 Dimensión fractal Benoît MandelbrotBenoît Mandelbrot –Geometría fractal de la naturaleza –Los objetos fractales Dimensiones geométricas no enterasDimensiones geométricas no enteras ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? –Lewis Fry Richardson, 1928 Log/log = Ley de potenciaLog/log = Ley de potencia “Las montañas no son conos, las nubes no son esferas, las islas no son círculos, los rayos no son líneas rectas”“Las montañas no son conos, las nubes no son esferas, las islas no son círculos, los rayos no son líneas rectas” Dimensión efectiva: depende de escala de observaciónDimensión efectiva: depende de escala de observación No es subjetivo según el observador, sino función determinista de la escalaNo es subjetivo según el observador, sino función determinista de la escala

11 11 ¿Cuánto mide...?  1.24958

12 12 Paradoja de Steinhaus

13 13 Richardson-Hayes

14 14 Dimensión fractal Método de la cuenta de cajasMétodo de la cuenta de cajas –Dimensión logarítmica, de entropía o de capacidad Logaritmo naturalLogaritmo natural –Tamaño de la caja –Número de cajas en que aparece la curva Inclinación de la curvaInclinación de la curva Dimensión = 1,24958

15 15 Conteo de cajas (box counting) Método simple de asignar una dimensión a un conjunto, tal que en ciertos casos esa dimensión no es enteraMétodo simple de asignar una dimensión a un conjunto, tal que en ciertos casos esa dimensión no es entera Estos conjuntos son los llamados fractalesEstos conjuntos son los llamados fractales Desde el punto de vista dinámico, los conjuntos con propiedades fractales se dice que están regidos por atractores extrañosDesde el punto de vista dinámico, los conjuntos con propiedades fractales se dice que están regidos por atractores extraños

16 16 Jerga técnica Transformada de WaveletTransformada de Wavelet –Método de transformación de ondas complejas –Sirve, entre otras cosas, como procedimiento para calcular la dimensión fractal de un objeto –Hay varias clases: continua, compleja, discreta Transformada de FourierTransformada de Fourier –Método alternativo – Se usa para calcular espectro de potencia Detección o extracción de bordesDetección o extracción de bordes ThresholdingThresholding –Establecer umbrales de datos a tratar –Rango para pasar otros colores a blanco o a negro

17 17 Jerga técnica [Sliding box] lacunarity[Sliding box] lacunarity –Medida de heterogeneidad de una imagen. –Similar a standard box counting. Convex hullConvex hull –Identificación de los pixels más distantes de una imagen y trazado del círculo correspondiente. Análisis multifractalAnálisis multifractal –Permite establecer si la estructura se rige por un solo principio constructivo o si éste varía a distintas escalas. –O también: identifica diferentes partes del atractor que poseen diferentes conductas de escala. –La mayoría de los objetos complejos reales o de las series temporales es multifractal.

18 18 Jerga técnica LagunaridadLagunaridad –Cómo llena un fractal un espacio –Fractales densos tienen baja lagunaridad

19 19 Lagunaridad

20 20 Jerga técnica Agregación limitada por difusión (DLA)Agregación limitada por difusión (DLA) –Modelo fractal de crecimiento (urbano) –Propiedades parecidas: gradiente de densidad negativa, estructuras caóticas ordenadas –Algunos programas fractales incluyen un módulo de DLA –Algunos programas de medición de densidad también (FracLab) –Idem modelos basados en agentes –Estudiado como fenómeno urbano por Batty, Longley y Fotheringham –Otros geógrafos utilizan modelos de percolación Cuyo gráfico es una escalera del diablo*Cuyo gráfico es una escalera del diablo*

21 21 Washington-Baltimore & DLA

22 22 Importancia de DLA Los formas de agregación son fractalesLos formas de agregación son fractales A mayor fractalidad, mayor presunción de organicidad y auto-organizaciónA mayor fractalidad, mayor presunción de organicidad y auto-organización Baja probabilidad de asentarse en el centroBaja probabilidad de asentarse en el centro Quizá DLA no sea un buen modelo, pero es una base para pensar en modelos de crecimientoQuizá DLA no sea un buen modelo, pero es una base para pensar en modelos de crecimiento –Los modelos algorítmicos simples (en contra de las funciones analíticas, que pueden no existir) permiten una comprensión conceptual más clara.

23 23 Importancia de DLA Otros modelos alternativosOtros modelos alternativos –Modelo de Eden –Sólido-sobre-sólido [solid-on-solid] –Deposición aleatoria –Deposición balística estocástica –Percolación de invasión –Percolación dirigida –Screened growth model –Modelo polinuclear –Modelos carcinogénicos DLA sigue siendo el más popularDLA sigue siendo el más popular

24 24 Dilación

25 25 Preliminares Pasar a gama de grisesPasar a gama de grises DilaciónDilación ThresholdingThresholding Extracción de bordesExtracción de bordes Pre-procesamiento de imágenesPre-procesamiento de imágenes –Con analizadores fractales o con programas especializados. –Programa recomendado ImageJ, con propio analizador fractal

26 26 Programas **HarFA**HarFA **FracLab**FracLab FractalyseFractalyse FracTopFracTop Fractal3eFractal3e KindratenkoKindratenko SimuLabSimuLab FracLac - Módulos (plugins) de ImageJFracLac - Módulos (plugins) de ImageJ

27 27 **HarFA Versión reducida disponible – Versión completa, supeditada a posteo de un paperVersión reducida disponible – Versión completa, supeditada a posteo de un paper Análisis armónico (Transformada de Fourier), análisis de wavelet y análisis fractalAnálisis armónico (Transformada de Fourier), análisis de wavelet y análisis fractal Diversas técnicas de reconocimiento de bordes, eliminación de márgenes (borlas, escalas), filtrado (incluyendo Kuwahara*)Diversas técnicas de reconocimiento de bordes, eliminación de márgenes (borlas, escalas), filtrado (incluyendo Kuwahara*) El más completo en cuanto a formatosEl más completo en cuanto a formatos –Imágenes, series temporales, videos, música en forma directa Observación: Espectros discretos y continuos dan dimensiones diferentes.Observación: Espectros discretos y continuos dan dimensiones diferentes.

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29 29 **FracLab Componente de Matlab, independienteComponente de Matlab, independiente Síntesis de funciones parametrizadasSíntesis de funciones parametrizadas –DLA, secuencias 1/f, percolación, IFS, movimiento browniano, movimientos estables –fBM, mBM – Se pueden simular texturas en 2D Cálculos de dimensiones de señales, imágenes o datos binariosCálculos de dimensiones de señales, imágenes o datos binarios Cálculo multifractal y de exponentesCálculo multifractal y de exponentes Métodos de limpieza (denoising)Métodos de limpieza (denoising) Insólitamente, no tiene dilaciónInsólitamente, no tiene dilación

30 30 **FracLab InterpolaciónInterpolación –Se pueden tomar series temporales generadas por la ecuación logística o datos de terreno –Se pueden hacer interpolaciones en series cortas para analizarlas en los gráficos de recurrencia de VRA, etc PrecauciónPrecaución –Medir dimensión de archivos binarios con método binario. –Si se mide por escala de grises la dimensión fractal es mucho mayor (casi una unidad) –Igual precaución debe observarse con otros programas

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32 32 Práctica Análisis del índice NikkeiAnálisis del índice Nikkei –Fraclab_mcr nikkei225.txt Generación de síntesis de percolación y diffusion-limited aggregationGeneración de síntesis de percolación y diffusion-limited aggregation Elegir siempre dimensión de regularización y no conteo de cajaElegir siempre dimensión de regularización y no conteo de caja –Es más exacto y menos voluble  Los archivos de texto (series temporales de Excel, por ejemplo) deben estar separados por tabulaciones  Los archivos de texto (series temporales de Excel, por ejemplo) deben estar separados por tabulaciones

33 33 Fractalyse Basado en Matlab, autónomo – Desarrollado por Gilles Vuidel & Pierre Frankhauser (escuela francesa)Basado en Matlab, autónomo – Desarrollado por Gilles Vuidel & Pierre Frankhauser (escuela francesa) Soporta Tab, BMP, TIF (sólo B&W)Soporta Tab, BMP, TIF (sólo B&W) Se requieren imágenes bien contrastadasSe requieren imágenes bien contrastadas Un poco inestableUn poco inestable –Algunas opciones señaladas como Testing son de resolución incierta Box counting, dilación, lagunaridad, multifractal, tentacularidad, extracción de bordeBox counting, dilación, lagunaridad, multifractal, tentacularidad, extracción de borde –No proporciona información tabular de medidas de caja –Si lo hacen SimuLab y FracTop La dilación es una de las mejores en plazaLa dilación es una de las mejores en plaza Práctica de lagunaridad con mapa de MilánPráctica de lagunaridad con mapa de Milán

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35 35 Fractal3e Programa de la Secretaría de Agricultura y Ganadería de Japón, prestaciones limitadasPrograma de la Secretaría de Agricultura y Ganadería de Japón, prestaciones limitadas Pocos formatos gráficos (BMP)Pocos formatos gráficos (BMP) Ciertas imágenes complejas no pueden ser tratadasCiertas imágenes complejas no pueden ser tratadas Buenas operaciones de preprocesamientoBuenas operaciones de preprocesamiento Problemas de foco en el form de resultadosProblemas de foco en el form de resultados Hay una versión más nueva (3.4.6) y sigue siendo gratis, pero hay que tramitar el pedidoHay una versión más nueva (3.4.6) y sigue siendo gratis, pero hay que tramitar el pedido Vigilar sobre qué color se realiza el cálculoVigilar sobre qué color se realiza el cálculo Gráfico log/log y tabla de valores por cajaGráfico log/log y tabla de valores por caja

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37 37 ImageJ – Preparación de imágenes Open Source con innumerables módulos agregadosOpen Source con innumerables módulos agregados –Es el sitio por excelencia para computación de imágenes Prestaciones casi ilimitadas de tratamiento preliminar de representaciones gráficasPrestaciones casi ilimitadas de tratamiento preliminar de representaciones gráficas No es para efectos bonitos (tipo Photoshop) sino para manipulación, conversión y análisisNo es para efectos bonitos (tipo Photoshop) sino para manipulación, conversión y análisis No lee BMP compactado, pero debe haber un plugin en alguna parteNo lee BMP compactado, pero debe haber un plugin en alguna parte Incluye módulo de análisis fractalIncluye módulo de análisis fractal –El archivo.Jar de análisis fractal debe copiarse al directorio plugins

38 38 ImageJ

39 39 Kindratenko Fractal Analysis of Contours 1.0, ca. 2000Fractal Analysis of Contours 1.0, ca. 2000 Básico, pero adecuado para problemas simples* que no requieren demasiada especificaciónBásico, pero adecuado para problemas simples* que no requieren demasiada especificación No mide música, video ni series temporales – Sólo contorno de imágenes.No mide música, video ni series temporales – Sólo contorno de imágenes. Se controla con botón derecho. Encuentra automáticamente el contorno, pero *sólo de imágenes monocromáticas únicas.Se controla con botón derecho. Encuentra automáticamente el contorno, pero *sólo de imágenes monocromáticas únicas. Cuando se obtiene la curva, el objetivo es trazar una línea entre dos medidas cualesquiera.Cuando se obtiene la curva, el objetivo es trazar una línea entre dos medidas cualesquiera. Sirve para mostrar variabilidad de la dimensión conforme a la inclinación de la línea.Sirve para mostrar variabilidad de la dimensión conforme a la inclinación de la línea.

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49 49 FracTop Modelo analítico simple, ca. 2003 – Java REModelo analítico simple, ca. 2003 – Java RE Programa de la Charles Sturt University (Australia)Programa de la Charles Sturt University (Australia) http://www.csu.edu.au/faculty/sciagr/eis/fractop/http://www.csu.edu.au/faculty/sciagr/eis/fractop/ La visualización de las imágenes poco contrastadas es un poco sumariaLa visualización de las imágenes poco contrastadas es un poco sumaria Las operaciones de thresholding etc no están documentadasLas operaciones de thresholding etc no están documentadas JPG, GIF, PNG, TIFF, pero no BMPJPG, GIF, PNG, TIFF, pero no BMP Las tablas de pueden pasar a Excel y analizar allí como gráfico XY, con ejes logarítmicosLas tablas de pueden pasar a Excel y analizar allí como gráfico XY, con ejes logarítmicos Vale la pena comparar los gráficos built in con los de Excel, que son más controlables y profesionalesVale la pena comparar los gráficos built in con los de Excel, que son más controlables y profesionales

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51 51 SimuLab Programas de la Universidad de Bar-Ilan, Israel, ca. 2000 – Tecnología de 16 bitsProgramas de la Universidad de Bar-Ilan, Israel, ca. 2000 – Tecnología de 16 bits Sólo soporta BMP en blanco y negro, sin compactarSólo soporta BMP en blanco y negro, sin compactar Módulos de fractalidad de costas y de análisis fractal de formas diversasMódulos de fractalidad de costas y de análisis fractal de formas diversas Métodos de regla y cajaMétodos de regla y caja Permite comparar diferencias de resultados entre ambos procedimientosPermite comparar diferencias de resultados entre ambos procedimientos No funciona en Windows Vista / Windows 7No funciona en Windows Vista / Windows 7

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54 Aplicaciones en estudios urbanos

55 55 Michael Batty – Pierre Frankhauser Batty & Longley, Fractal cities, 1994.Batty & Longley, Fractal cities, 1994. –Análisis de la dimensión fractal de las áreas urbanas –Las ciudades planificadas tienden a ser ortogonales (no fractales) –Las periferias se fractalizan –Las áreas de poblamiento no planificado son fractales (de agregación) –En Cardiff, proceso histórico inverso por mejoras en el sistema de transporte del centro a la periferia Frankhauser – Relación de dimensión fractal con renta, especializaciòn funcional, etcFrankhauser – Relación de dimensión fractal con renta, especializaciòn funcional, etc

56 56 Batty & Longley (cont.)

57 57 Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico)

58 58 Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico)

59 59 Relación entre jerarquía y distribuciones de Pareto / Zipf Autosimilitud en diversas escalasAutosimilitud en diversas escalas Distribuciones de ley de potenciaDistribuciones de ley de potencia Vinculación con la ley de Zipf de rango/frecuencia para las ciudadesVinculación con la ley de Zipf de rango/frecuencia para las ciudades

60 60 Aplicaciones Geografía urbana – EjemploGeografía urbana – Ejemplo Investigaciones de FrankhauserInvestigaciones de Frankhauser

61 61 Investigaciones de Frankhauser

62 62 Aplicaciones Rodina, Rodin, Dumachev – Optimización de patrullaje policial en MoscúRodina, Rodin, Dumachev – Optimización de patrullaje policial en Moscú Zonas residencias sub-patrulladas: mayor DZonas residencias sub-patrulladas: mayor D

63 63 Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (1/2) Warren Hern, U. Colorado (2008)Warren Hern, U. Colorado (2008)

64 64 Baltimore-Washington (Masek & al 2006)

65 65 Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (2/2) Rasgos propios de procesos de criticalidad auto- organizada –http://carlosreynoso.com.ar/criticalidad-auto-organizada-y- dinamicas-complejas/http://carlosreynoso.com.ar/criticalidad-auto-organizada-y- dinamicas-complejas/ Metástasis (colonización distante) Crecimiento rápido Progresión (tasa creciente de expansión en nuevas colonias) Invariancia de escala Topofagia (devora los espacios disponibles) Falta de mecanismos antagónicos inhibitorios Apoptosis (resistencia a la extinción normal) –Semejanza con muerte celular programada de Penelas

66 66 Sitios arqueológicos fractales, etc Maschner & Bentley – Asentamientos en AleutianasMaschner & Bentley – Asentamientos en Aleutianas Brown & Witschey – Mayas.Brown & Witschey – Mayas. Burkle Elizondo – Estelas y calendarios mexicanos.Burkle Elizondo – Estelas y calendarios mexicanos.

67 Otras aplicaciones

68 68 Ron Eglash – Dimensión fractal de la música

69 69 Shakespeare – Eli Eftekhari

70 70 Relacionado: Ley de Zipf

71 71 Artistas fractales Patrones de Mandelbrot en arte escita, vikingo, avar- onogurio, parto, sogdiano, chino, japonésPatrones de Mandelbrot en arte escita, vikingo, avar- onogurio, parto, sogdiano, chino, japonés Espirales complejos en arte indígena colombiano y en tallas de madera MaoriEspirales complejos en arte indígena colombiano y en tallas de madera Maori Jackson PollockJackson Pollock František Kupka (Amorpha, 1912)František Kupka (Amorpha, 1912) Arte psicodélicoArte psicodélico Percepciones narcóticas, estados alterados de concienciaPercepciones narcóticas, estados alterados de conciencia –Materiales en DVDs de Ciencia Cognitiva y en curso de CC y antropología del conocimiento en http://carlosreynoso.com.ar

72 72 Aplicaciones Richard Taylor y el PollockizerRichard Taylor y el Pollockizer

73 73 Aplicaciones Richard Taylor –Las pinturas de Jackson Pollock tienen una dimensión fractal característica a dos escalas diferentes, que se acentúa con los años –Se pudo hacer un peritaje de 6 (sobre 32) pinturas sospechosas encontradas en Long Island (1999) –Taylor encontró desviaciones significativas –Otros expertos disienten, argumentando que en ese lote Pollock estaba experimentando variantes estilísticas

74 74 Aplicaciones Richard Taylor sobre PollockRichard Taylor sobre Pollock

75 75 www.jacksonpollock.org Go...

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78 78 Consecuencias Arte NeenArte Neen –Miltos Manetas, ca 2000 –Andreas Angelidakis, Steven Schkolne, Amy Franceschini, Erik Loyer, Jon Wine, Mai Ueda –Uso oportunista de la tecnología, intrascendencia deliberada, temporario, cool –“Splatter” de Michael Migurski. Se volvió Neen cuando Manetas se lo apropió –http://www.neen.org/demo.html http://www.neen.org/demo.html

79 79 Más aplicaciones Mureika, Dyer, CupchikMureika, Dyer, Cupchik –Estructura multifractal de arte abstracto –“Huellas digitales” multifractales –“Firmas” (signatures) fractales de estilos, artistas, períodos, series, épocas, pigmentos...

80 80 Gerl, Schönlieb, Wang (2004) Dimensión fractal entre los mejores índices, con 75 a 80% de efectividadDimensión fractal entre los mejores índices, con 75 a 80% de efectividad

81 81 ¿Podría un arqueólogo o historiador de arte especializarse en peritaje fractal y encontrar las signaturas de los estilos a autenticar?

82 Análisis basado en ondículas [wavelets] Sección en preparación

83 83 Acentuación de diferencias y clasificación L. A. Ruiz & alL. A. Ruiz & al

84 84 Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico Sariyildiz & alSariyildiz & al

85 85 Detección de edificios Thui & alThui & al

86 86 Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico Sariyildiz & alSariyildiz & al

87 87 Conclusiones (1/2) Elemento de juicio fundamentalElemento de juicio fundamental –Análisis geográfico, patrones de asentamiento, uso de la tierra, ecología, diseños, música, peritaje artístico Se debe vincular con otros factores:Se debe vincular con otros factores: –Comparación con otros sitios/períodos/géneros –Hipótesis sobre la significación de los valores diferenciales Especificación puntual de los procedimientos y de los programas empleados, incluyendo métodos de thresholding, etcéteraEspecificación puntual de los procedimientos y de los programas empleados, incluyendo métodos de thresholding, etcétera

88 88 Conclusiones (2/2) Tema apto para realizar experiencias de trabajo en el contexto del seminarioTema apto para realizar experiencias de trabajo en el contexto del seminario –Encontrar dimensiones fractales características de barrio, periferia, zona planificada, zona auto- organizada, época, clase social –Comprobar mediciones contra juegos de prueba en más de un entorno de análisis No sólo distintos programas de DF, sino otras medidas multiescalares [wavelets, lagunaridad]No sólo distintos programas de DF, sino otras medidas multiescalares [wavelets, lagunaridad] –Vincular con otras herramientas analíticas que se verán más adelante

89 89 Recursos Batty M. and Longley P. (1994), Fractal Cities. A Geometry of Form and Function, London: Academic Press, 394 p.Batty M. and Longley P. (1994), Fractal Cities. A Geometry of Form and Function, London: Academic Press, 394 p. Frankhauser P. (1994), La fractalité des structures urbaines. Collection Villes, Anthropos, Paris.Frankhauser P. (1994), La fractalité des structures urbaines. Collection Villes, Anthropos, Paris. Frankhauser P. (1998): The Fractal approach: a new tool for the spatial analysis of urban agglomerations, Population: An English Selection, 205-240.Frankhauser P. (1998): The Fractal approach: a new tool for the spatial analysis of urban agglomerations, Population: An English Selection, 205-240.

90 90 Referencias (1/2) Reynoso, Carlos – Complejidad y caos: Una exploración antropológica. Buenos Aires, SB Ediciones, 2006Reynoso, Carlos – Complejidad y caos: Una exploración antropológica. Buenos Aires, SB Ediciones, 2006 Grupo Anthropokaos – Exploraciones en antropología de la complejidad. Idem.Grupo Anthropokaos – Exploraciones en antropología de la complejidad. Idem. Eglash, Ron – African fractals. New Brunswick, Rutgers University Press, 1999.Eglash, Ron – African fractals. New Brunswick, Rutgers University Press, 1999. Eve, Raymond, Sara Horsfall & Mary Lee. Chaos, complexity and sociology. Myth, models, and theories. Thousand Oaks, Sage, 1997.Eve, Raymond, Sara Horsfall & Mary Lee. Chaos, complexity and sociology. Myth, models, and theories. Thousand Oaks, Sage, 1997. Watts, Duncan. Six degrees. The science of a connected age. Londres, Random House, 2004.Watts, Duncan. Six degrees. The science of a connected age. Londres, Random House, 2004.

91 91 Referencias Reynoso, Carlos. 2010. Análisis y diseño de la ciudad compleja. Perspectivas desde la antropología urbana. Buenos Aires, Editorial SbReynoso, Carlos. 2010. Análisis y diseño de la ciudad compleja. Perspectivas desde la antropología urbana. Buenos Aires, Editorial Sb

92 92 Ejercicios de práctica Generar matriz a partir de imagen con PASSaGE 2Generar matriz a partir de imagen con PASSaGE 2 –Create > Surface from image, etc –Análisis de wavelet

93 ¿Preguntas? http://carlosreynoso.com.ar