1 Dinámica y Control de Robots UNIDAD 03Ecuaciones dinámicas de Euler-Lagrange Roger Miranda Colorado Dr. Roger Miranda Colorado

2 Dr. Roger Miranda ColoradoContenido Restricciones mecánicas Conexiones mecánicas Coordenadas generalizadas Restricciones holonómicas Desplazamientos virtuales Sistemas restringidos en equilibrio Fuerzas Generalizadas Aplicación de las ecuaciones EL Ecuaciones EL para robots manipuladores Dr. Roger Miranda Colorado

3 1. Restriccciones mecánicasLas ecuaciones EL incluyen de modo natural las restricciones del sistema Se basan en coordenadas generalizadas Se consideran restricciones holonómicas Basadas en el uso del Lagrangiano Dr. Roger Miranda Colorado

4 1. Restriccciones mecánicasLas ecuaciones EL tienen propiedades como: Cotas explícitas en la matriz de inercia Linealidad en los parámetros de inercia Antisimetría Pasividad La derivación de ecuaciones se basa en: PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Desplazamientos virtuales Principio del Hamiltoniano Dr. Roger Miranda Colorado

5 1. (a) Conexiones mecánicasSea un sistema de k partículas con coordenadas: Si no existen restricciones entonces: Tasa de cambio del momento de cada masa Fuerza externa aplicada Fuerzas de restricción ¿qué pasa si existen restricciones: Dr. Roger Miranda Colorado

6 1. (a) Conexiones mecánicasAlgunos ejemplos de restricciones mecánicas son: En el caso (a) se tiene: En el caso (b) se tiene: En el caso (c) se tiene si no hay desplazamiento: …y suponiendo desplazamiento: Dr. Roger Miranda Colorado

7 1. (a) Conexiones mecánicasFinalmente para el caso (d): ¿Qué se concluye?: Al operar un sistema, este contiene restricciones que deben considerarse en su dinámica. Dr. Roger Miranda Colorado

8 1. (a) Conexiones mecánicasSea un sistema de N puntos que se describe por: Posición de cada punto en el espacio Las conexiones mecánicas se expresan como: (1) con m el número de restricciones mecánicas. Definición. (Posición posible) Un vector r que satisface la ecuación (1) se dice que es una posición posible de los puntos del sistema S. Dr. Roger Miranda Colorado

9 1. (a) Conexiones mecánicasEntre los efectos de las restricciones se encuentran: Limitan configuración geométrica del sistema Limitan su movimiento Disminuyen los GDL del sistema Por ejemplo, sea un sistema con: 3n GDL GDL m restricciones Dr. Roger Miranda Colorado

10 1. (a) Conexiones mecánicasSean 2 partículas unidas por un cable rígido sin masa de longitud l, entonces para dos puntos se debe cumplir: Con fuerzas externas aplicadas a las partículas se debe de considerar el efecto del cable. Entonces: ¿Se deben considerar restricciones en análisis? ¿Analizar sin considerar fuerzas de restricción? Dr. Roger Miranda Colorado

11 2. Coordenadas GeneralizadasEs importante recordar el concepto de: Independencia lineal (l.i.) Entonces se considera la siguiente definición: Definición (coordenadas generalizadas, CG). Las CG son un conjunto r de coordenadas qk, k=1,2,…,r l.i. que, junto con las restricciones, permiten especificar unívocamente la configuración de un sistema de r GDL. Dr. Roger Miranda Colorado

12 Dr. Roger Miranda ColoradoEjemplo. Considérese una partícula que se mueve en una esfera de radio R. Determine el número de grados de libertad de dicha partícula. La posición se describe mediante: donde el número de grados de libertad es: ¿3 GDL? ¡Falso! ¿Coordenadas cartesianas? 2 DOF’s Coordenadas esféricas Coordenadas cilíndricas Dr. Roger Miranda Colorado

13 2. Coordenadas Generalizadas¿Cuál es la conclusión del problema anterior?: La posición obtenida no es única (unívoca) El sistema se encuentra restringido Entonces se tienen: 3 GDL 1 restricción 2 GDL del sistema restringido Considérese en adelante que las coordenadas generalizadas se expresan como q(t). Dr. Roger Miranda Colorado

14 3. Restricciones HolonómicasConociendo las restricciones se obtiene: Restricciones implícitas Las ecuaciones EL se aplican a sistemas con restricciones holonómicas. Definición (restricción holonómica). Si la relación de una conexión mecánica (fk) es integrable de la forma: fk(t,r(t))=0 se dice que es holonómica. Si: dfk/dt=0 se dice que las restricciones son estacionarias. Dr. Roger Miranda Colorado

15 3. Restricciones holonómicasPara el ejemplo de las dos partículas unidas: Holonómica ¿Cuál sería un caso de r. no holonómica?: Partícula moviéndose dentro de la esfera Dr. Roger Miranda Colorado

16 3. Restricciones holonómicasPara un sistema S con m restricciones se tiene el vector de parámetros: Grados de libertad Los n parámetros son coordenadas generalizadas si y solo si: En cada instante r(t) está definida unívocamente Las componentes de q son independientes Dr. Roger Miranda Colorado

17 4. Desplazamientos VirtualesSea la posición posible: entonces el desplazamiento infinitesimal es: Si: Desplazamiento virtual Consistente con las restricciones Dr. Roger Miranda Colorado

18 4. Desplazamientos VirtualesLos desplazamientos virtuales son un conjunto: consistente con las restricciones. Por ejemplo, nuevamente para las partículas unidas por un cable se tiene Considerando la posición en función de las coordenadas generalizadas: Dr. Roger Miranda Colorado

19 4. (a) Sistemas restringidos en equilibrioSea una partícula en equilibrio Fuerza neta cero Trabajo de desplazamientos virtuales = cero Fi: fuerza total ejercida sobre la partícula i. Dr. Roger Miranda Colorado

20 4. (a) Sistemas restringidos en equilibrioPara las partículas unidas por un cable se tiene: El trabajo realizado por las fuerzas de restricción es: El trabajo realizado por las fuerzas de restricción es cero. Dr. Roger Miranda Colorado

21 4. (a) Sistemas restringidos en equilibrioLa fuerza Fi se compone de los siguientes elementos: Fuerza aplicada externamente Fuerza de restricción entonces se obtiene: donde: No se involucran fuerzas de restricción Se incluyen sólo fuerzas externas Principio de trabajo virtual (PTV). El trabajo realizado por las fuerzas externas correspondientes a cualquier conjunto de desplazamientos virtuales es cero. Dr. Roger Miranda Colorado

22 4. (b) Fuerzas GeneralizadasPara la ecuación: No todas las fi son cero porque no se usan coordenadas generalizadas. Además: se ha tratado a sistemas en equilibrio, lo cual no es el caso general. Para sistemas que no se encuentran en equilibrio se emplea el Principio de D’Alembert (PDA). Dr. Roger Miranda Colorado

23 4. (b) Fuerzas GeneralizadasPara el PDA se considera el momento de una partícula i: Fuerza ficticia Equilibrio Entonces se añade dicha fuerza ficticia: Nuevamente no se puede asegurar que los coeficientes son nulos. Además, no se han considerado las coordenadas generalizadas. Dr. Roger Miranda Colorado

24 4. (b) Fuerzas GeneralizadasSe consideran por separado los siguientes términos: (1) (2) y se emplearán las coordenadas generalizadas. Dr. Roger Miranda Colorado

25 4. (b) Fuerzas Generalizadas(1) Nótese que: Fuerza Generalizada Qj no requiere tener unidades de fuerza qj no necesita tener dimensiones de longitud Qjδqj siempre tiene dimensiones de trabajo Dr. Roger Miranda Colorado

26 4. (b) Fuerzas Generalizadas(2) Para el segundo término se tiene: donde: entonces: Dr. Roger Miranda Colorado

27 4. (b) Fuerzas Generalizadas(2) Se define la energía cinética como: entonces: por lo que: Dr. Roger Miranda Colorado

28 4. (b) Fuerzas GeneralizadasDe esta manera se obtiene: Debido a la independencia lineal se concluye que: Se considera ahora que la fuerza generalizada se compone de: Fuerza generalizada aplicada externamente Fuerza debida a un campo potencial Dr. Roger Miranda Colorado

29 4. (b) Fuerzas GeneralizadasEntonces se obtiene: Finalmente se obtiene la expresión: donde: Lagrangiano Energía potencial Ecuaciones de Euler-Lagrange Dr. Roger Miranda Colorado

30 4. (b) Fuerzas GeneralizadasEs importante recordar que las fuerzas externas a las que se puede ver sometido un sistema pueden ser: Fuerzas potenciales. Se pueden expresar como Fuerzas no potenciales Entonces se tiene el siguiente resultado: Lema. Si las fuerzas efectivas son potenciales, entonces las fuerzas generalizadas también lo son, es decir, existen n funciones escalares tales que: Dr. Roger Miranda Colorado

31 4. (b) Fuerzas GeneralizadasPara sistemas conservativos (aquellos donde todas las fuerzas externas son potenciales) se tiene: Ahora se tratarán dos aspectos: Muestra de la aplicación de las ecuaciones EL Uso de las ecuaciones EL para modelar robots Dr. Roger Miranda Colorado

32 5. Aplicación de las ecuaciones ELSea un sistema que consiste en una partícula de masa m como el mostrado en la figura. El sistema se mueve en el eje y sujeto a una fuerza f y la fuerza gravitacional mg. Determinar las ecuaciones dinámicas del sistema. Dr. Roger Miranda Colorado

33 5. Aplicación de las ecuaciones ELEn este caso se tiene fácilmente por suma de fuerzas: Posición ¡Listo! Empleando las ecuaciones EL: De esta manera: La coordenada generalizada es: Por lo tanto: Ahora se emplean las ecuaciones: Dr. Roger Miranda Colorado

34 5. Aplicación de las ecuaciones ELEntonces: Entonces las ecuaciones dinámicas del sistema son: ¡Mismo resultado que con suma de fuerzas!, pero … …¿más complicado? Dr. Roger Miranda Colorado

35 5. Aplicación de las ecuaciones ELEjemplo. Sea un brazo robótico como el mostrado en la figura, que consiste en un eslabón rígido acoplado por medio de engranes a un motor de CD. Sean θl y θm los ángulos del eslabón y del motor respectivamente, donde θm= rθl, con r:1 la razón del engranaje. Determinar las ecuaciones dinámicas del sistema empleando las ecuaciones EL. Dr. Roger Miranda Colorado

36 5. Aplicación de las ecuaciones ELSe tiene 1 GDL y además: La energía cinética del sistema es: Inercia del motor Inercia del eslabón Dr. Roger Miranda Colorado

37 5. Aplicación de las ecuaciones ELAhora se considera la energía potencial: Ahora se define: Entonces el Lagrangiano del sistema es: Se considera la coordenada generalizada: Dr. Roger Miranda Colorado

38 5. Aplicación de las ecuaciones ELAhora se emplean las ecuaciones EL: Por lo tanto, las ecuaciones dinámicas del sistema son: Dr. Roger Miranda Colorado

39 5. Aplicación de las ecuaciones ELLa fuerza generalizada contiene: Par del motor reflejado en el eslabón Pares de amortiguamiento con De esta manera las fuerzas externas son: Entonces la ecuación dinámica del sistema es: Dr. Roger Miranda Colorado

40 5. Aplicación de las ecuaciones ELEjemplo. En la figura se muestra un péndulo simple con un brazo dado por un resorte de rigidez k. Obtener las ecuaciones dinámicas del sistema suponiendo que la masa m se encuentra concentrada en el extremo. Dr. Roger Miranda Colorado

41 5. Aplicación de las ecuaciones ELLas coordenadas generalizadas son: Entonces la masa se ubica como: Entonces se deriva para obtener: Por lo tanto, la energía cinética del sistema es: Dr. Roger Miranda Colorado

42 5. Aplicación de las ecuaciones ELPara la energía potencial se tiene: De esta manera se obtiene el Lagrangiano: Dr. Roger Miranda Colorado

43 5. Aplicación de las ecuaciones ELAplicando las ecuaciones EL se obtiene: No hay fuerzas externas, por lo que: τ=0. Dr. Roger Miranda Colorado

44 5. Aplicación de las ecuaciones ELAhora se aplican las ecuaciones EL: Por lo tanto, se obtiene: Dr. Roger Miranda Colorado

45 5. Aplicación de las ecuaciones ELEjemplo. Se tiene un bloque de masa M que desliza sin fricción sobre una superficie horizontal. El movimiento del bloque se debe al péndulo de masa m. Determinar las ecuaciones dinámicas del sistema empleando las ecuaciones EL. Dr. Roger Miranda Colorado

46 5. Aplicación de las ecuaciones ELLas coordenadas generalizadas son: La energía cinética total se expresa como: Debida al bloque de masa M Debida al péndulo de masa m Entonces: Dr. Roger Miranda Colorado

47 5. Aplicación de las ecuaciones ELNótese que: Por lo que la energía cinética del péndulo es: Dr. Roger Miranda Colorado

48 5. Aplicación de las ecuaciones ELEntonces la energía cinética total es: Además, la energía potencial es: Dr. Roger Miranda Colorado

49 5. Aplicación de las ecuaciones ELEntonces, el Lagrangiano es: Ahora se emplearán las ecuaciones EL para obtener las ecuaciones dinámicas del sistema. Dr. Roger Miranda Colorado

50 5. Aplicación de las ecuaciones ELDr. Roger Miranda Colorado

51 5. Aplicación de las ecuaciones ELPor lo tanto las ecuaciones dinámicas son: Dr. Roger Miranda Colorado

52 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresLas ecuaciones dinámicas de un robot manipulador se pueden expresar como: donde: Fuerzas inerciales Pares gravitacionales Pares externos Coordenadas generalizadas Matriz de masa o inercia Fuerzas centrífugas y de Coriolis Dr. Roger Miranda Colorado

53 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresLa energía cinética puede expresarse como: donde: por lo tanto: Dr. Roger Miranda Colorado

54 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresNótese que para un robot de n-GDL: Para el caso rotacional: Velocidad angular del i-ésimo eslabón Tensor de inercia del eslabón i en el centro de masa Para el caso traslacional: Dr. Roger Miranda Colorado

55 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresDe esta manera para el i-ésimo eslabón se tiene: y la energía cinética total del manipulador es: Dr. Roger Miranda Colorado

56 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresConsiderando las coordenadas generalizadas: Del análisis del Jacobiano se tiene: De esta manera: donde: Dr. Roger Miranda Colorado

57 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresDe esta manera se obtiene: Lo cual permite obtener la fórmula para M: Dr. Roger Miranda Colorado

58 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresAhora considérese el siguiente manipulador: Sus ecuaciones dinámicas son: Dr. Roger Miranda Colorado

59 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresEntonces se tiene para V: Empleando: se obtiene: Dr. Roger Miranda Colorado

60 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresEntonces: Dr. Roger Miranda Colorado

61 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresAgrupando términos se obtiene: Ahora se consideran los símbolos de Christoffel: Dr. Roger Miranda Colorado

62 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresDe esta manera se obtiene la expresión: Ahora se definen las matrices: Por lo que se obtiene finalmente: Dr. Roger Miranda Colorado

63 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresCorresponde a las fuerzas centrífugas Corresponde a las fuerzas de Coriolis De modo general se tiene: Dr. Roger Miranda Colorado

64 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresAhora se considera el cálculo de la energía potencial. Para el i-ésimo eslabón: La energía potencial total es: El vector de pares gravitacionales G es: Empleando el Jacobiano: Dr. Roger Miranda Colorado

65 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresDe la misma manera, empleando el dominio de la fuerza: …así se obtiene: …que es el mismo resultado anterior. Dr. Roger Miranda Colorado

66 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresEn resumen se tienen las siguientes fórmulas: Dr. Roger Miranda Colorado

67 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresLas ecuaciones anteriores pueden transformarse de la siguiente manera: Ahora se analizarán algunos ejemplos para mostrar la aplicación de dichas ecuaciones. Dr. Roger Miranda Colorado

68 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresEjemplo. Determinar las ecuaciones dinámicas del manipulador RP de la figura empleando las ecuaciones EL. Dr. Roger Miranda Colorado

69 Dr. Roger Miranda ColoradoNótese que: Por lo que: Para los Jacobianos de velocidad angular: Dr. Roger Miranda Colorado

70 Dr. Roger Miranda ColoradoPara la matriz de masa del sistema se tiene: donde: Dr. Roger Miranda Colorado

71 Dr. Roger Miranda ColoradoDe esta manera se obtiene: Ahora se determinarán los símbolos de Christoffel: Dr. Roger Miranda Colorado

72 Dr. Roger Miranda ColoradoSe recuerda que: Dr. Roger Miranda Colorado

73 Dr. Roger Miranda ColoradoEntonces: por lo que: Dr. Roger Miranda Colorado

74 Dr. Roger Miranda ColoradoAhora se calcula el vector de pares gravitacionales: Dr. Roger Miranda Colorado

75 Dr. Roger Miranda ColoradoFinalmente las ecuaciones dinámicas son: Dr. Roger Miranda Colorado

76 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresEjemplo. Determinar las ecuaciones dinámicas del manipulador RP de la figura empleando las ecuaciones EL y el análisis de cinemática directa. Dr. Roger Miranda Colorado

77 Dr. Roger Miranda ColoradoNótese que: Entonces: Además: Se emplea la cinemática directa para obtener los vectores en {0} Dr. Roger Miranda Colorado

78 Dr. Roger Miranda ColoradoNuevamente: Dr. Roger Miranda Colorado

79 Dr. Roger Miranda ColoradoEntonces: Dr. Roger Miranda Colorado

80 Dr. Roger Miranda ColoradoSiguiendo los mismos pasos anteriores se obtiene nuevamente: Dr. Roger Miranda Colorado

81 6. Ecuaciones EL para robots manipuladoresEjemplo. Determinar las ecuaciones dinámicas del manipulador RR de la figura empleando las ecuaciones EL y el análisis de cinemática directa. Dr. Roger Miranda Colorado

82 Dr. Roger Miranda ColoradoSe tiene: Dr. Roger Miranda Colorado

83 Dr. Roger Miranda ColoradoEntonces los Jacobianos de velocidad angular son: La energía cinética para el movimiento traslacional es: Dr. Roger Miranda Colorado

84 Dr. Roger Miranda ColoradoPara el movimiento rotacional se tiene: y la energía cinética para el movimiento rotacional es: Dr. Roger Miranda Colorado

85 Dr. Roger Miranda ColoradoPor lo tanto, la energía cinética total es: donde: Dr. Roger Miranda Colorado

86 Dr. Roger Miranda ColoradoPara la energía potencial se tiene: Ahora se determina el Lagrangiano: Dr. Roger Miranda Colorado

87 Dr. Roger Miranda ColoradoEmpleando las ecuaciones EL se obtiene: Dr. Roger Miranda Colorado

88 Dr. Roger Miranda ColoradoPor lo que las ecuaciones dinámicas del sistema son: La expresión anterior puede factorizarse como: Con lo que se obtiene la expresión simplificada: Dr. Roger Miranda Colorado

89 Dr. Roger Miranda ColoradoFIN UNIDAD 03 Dr. Roger Miranda Colorado