1 Diseño y Análisis de Experimentos HENRY LAMOSEstadística III. DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS 2014 Segundo semestre HENRY LAMOS Estadística III. H Lamos

2 Supuestos para el ANOVAResiduales herramienta base de diagnóstico Estadística III. H Lamos

3 Estadística III. H LamosEjemplo a desarrollar en clase Una agencia gubernamental para la protección del medio ambiente ha establecido reglamentos muy estrictos para el control de desechos de las fábricas. Un empresa tiene cuatro plantas y sabe que la planta A satisface los requisitos impuestos por el gobierno pero quisiera determinar cuál es la situación de las otras tres. Para el efecto se toma cinco muestras de los líquidos residuales de cada una de las plantas y se determina la cantidad de contaminantes. Los resultados del experimento aparecen en la tabla. Estadística III. H Lamos

4 Cantidad de contaminantePlanta Cantidad de contaminante A 1.65 1.72 1.50 1.37 1.6 B 1.7 1.85 1.46 2.05 1.8 C 1.4 1.75 1.38 1.55 D 2.1 1.95 1.88 2 Proporcionan los datos anteriores evidencia suficiente que indique que existe una diferencia en la cantidad media de contaminantes para las cuatro plantas? Estadística III. H Lamos

5 Estadística III. H LamosOne-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta D Source DF SS MS F P Factor , , ,20 0,011 Error , ,0298 Total ,9417 S = 0, R-Sq = 49,37% R-Sq(adj) = 39,87% Estadística III. H Lamos

6 1. Supuesto de NormalidadDiseño y Análisis de Experimentos 1. Supuesto de Normalidad Para verificar el supuesto se puede usar una gráfica de probabilidad normal de los residuales. La gráfica debe tener una apariencia de línea recta. Una distribución de los errores que tienen colas considerablemente más gruesas o delgadas que la distribución normal es “grave”. Puntos atípicos Error en cálculos Error en codificación de datos Circunstancias experimentales Estadística III. H Lamos

7 Estadística III. H LamosResiduales Planta A Planta B Planta C Planta D 1,65 1,7 1,4 2,1 1,72 1,85 1,75 1,95 1,5 1,46 1,38 1,37 2,05 1,88 1,6 1,8 1,55 2 FITS1 FITS2 FITS3 FITS4 1,568 1,772 1,546 1,916 0,082 -0,072 -0,146 0,184 0,152 0,078 0,204 0,034 -0,068 -0,312 -0,166 -0,266 -0,198 0,278 0,104 -0,036 0,032 0,028 0,004 0,084 Estadística III. H Lamos

8 Diseño y Análisis de ExperimentosOrdenar los residuales de menor a mayor Asignar valores crecientes espaciados uniformemente entre 0 y 1 a 𝑒 𝑖 . Una forma usual es asignar el valor de (𝑖−0.5)/𝑛 a 𝑒 𝑖 . Después se grafican en papel probabilidad normal las parejas ( 𝑒 𝑖 , 𝑖−0.5 𝑛 ) Una gráfica de probabilidad normal también se construye en papel gráfico común graficando los valores normales estandarizados ( 𝑧 𝑖 ,𝑒 𝑖 ) Estadística III. H Lamos

9 2. Supuesto de IndependenciaDiseño y Análisis de Experimentos 2. Supuesto de Independencia Para verificar el supuesto se usa una gráfica de los residuales en secuencia del tiempo. Una tendencia a tener corridas de residuales positivos y negativos indican una correlación positiva entre los residuales. La aleatorización adecuada del experimento es importante para la independencia del error. Estadística III. H Lamos

10 3. Supuesto de HomocedasticidadDiseño y Análisis de Experimentos 3. Supuesto de Homocedasticidad Una manera de visualizar el cumplimiento del supuesto es a través de una gráfica de los residuales contra valores ajustados Si el modelo es correcto y se satisfacen los supuestos, los residuales deberán estar sin estructura. No deberán estar relacionados con ninguna otra variables, incluyendo la respuesta predicha. GRAFICA Estadística III. H Lamos

11 Diseño y Análisis de ExperimentosPrueba de Bartlett. La hipótesis Nula deberá rechazarse si: Estadística III. H Lamos

12 Diseño y Análisis de ExperimentosPrueba de Levene modificada Prueba que las varianzas son iguales en todos los tratamientos utilizando la desviación de las observaciones de cada tratamiento de la mediana de los tratamientos. La prueba de Levene modificada evalúa entonces si la media de estas desviaciones es igual o no para todos los tratamientos. Estadística III. H Lamos

13 Diseño y Análisis de ExperimentosCuando las desviaciones medias son iguales, las varianzas de las observaciones de todos los tratamientos serán iguales. Se prueba con el estadístico F ANOVA usual para probar la igualdad de medias que se aplica a las desviaciones absolutas.. Estadística III. H Lamos

14 INTERPRETACIÓN DE RESULTADOSDiseño y Análisis de Experimentos INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS Después de realizar el experimento el experimentador está listo para sacar conclusiones prácticas acerca del problema bajo estudio. Las conclusiones pueden obtenerse mediante: Regresión Lineal. Se desarrolla un modelo empírico para pronosticar y optimizar. Comparaciones gráficas de las medias. Se grafican las medias de los niveles sobre el eje x. Contrastes. Comparaciones de Pares de Medias de los tratamientos. Estadística III. H Lamos

15 Estadística III. H LamosAnálisis Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev Planta A , , ( * ) Planta B , , ( * ) Planta C , , ( * ) Planta D , , ( * ) 1, , , ,00 Estadística III. H Lamos

16 Diseño y Análisis de Experimentos1. Contrastes Al realizar el ANOVA en el modelo con efectos fijos se rechaza la Hipótesis Nula, y por lo tanto se desea conocer cuáles efectos son diferentes . Muchos métodos de comparaciones múltiples usan el concepto de contraste. Un contraste se define como una combinación de los parámetros medias Estadística III. H Lamos

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18 Diseño y Análisis de ExperimentosEstadístico de prueba t El contraste de interés en términos de los totales de los tratamientos: Cuando los tamaños de muestra de los tratamientos son iguales: Estadística III. H Lamos

19 Diseño y Análisis de ExperimentosEstadístico de prueba t La Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Estadística III. H Lamos

20 Diseño y Análisis de ExperimentosEstadístico de prueba F El cuadrado de una variable aleatoria t con v grados de libertad, es una variable aleatoria F con un grado de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador. La Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Estadística III. H Lamos

21 Diseño y Análisis de ExperimentosIntervalos de confianza Puede expresarse en términos de los promedios de los tratamientos. Si el intervalo de confianza incluye al cero no deberá rechazarse la Hipótesis Nula. Estadística III. H Lamos

22 Diseño y Análisis de ExperimentosMétodo Scheffé Compara todos los contrastes posibles entre las medias de los tratamientos. Si se tienen m contrastes a comprobar: Prueba de hipótesis El contraste correspondiente a los promedios de los tratamientos es: Estadística III. H Lamos

23 Diseño y Análisis de ExperimentosEl error estándar de este contraste es: Puede demostrarse que el valor crítico contra el que deberá compararse Cu es : Estadística III. H Lamos

24 Estadística III. H LamosSe rechaza la Hipótesis Nula si: Para probar la hipótesis de que el contraste difiere significativamente de cero, se compara Cu con el valor crítico. Estadística III. H Lamos

25 Contrastes OrtogonalesDos contrastes con coeficientes {cᵢ} y {dᵢ} son ortogonales, si: o para un diseño no balanceado Para a tratamientos, el conjunto de a-1 con contrastes ortogonales hace la partición de la suma de cuadrados debida a los tratamientos en a-1 componentes independientes con un solo g.l. Por lo tanto, las pruebas que se realizan en este son independientes. Estadística III. H Lamos

26 Estadística III. H LamosEjemplo Existen varias formas de elegir los coeficientes de los contrastes ortogonales para un conjunto de tratamientos. En general, algún elemento en la naturaleza del experimento sugiere las comparaciones de interés. Por ejemplo, si hay a=4 tratamientos, donde el tratamiento 1 es de control y donde los niveles del factor en los tratamientos 2, 3 y 4 son de interés para el experimentador, los contrastes ortogonales apropiados pueden ser: Tratamiento Coeficiente de los contrastes 1 (control) -3 2 1 3 -1 4 Estadística III. H Lamos

27 3. Comparaciones de pares de Medias de tratamientosDiseño y Análisis de Experimentos 3. Comparaciones de pares de Medias de tratamientos Útiles cuando el interés se centra en comparar los pares de medias de tratamientos Quiere probarse: Algunos de los métodos para realizar dichas comparaciones son. Prueba Tukey Método LSD Prueba Rango de Duncan DUNNET Estadística III. H Lamos

28 Diseño y Análisis de ExperimentosPrueba Tukey Se hace uso del estadístico del rango estudentizado: Para probar la hipótesis se obtiene el estadístico de prueba: Estadística III. H Lamos

29 Diseño y Análisis de ExperimentosEstadística III. H Lamos

30 Diseño y Análisis de ExperimentosDos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. Esto es, se rechaza la hipótesis nula si: Estadística III. H Lamos

31 Diseño y Análisis de ExperimentosIntervalo de confianza se construye mediante la siguiente expresión: Estadística III. H Lamos

32 Diseño y Análisis de ExperimentosRéplicas desiguales. Prueba Tukey-Kramer Para probar la hipótesis se obtiene el estadístico de prueba: Estadística III. H Lamos

33 Diseño y Análisis de ExperimentosEl método de mínima diferencia significativa LSD Se hace uso del estadístico t para probar las hipótesis. Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. Estadística III. H Lamos

34 Prueba del Rango Múltiple de DUNCANEn este caso los promedio de los tratamientos deben ordenarse de menor a mayor. A continuación, en la tabla de Duncan de los rangos significativos, se obtienen los valores Para p = 2, 3, …, a donde α es el nivel de significación y f es el numero de grados de libertad del error. Estadística III. H Lamos

35 Diseño y Análisis de ExperimentosPrueba del Rango Múltiple de DUNCAN Deben obtenerse los valores El error de cada promedio se determina como Estadística III. H Lamos

36 Diseño y Análisis de ExperimentosFinalmente se empiezan a obtener las diferencias entre las medias, comenzado a comparar la más grande contra la menor y así sucesivamente, hasta obtener todas las diferencias posibles Estas diferencias se comparan con los correspondientes, siendo p el número de pasos aparte que están dichas medias comparadas. Dos pares de medias se consideran significativamente diferentes si Estadística III. H Lamos

37 Diseño y Análisis de ExperimentosDUNNET : Comparación de medias de un tratamiento con un control. Alguna de las medias de uno de los tratamientos es un control (a) y se está interesado en compararla con las medias de los tratamientos restante. Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. d debe leerse de la tabla correspondiente para dichos valores. a es el número de tratamientos. f son los Grados de Libertad de MSE. Estadística III. H Lamos

38 Diseño y Análisis de ExperimentosSe trata de un experimento con un solo factor con a= 5 niveles del factor y n= 5 réplicas.  Se tienen entonces 25 corridas que se corren de manera aleatoria. Peso % de algodón Fibras PROCESO Resistencia a la Tensión (Y) Estadística III. H Lamos

39 Diseño y Análisis de ExperimentosEn la siguiente tabla se registran los datos obtenidos: Peso porcentual del algodón Observaciones Total Promedio 1 2 3 4 5 15 7 11 9 49 9,8 20 12 17 18 77 15,4 25 14 19 88 17,6 30 22 23 108 21,6 35 10 54 10,8 376 15,04 Para los datos tabulados se obtienen: Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Gran total de todas las observaciones. Promedio de todas las observaciones. Estadística III. H Lamos

40 Diseño y Análisis de ExperimentosAnova Análisis de Varianza Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrados Medios Entre tratamientos SSTrat= 475,76 a-1= 4 MSTrat= 118,94 Dentro de los tratamientos SSE=161,2 N—a =20 MSE= 8,06 Total SST=636,96 N-1=24 Se rechaza la hipótesis Nula con un nivel de significancia de 0.05 Estadística III. H Lamos

41 Diseño y Análisis de ExperimentosPrueba de Levene modificadaEn la siguiente tabla se registran las desviaciones: Peso porcentual del algodón Desviaciones 1 2 3 4 5 total 15 6 12 20 25 30 10 35 9 179 2401 Estadística III. H Lamos

42 Estimación de parámetrosDiseño y Análisis de Experimentos Estimación de parámetros % 15 -5,24 20 0,36 25 2,56 30 6,56 35 -4,24 Intervalo de confianza para la media del tratamiento 4 Estadística III. H Lamos

43 Diseño y Análisis de ExperimentosVerificación de los supuestos del ANOVA % Residuales 15 -2,8 5,2 1,2 -0,8 20 -3,4 1,6 2,6 25 -3,6 0,4 1,4 30 -2,6 3.4 0.4 -2.6 1.4 35 -3.8 -0.8 0.2 4.2 Residuales Gráfica de Probabilidad Normal Estadística III. H Lamos

44 Diseño y Análisis de ExperimentosPrueba de Bartlett. % 15 11 20 9,8 25 4,3 30 6,8 35 8,2 Varianza Muestral Se acepta la hipótesis Nula ya que: Estadística III. H Lamos

45 Diseño y Análisis de ExperimentosPrueba de Levene modificadaEn la siguiente tabla se registran las desviaciones: Peso porcentual del algodón Desviaciones 1 2 3 4 5 total 15 6 12 20 25 30 10 35 9 179 2401 Estadística III. H Lamos

46 Diseño y Análisis de ExperimentosInterpretación de resultados Contraste La Hipótesis Nula debe aceptarse puesto que Estadística III. H Lamos

47 Diseño y Análisis de ExperimentosScheffé La Hípotesis Nula debe aceptarse puesto que Estadística III. H Lamos

48 Diseño y Análisis de ExperimentosComparaciones entre pares de medias de los tratamientos Tukey Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. Comparación  Diferencia 1 Vs 2 -5,6 1 Vs 3 -7,8 1 Vs 4 -11,8 1 Vs 5 -1 2 Vs 3 -2,2 2 Vs 4 -6,2 2 Vs 5 4,6 3 Vs 4 -4 3 Vs 5 6,8 4 Vs 5 10,8 Estadística III. H Lamos

49 Diseño y Análisis de ExperimentosLSD Comparación  Diferencia 1 Vs 2 -5,6 1 Vs 3 -7,8 1 Vs 4 -11,8 1 Vs 5 -1 2 Vs 3 -2,2 2 Vs 4 -6,2 2 Vs 5 4,6 3 Vs 4 -4 3 Vs 5 6,8 4 Vs 5 10,8 Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. Estadística III. H Lamos

50 Diseño y Análisis de ExperimentosDuncan Número % Media 1 15 9,8 5 35 10,8 2 20 15,4 3 25 17,6 4 30 21,6 Los promedio de los tratamientos deben ordenarse de menor a mayor. P R 2 2,95 3,75 3 3,1 3,94 4 3,18 4,04 5 3,25 4,13 tabla de Duncan de los rangos significativos Comparación   Diferencia 4 Vs 1 11,8 > R5 4 Vs 5 10,8 R4 4 Vs 2 6,2 R3 4 Vs 3 4 R2 3 Vs 1 7,8 3 Vs 5 6,8 3 Vs 2 2,2 < 2 Vs 1 5,6 2 Vs 5 4,6 5 Vs 1 1 Dos pares de medias se consideran significativamente diferentes si Estadística III. H Lamos

51 Diseño y Análisis de ExperimentosDUNNETT: Se asume al tratamiento 5 como tratamiento control Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. Comparación Diferencia 1 Vs 5 -1 2 Vs 5 4,6 3 Vs 5 6,8 4 Vs 5 10,8 Estadística III. H Lamos

52 Contrastes OrtogonalesEstadística III. H Lamos

53 Estadística III. H LamosEjemplo 2. 2. Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un fármaco contra la hipertensión arterial, comparándola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningún tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el fármaco a una dosis determinada y al quinto el mismo fármaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistólicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son: Estadística III. H Lamos

54 Estadística III. H LamosGrupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 180 172 163 158 147 173 170 146 152 175 167 160 143 182 162 171 155 181 Estadística III. H Lamos

55 Estadística III. H LamosGrupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 180 172 163 158 147 173 170 146 152 175 167 160 143 182 162 171 155 181 Y1. = 178.2 Y2. = 166.4 Y3. = 164.6 Y4. = 158 Y5. = 151.4 Estadística III. H Lamos

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57 Estadística III. H LamosFuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fₒ Tratamientos 4 502.66 11.24 Error 894.4 20 44.72 Total 24 Como F0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hipótesis nula y concluimos que los resultados de los tratamientos son diferentes. Estadística III. H Lamos

58 Estadística III. H LamosEjemplo 3 58 Estadística III. H Lamos

59 Estadística III. H LamosEjemplo 4 Consideremos que se lleva a cabo un experimento para comparar el tiempo que tardan tres marcas de portátiles HP, Dell, Toshiba en cargar un mismo sistema operativo. Se toma una muestra de cuatro portátiles de la marca HP,es decir, se mide el tiempo (en segundos) que tardan en cargar el sistema operativo cuatro portátiles de HP. De Dell se toman seis medidas y cinco de la Toshiba. La tabla siguiente registra los resultados del experimento: Estadística III. H Lamos

60 Estadística III. H LamosYi. HP 10.7 11.2 12.0 15.5 12.35 Dell 13.4 11.5 15.1 13.3 12.9 12.90 Toshiba 12.7 15.4 16.1 15.2 14.18 Estadística III. H Lamos

61 Diagrama de Cajas y BigotesEstadística III. H Lamos

62 Estadística III. H LamosH0: todas las medias son iguales: µ1 = µ2 = µ3 H1: no todas las medias son iguales La media de la muestra global seria: Estadístico de prueba Estadística III. H Lamos

63 Anova F0,05;2;12 = 3,89, Por lo tanto no rechazamos la hipótesis nula.Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fₒ Tratamientos 39.80 2 4.113 1.24 Error 8.226 12 3.32 Total 48.026 14 F0,05;2;12 = 3,89, Por lo tanto no rechazamos la hipótesis nula. Estadística III. H Lamos

64 One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta DLevel N Mean Grouping Planta A (control) 5 1,5680 A Planta D ,9160 Planta B ,7720 A Planta C ,5460 A Means not labeled with letter A are significantly different from control level mean. Dunnett's comparisons with a control Family error rate = 0,05 Individual error rate = 0,0196 Critical value = 2,59 Control = Planta A Intervals for treatment mean minus control mean Level Lower Center Upper Planta B -0, , , ( * ) Planta C -0, , , ( * ) Planta D 0, , , ( * ) -0, , , ,50 Grouping Information Using Tukey Method N Mean Grouping Planta D 5 1,9160 A Planta B 5 1,7720 A B Planta A 5 1, B Planta C 5 1, B Means that do not share a letter are significantly different. Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons Individual confidence level = 98,87% Planta A subtracted from: Lower Center Upper Planta B -0, , , ( * ) Planta C -0, , , ( * ) Planta D 0, , , ( * ) -0, , , ,35 Planta B subtracted from: Planta C -0, , , ( * ) Planta D -0, , , ( * ) Planta C subtracted from: Lower Center Upper Planta D 0, , , ( * ) Estadística III. H Lamos

65 One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta DGrouping Information Using Tukey Method N Mean Grouping Planta D 5 1,9160 A Planta B 5 1,7720 A B Planta A 5 1, B Planta C 5 1, B Means that do not share a letter are significantly different. Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons Individual confidence level = 98,87% Estadística III. H Lamos

66 One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta DPlanta A subtracted from: Lower Center Upper Planta B -0, , , ( * ) Planta C -0, , , ( * ) Planta D 0, , , ( * ) -0, , , ,35 Estadística III. H Lamos

67 One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta DPlanta B subtracted from: Lower Center Upper Planta C -0, , , ( * ) Planta D -0, , , ( * ) -0, , , ,35 Planta C subtracted from: Lower Center Upper Planta D 0, , , ( * ) Estadística III. H Lamos