1 Diseños Experimentales en la Optimización de Recursos
2 Metodología de Superficie de RespuestaEl objetivo de usar métodos de superficies de respuesta es el de optimizar un proceso. Suponga que tenemos un modelo con n factores Asumiendo que la respuesta de la superficie puede ser modelada por El valor esperado de la respuesta es: Esta es llamada la superficie de respuesta
3 Metodología de Superficie de RespuestaRend. Fósforo Nitrógeno
4 Metodología de Superficie de RespuestaSupuesto: La variación es la misma en todos los puntos.
5 Metodología de Superficie de RespuestaCuando es posible observar la respuesta sin variación entonces las técnicas de programación lineal son adecuadas para encontrar el optimo. En programación matemática, queremos encontrar el optimo en una función de n dimensiones usando un numero mínimo de cálculos en la función. Obviamente si pudiéramos calcular la función en un gran numero de punto en el espacio de decisiones posibles entonces podemos graficarla función y encontrar a ojo el optimo.
6 Metodología de Superficie de RespuestaSin embargo, si consideramos cada punto en el cual la función tiene que ser evaluada con un costo en tiempo entonces nos gustaría minimizar el costo total. Las gráficas a fuerza bruta serian muy costosas En MSR, tenemos que estimar la función de respuesta haciendo ensayos en cada punto de interés. Esto puede ser muy costoso Entonces queremos minimizar el costo en tiempo.
7 Algoritmo de la pendiente ascendenteUn método para encontrar óptimos en programación matemática es llamado el algoritmo de la pendiente ascendente. Bajo este algoritmo: Inicie en punto arbitrario. Calcule la función y su derivada en este punto. Busque en la dirección de la pendiente ascendente (derivada máxima) Continúe en esa dirección hasta que no se tiene ya incrementos.
8 Algoritmo de la pendiente ascendenteAlgunas veces la derivada no puede ser encontrada y debemos estimarla suponiendo un modelo lineal. Inicie en punto arbitrario. Calcule la función en este punto en puntos en un cuadrado, cubo o cualquier otra forma alrededor del punto. Mire en la dirección de la pendiente ascendente (diferencia máxima) Continúe en esa dirección hasta que no se tiene ya incrementos. Este es el enfoque usado suponiendo un modelo de superficie de respuesta de primer orden.
9 Programación CuadraticaSi hay curvatura en función, entonces el modelo local lineal no es apropiado. Un modelo cuadrático se asume que puede aproximar localmente a la función Para usar un cuadrático, se tienen que calcular mas puntos. Esos puntos extras se llaman puntos estrella. Este es el enfoque asumiendo MSR de segundo orden.
10 Programación CuadraturaLos puntos estrella deben ser elegidos cuidadosamente para que la forma sea rotable. Esto significa que la desviación estándar de la respuesta es constante en todos los puntos que tienen la misma distancia del centro. 2 factores 3 factores
11 ANOVA con dos Factores El modelo lineal con dos factores e interacciónSeparando los componentes de varianza O
12 MSR con un factor El modelo de primer orden con un factor es:La respuesta media para dos factores con niveles i y j respectivamente es: Queremos minimizar el error cuadrado medio con respecto a los parámetros del modelo.
13 Error Total Abajo tenemos una gracia de los datos y la línea de regresión ajustada Los la suma de las diferencias al cuadrado entre las observaciones y la línea de regresión nos da el error total
14 Error de Falta de AjusteObserve la gráfica de los promedios en cada nivel del tratamiento y la línea de regresión ajustada. La suma de las diferencias al cuadrado entre los promedios a cada nivel y la línea de regresión nos da el error de falta de ajuste.
15 Error Puro Abajo tenemos una gráfica de las observaciones y los promedios a cada nivel del tratamiento. La suma total de las diferencias al cuadrado entre los promedios a cada nivel y las observaciones nos da el error puro. Este es el error que obtendríamos si usamos efectos fijos
16 Falta de Ajuste & Error PuroEl error de falta de ajuste nos dice que tan bien los estimadores de mínimos cuadrados ajusta un modelo de efectos fijos. El error puro nos dice cuanta variacion nos explican otros factores que omitimos en el estudio.
17 Ejemplo: Adesivo Sure StickEl experimento fue llevado acabo usando un diseño central compuesto con 3 factores Temperatura de Aplicacion Ensayo Aditivo Presion de aplicacion Fuerza de pegado 1 20 50 100 6.6 2 40 50 100 8 3 40 50 200 7.5 4 20 50 200 7 5 20 100 100 7.2 6 40 100 100 9 7 40 100 200 8.3 8 20 100 200 6 9 30 75 150 10 10 30 75 150 11.4 11 30 75 150 11.6 12 30 75 150 9.7 13 30 75 150 10.2 14 30 75 150 9.8 15 13.18 75 150 10 16 46.82 75 150 6 17 30 33 150 6.8 18 30 117 150 6.3 19 30 75 65.9 6.5 20 30 75 234.1 8.1
18 Ejemplo: Adesivo Sure Stick en Minitab...Estimated Regression Coefficients for fuerza Term Coef Stdev t-ratio p Constant Additive presion temp Additive*Additive presion*presion temp*temp s = R-sq = 67.8% R-sq(adj) = 52.9% Analysis of Variance for fuerza Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Linear Square Residual Error Lack-of-Fit Pure Error Total Unusual Observations for fuerza Obs. fuerza Fit Stdev.Fit Residual St.Resid R R R denotes an obs. with a large st. resid.
19 Normalidad
20 Ejemplo: Sure Stick Maximum Optimum Parameter Exponent ValueFunction at optimum 10.44
21 Ejemplo: Diseño central Compuesto con dos factoresX1 yX2 y respuesta Y. El diseño ha sido situado en dos bloques ortogonales a los efectos lineales y cuadraticos del modelo. bloque x1 x2 y Fuente: * Myers, Raymond H. (1976), "Response Surface Metho dology", Blacksburg, Virginia: Virginia Polytechnic Institute and State University, pp
22 Programa en SAS / Ordene por las var. Independientes para examinarDATA A; INPUT BLOCK X1 X2 Y; CARDS; ; /* / Ordene por las var. Independientes para examinar / Bondad de Ajuste. / */ PROC SORT; BY BLOCK X1 X2; / Analizar declarando BLOCK como covariable en lugar de / factor : PROC RSREG; MODEL Y = BLOCK X1 X2 / COVAR = 1 LACKFIT; RIDGE MAX; run;
23 SALIDA Response Mean 83.480000 Root MSE 1.745534 R-Square 0.9943Response Surface for Variable Y Response Mean Root MSE R-Square Coef. of Variation Degrees of Type I Sum Regression Freedom of Squares R-Square F-Ratio Prob > F Covariates Linear Quadratic Crossproduct Total Regress of Sum of Residual Freedom Squares Mean Square F-Ratio Prob > F Lack of Fit Pure Error Total Error
24 Degrees of Parameter Standard T for H0: Parameter Freedom Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEPT X X X1*X X2*X X2*X BLOCK Parameter Estimate from Coded Parameter Data INTERCEPT X Parameter Data X X1*X X2*X X2*X BLOCK
25 Factor Freedom Squares Mean Square F-Ratio Prob > F Degrees of Sum of Factor Freedom Squares Mean Square F-Ratio Prob > F X X Canonical Analysis of Response Surface (based on coded data) Critical Value Factor Coded Uncoded X X Predicted value at stationary point Canonical Analysis of Response Surface Eigenvectors Eigenvalues X X2 Stationary point is a maximum. Estimated Ridge of Maximum Response for Variable Y Coded Estimated Standard Uncoded Factor Values Radius Response Error X X2
26 Grafica de contorno:
27 Grafica de la superficie de respuestaEcuacion estimada