1 Distribución BinomialEstadística

2 La Distribución BinomialUna persona arroja 1 dado apostando con otro a que saca un Uno. La probabilidad de sacar el Uno es igual a:

3 La Distribución BinomialEs decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente.

4 La Distribución BinomialAhora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... unos?.

5 La Distribución Binomial0 Uno

6 La Distribución Binomial1 Uno Estadística

7 La Distribución Binomial2 unos Estadística

8 La Distribución Binomial3 unos Estadística

9 La Distribución Binomial4 unos Estadística

10 La Distribución Binomial5 unos Estadística

11 La Distribución Binomial¿Es tan probable sacar 1 ó 2 unos como sacar 5 unos?. A priori parecería que no. Estadística

12 La Distribución BinomialCuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernoulli. Estadística

13 La Distribución BinomialEn nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles: Un Uno Ningún Uno Estadística

14 La Distribución BinomialCada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y la probabilidad de obtener un Uno es: Estadística

15 La Distribución BinomialY la probabilidad de obtener cualquier otro resultado que no sea un Uno es: Estadística

16 La Distribución BinomialEntonces, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener 5 unos es: Estadística

17 La Distribución BinomialLa probabilidad de no tener ningún Uno (0 unos) también podemos calcularla, porque al arrojar un sólo dado, la probabilidad de que no salga un Uno es: Estadística

18 La Distribución BinomialY la probabilidad de no obtener ningún Uno en los 5 dados arrojados es: Estadística

19 La Distribución BinomialNos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...unos. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial. Estadística

20 La Distribución Binomial¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 Uno al arrojar 5 dados? Por ejemplo, una forma es que salga un Uno en el primer dado: Estadística

21 La Distribución BinomialLa probabilidad de sacar 1 Uno en el primer dado y no sacar Uno en los otros cuatro es: Probabilidad de sacar 1 Uno Probabilidad de no sacar Uno Estadística

22 La Distribución BinomialPero hay 5 formas diferentes de obtener 1 Uno en cinco dados arrojados: Estadística

23 La Distribución BinomialEstadística

24 La Distribución BinomialPor lo tanto, la probabilidad de sacar 1 Uno al arrojar 5 dados es: Probabilidad de sacar 1 Uno Nº de formas de sacar 1 Uno Probabilidades de no sacar Uno Estadística

25 La Distribución BinomialPara calcular la probabilidad de obtener 1 Uno en cinco dados arrojados debemos calcular: La probabilidad de que en cinco dados arrojados uno de ellos sea un Uno y los otros cuatro no sean Uno. El número de combinaciones diferentes en que se puede dar esa situación: un Uno en cinco dados. Estadística

26 La Distribución BinomialHemos visto como hacer lo primero: Cálculo de la Probabilidad de obtener 1 Uno al arrojar cinco dados Estadística

27 La Distribución BinomialY sabemos que hay cinco maneras diferentes de obtener un Uno en cinco dados arrojados: Nº de formas diferentes de obtener 1 Uno al arrojar cinco dados Estadística

28 La Distribución Binomial¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 Uno, 2 unos, etc. en cinco dados arrojados? Estadística

29 La Distribución BinomialLa respuesta la dan los números combinatorios: Estadística

30 La Distribución Binomialdonde son el factorial de m y de n respectivamente. Estadística

31 La Distribución BinomialLa expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de a n (agrupados de a n). Estadística

32 La Distribución BinomialPor ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC, ...etc., hacemos el cálculo siguiente: Estadística

33 La Distribución BinomialTotal de Letras ABCDE Todas las combinaciones agrupando de a tres ABC DBC EBC ADC AEC ABD ABE DEC DBE ADE Estadística

34 La Distribución BinomialSupongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto (Probabilidad 1-p de tener un fallo). Estadística

35 La Distribución BinomialEntonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es: Estadística

36 La Distribución BinomialEsta probabilidad es un término del binomio siguiente (Regla de Pascal): Estadística

37 La Distribución Binomialdonde porque en un ensayo de Bernouilli ambos eventos acierto/fallo se excluyen mutuamente, es decir, ocurre un acierto o un fallo, pero nunca ambos simultáneamente. Estadística

38 La Distribución BinomialLos términos de la suma son las probabilidades P(x), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria x, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.). Estadística

39 La Distribución BinomialAplicando la fórmula al caso de 5 dados: Estadística

40 La Distribución BinomialLa probabilidad de no sacar ningún Uno es: Estadística

41 La Distribución BinomialLa probabilidad de obtener 1 Uno: Estadística

42 La Distribución BinomialLa probabilidad de obtener 2 unos: Estadística

43 La Distribución BinomialLa probabilidad de obtener 3 unos: Estadística

44 La Distribución BinomialLa probabilidad de obtener 4 unos: Estadística

45 La Distribución BinomialY la probabilidad de obtener 5 unos: Estadística

46 La Distribución BinomialResumiendo en una tabla: Estadística

47 La Distribución Binomialx Estadística

48 La Distribución Binomial¿Cuál es el promedio de la variable aleatoria x ? Estadística

49 La Distribución BinomialLa media de la variable aleatoria Y es: Estadística

50 La Distribución BinomialLa varianza de Y es: Estadística

51 La Distribución BinomialY entonces la desviación standard resulta: Estadística

52 La Distribución BinomialEn la experiencia de arrojar 5 dados: Estadística

53 La Distribución Binomial¿Cómo interpretamos este resultado? Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 Uno que de sacar 2 o más unos. Estadística

54 La Distribución BinomialDe una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de unos que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83 Estadística

55 La Distribución BinomialLa varianza de Y resulta: Estadística

56 La Distribución BinomialY la desviación standard: Estadística

57 La Distribución BinomialVolvamos, ahora a nuestro apostador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más unos. Estadística

58 La Distribución Binomial¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar? Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (unos), es decir: Estadística

59 La Distribución BinomialProbabilidad de obtener 3 o más unos Estadística

60 La Distribución BinomialEstadística

61 La Distribución BinomialQuiere decir que la probabilidad de ganar es aproximadamente del 3,5 %. Estadística

62 Fin de la presentación