1 Distribución de PoissonSiméon Denis Poisson, ( ), francés, alumno de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des jugements...., un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía. La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.

2 Distribución de PoissonEsta distribución se emplea para describir sucesos discretos que ocurren con poca frecuencia en el tiempo o en el espacio; por ello a veces recibe el nombre de distribución de sucesos raros.

3 Poisson, usos “La probabilidad de obtener “X “ éxitos en un intervalo continuo” Se emplea para describir varios procesos: Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro El número de accidentes en un cruce El número de defectos en una tela por m2 El número de bacterias por cm2

4 Distribución de PoissonVariable aleatoria X: esta representa la cantidad de veces que ocurre un suceso de interés en un intervalo dado. Ya que X es una cuenta, puede tomar teóricamente cualquier valor entero entre 0 e infinito. Sea λ(lambda, letra griega) una constante que indica el número promedio de veces que acontece un suceso en un intervalo.

5 Distribución de PoissonSi la probabilidad de que X tome el valor de x es se dice que X tiene una distribución de Poisson con parámetroλ. e representa una constante con valor aproximado de , este es la base de los logaritmos naturales

6 Distribución de PoissonSucesos fundamentales: La probabilidad de que acontezca un suceso en un intervalo es proporcional a la amplitud del intervalo. En principio, teóricamente es posible que suceda un número infinito de eventos en un intervalo dado. No hay límite al número de ensayos. Los sucesos ocurren independientemente tanto en el mismo intervalo como entre intervalos consecutivos.

7 Distribución de PoissonUsos: describir la cantidad de ambulancias que se requieren en una ciudad en una noche particular, describir la cantidad de partículas emitidas por una cantidad específica de material radiactivo o describir el número de colonias de bacterias que crecen en una caja de Petri.

8 Distribución de PoissonEn una variable aleatoria binomial, la media es igual a np y su varianza es np(1-p). La propiedad de que la media sea igual a la varianza es una característica que identifica a la distribución de Poisson.

9 Distribución de PoissonEjemplo: Determinar la cantidad de personas de una población de que se involucra en un accidente vehicular cada año. El número de personas implicadas sería la siguiente la cual también es la varianza:

10 Distribución de PoissonLa probabilidad de que nadie en esta población tenga un accidente en un año en particular es La probabilidad de que exactamente una persona tenga como uno es de

11 Distribución de PoissonDe manera análoga, Debido a que los resultados de X son mutuamente excluyentes y exhaustivos

12 Distribución de PoissonTambién se puede conocer la probabilidad de Poisson con la siguiente tabla. λ Cantidad de sucesos

13 Distribución de PoissonPara valores específicos de x y λ, la entrada en la tabla representa

14 Distribución de PoissonEn una población de personas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de estas se involucren en un accidente vehicular en una año determinado?

15 Distribución de Poissonfijar x = 3 redondear 2.4 a 2.5 buscar la columna correspondiente λ = 2.5 aproximar la probabilidad a 0.214

16 Distribución de PoissonGrafica de la distribución de probabilidad X, la cantidad de individuos de la población involucrados en un accidente vehicular cada año El eje Y suma 1

17 Distribución de PoissonLa distribución de Poisson se encuentra pronunciadamente sesgada por valores pequeños de λ Conforme λ aumenta, la distribución se torna mas simétrica.

18 Distribución de Poisson como aproximación de una binomialSi n muy grande y p muy pequeño, es conveniente utilizar la distribución de Poisson, ya que se consigue una buena aproximación.

19 Aproximación de la distribución binomial por una de PoissonAlgunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, sobre todo si n (ensayos) es muy grande y p o q (éxito y fracaso) es muy pequeña, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como : n ≥ 30 np ó nq < 5 En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo: λ =np Ejemplo: Se sabe que 1% de los artículos de un gran embarque de transistores procedente de un proveedor son defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de 30 transistores, la probabilidad de que dos o más de ellos sean defectuosos. P (X ≥ 2 I n=30, p= 0.01) = P (X=2) + P (X=3) + …= = Si λ =np=30(0.01) = 0.3, la aproximación de Poisson del anterior valor de probabilidad es P (X ≥ 2 I λ = 0.3) = P (X=2) + P (X=3) + …= = Así la diferencia entre la aproximación de Poisson y el valor de probabilidad binomial real es de sólo