1 Dowodzenie twierdzeń Autor: Patryk Kostrzewski

2 Dowodzenie twierdzeń pozwala stwierdzić prawdziwość twierdzenia. W tym celu przeprowadza się rozumowanie zgodne z prawami logiki- tzw. dowód. W dowodzie wykorzystuje się założenia dowodzonego twierdzenia, wcześniej udowodnione twierdzenia oraz definicje.

3 Dowód Wprost Jest to dowód rozpoczynający się od założeń, następnie zostaje przeprowadzone wnioskowanie i dochodzi się do tezy twierdzenia. że, zatem Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność co kończy dowód., więc Przykład Założenie:, i Teza: Dowód (wprost): Z założenia wynika, Otrzymaliśmy zależność, czyli,

4 Dowód Nie Wprost Polega na zaprzeczeniu tezy dowodzonego twierdzenia i wykazaniu, że przyjęcie tego zaprzeczenia prowadzi do sprzeczności (np. z wcześniej udowodnionym twierdzeniem lub założeniem dowodzonego twierdzenia). Czyli dane twierdzenie jest prawdziwe. Założenie: i Teza:, i Dowód (nie wprost): Załóżmy, że. Ponieważ, zatem,więc Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem „kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną”. Oznacza to, że twierdzenie: jeśli, i, to, jest zdaniem prawdziwym.

5 Przykłady Założenie: ; Teza: Dowód (wprost): więc, czyli koniec dowodu Dowód (nie wprost): SPRZECZNOŚĆ Z TWIERDZENIEM -„kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną”. Zatem twierdzenie: jeśli, i, to ; jest zdaniem prawdziwym.

6 Udowodnij, że liczba 6 20 +3*6 19 -4*6 18 jest wielokrotnością liczby 5. Założenie: dana jest liczba Teza: Koniec dowodu