1 dr hab. Ewa Popko pok. 231a www.if.pwr.wroc.pl/~popko e-mail:

2 Podręczniki D.Halliday, R.Resnick, J.Walker; Podstawy Fizyki tom 1 i 2W.I Sawieliew; Wykłady z Fizyki tom I H.D. Young, R.A. Freedman; University Physics, K.Jezierski, B.Kołodka, K.Sierański; Wzory i Prawa z Objaśnieniami, część I K.Jezierski, B.Kołodka, K.Sierański; Zadania z Rozwiązaniami, część I

3

4 wielkości fizycznych :1.Modele matematyczne wielkości fizycznych :

5 2. Pomiar Jest to procedura przypisująca wielkość matematyczną wielkości fizycznej. Polega on na porównaniu pewnej wielkości z wielkością standardową.

6 3. Jednostki Układ jednostek SI: m, kg, s, mol femto- 10-15micro kilo mega pico mili giga nano centi

7 4. Skalary Wielkość skalarna podlega tym samym zasadom, co kombinacja liczb. Każdy skalar jest reprezentowany przez pewną liczbę 3 + 2 = 5

8 Czas - wielkość skalarna związana ze zmianami we wszechświecie.(W SI jedna sekunda jest zdefiniowana jako okres oscylacji określonej linii spektralnej atomu Cs133

9 Odległość - skalar związany ze względnym położeniem dwóch punktów.(W SI jeden metr jest zdefiniowany jako odległość jaką przebywa światło w próżni w czasie 1/299,792,458 sekundy) s  0

10

11 1026 1024 1021 1018 1016 1013 1011 108 104 100 10-3 10-6 10-9 10-10 10-12 10-15 10-18 10-35

12 Masa - skalar określający bezwładność ciała, czyli ‘opór' na zmianę ruchu. (W SI jeden kilogram = masie wzorca ze stopu platyny i irydu, przechowywanym w International Bureau of Weights and Measures w Sevres

13 Długość - skalar związany z rozmiarami obiektów

14 WEKTORY 1- geometrycznie: element zorientowany 2- algebraicznie:zbiór liczb Rn A = [A1, A2, A3] AB B = [B1, B2, B3] B A A AB = [A1+B1, A2+ B2, A3+ B3] A = [A1, A2, A3] Elementy zbioru V dla którego zdefiniowano 2 operacje: wewnętrzną  i zewnętrzną  (mnożenie przez liczbę), są zwane wektorami wszystkie osiem warunków jest spełnione:

15 Prawo łączności dodawaniajeśli a,b,c V to a  ( b  c ) = ( a  b)  c (AB)C A(BC) A(BC) BC AB B C A

16 Element zerowy Istnieje taki element 0 V że dla każdego a V, a  0 = a. 1 2 [A1,A2,A3] [0,0,0] = = [(A1+0), (A2+0), (A3+0)] = = [A1,A2,A3]

17 Element odwrotny Dla każdego aV istnieje (-a) V taki że a  (-a)=0 1A -A 2 [A1,A2,A3] [-A1,-A2,-A3] = = [A1+(-A1), A2+(-A2), A3+(- A3)] = = [0,0,0]

18 Prawo przemienności dodawaniajeśli a, b V to a  b = b  a 1 2 BA AB AB [A1,A2,A3][B1,B2,B3]= = [(A1+B1), (A2+B2), (A3+B3)] = = [(B1+A1), (B2+A2), (B3+A3)] = = [B1,B2,B3]  [A1,A2,A3] B A

19 Prawo łączności mnożeniajeśli   R i a V to   (   a ) = ()  a 1 2 A ([A1,A2,A3]) = = [(A1), (A2), (A3)]= = [(A1), (A2), (A3)]= =[()A1, ()A2, ()A3)]= =() [A1,A2,A3] A (A) (A) ()A)

20 Element jednostkowy Dla każdego a V, 1  a = a 1 2 1  [A1,A2,A3] = A

21 Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawaniajeśli R, a,b V to   (a  b) = (  a)  (  b) 1 2 (  A)(  B) (  B) ([A1,A2,A3][B1,B2,B3]) = =  [(A1+B1), (A2+B2), (A3+B3)] = = [(A1+B1), (A2+B2), (A3+B3)] = = [A1+B1, A2+B2, A3+B3] = = ([A1, A2, A3][B1, B2, B3])= = [A1,A2,A3] [B1,B2,B3] (AB) (AB) B (  A) A

22 Prawo rozdzielności dodawania względem mnożeniaif ,R, aV then (+)  a = (  a)  (  a) 1 (+)  a (  a)  (  a) (  a)  (  a) 2   A (+)[A1,A2,A3] = = [(+)A1,(+)A2,(+)A3] = = [(A1+A1),(A2+A2),(A3+A3)]= = [A1,A2,A3]  [A1,A2,A3] = = [A1,A2,A3]  [A1,A2,A3]   A A

23 Wielkości wektorowe Wielkość która spełnia ww. jest wielkością wektorową. Każda wielkość wektorowa może być reprezentowana przez wektor, ale nie może być reprezentowana przez liczbę.

24 Baza Najmniejszy zbiór wektorów {e1,… en}V nazywa się bazą przestrzeni wektorowej, wtedy i tylko wtedy gdy każdy wektor x może być reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów bazy: Wektor skladowy Moduł wektora składowego Wymiar przestrzeni = liczbie elementów bazy.

25 Element zorientowany  trójce liczb (Układ Kartezjański)Ax Ay Az z Az = Az k A A = (Ax  i)  (Ay  j)  (Az  k ) k Ay = Ay j y i j Ax = Ax i x

26 Iloczyn skalarny wielkości wektorowychIloczyn skalarny wielkości wektorowych definiuje się poprzez iloczyn skalarny wektorów je reprezentujących.

27 Iloczyn skalarny - geometrycznieb B  gdzie a i b są długościami wektorów a  jest kątem miedzy nimi A a Np: iloczyn skalarny dwóch wersorów prostopadłych;

28 Kąt między wektorami Kąt miedzy dwoma wektorami jest zdefiniowany przez iloczyn skalarny y  = 45 x np: Znajdź kąt między [2,0] and [1,1].

29 Iloczyn skalarny w Rn np: [1,-1,2] ○ [2,3,0] = 1·2 + (-1)·3 + 2·0 = -1

30 Długość wektora=moduł=wartość bezwzględnaJest to liczba zdefiniowana przez iloczyn skalarny: np: geometrycznie A a

31 Iloczyn skalarny - właściwościa ○ b = b ○ a (przemienność) (  a) ○ b =   (a ○ b) (łączność) (a  b) ○ c = (a ○ c) + (b ○ c) (rozdzielność) a ○ a  0; a ○ a = 0  a = 0

32 Rzut wektora Dla dowolnego wektora i wektora jednostk. , wektorJest zwany rzutem wektora na kierunek wektora np A a Ax = ( a cos ) Ax = ( a ·1· cos ) • i  x i Ax Ax

33 Twierdzenie Suma rzutów wektora we wszystkich kierunkach prostopadłych jest równa wektorowi. Rzuty stanowią składowe wektora

34 Składowe Np.: przestrzeń 2D Ax = A ○ i = = A  1  cos  = A cos  yAy A Ax = A cos   i Ay  Ay = A cos  = A sin   x Ay = A sin   j Ax Ax

35 Dodawanie wektorów

36 Iloczyn wektorowy C C = ABsin  A BIloczynem wektorowym A x B jest wektor C, którego moduł jest równy C = ABsin i który jest prostopadły do płaszczyzny na której leżą A i B. Zwrot wektora C określa reguła prawej dłoni ( śruby prawoskrętnej)  A B

37 Iloczyn wektorowy Można go obliczyć metodą wyznacznika:

38 Twierdzenia nieprzemienny Rozdzielność ze względu na dodawanieróżniczkowanie Użyteczna tożsamość

39 Transformacja wektora przy obrocie układu współrzędnych.Transormacja wektora