1 dr inż. Monika Lewandowska                          Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy obustronnie ogrzewanej promieniowaniem laserowym dr inż. Monika Lewandowska

2 Plan seminarium Cel pracy Sformułowanie zagadnieniaModel matematyczny zagadnienia Model w zmiennych wymiarowych Model w zmiennych bezwymiarowych Rozwiązanie modelu Transformacja Laplace’a Rozwiązanie w dziedzinie obrazu Rozwiązanie w dziedzinie oryginału Weryfikacja poprawności rozwiązania Przykładowe obliczenia i dyskusja wyników Podsumowanie i wnioski

3 Celem pracy było znalezienie niestacjonarnego pola temperatury Cel pracy Celem pracy było znalezienie niestacjonarnego pola temperatury w cienkiej warstwie ogrzewanej obustronnie promieniowaniem laserowym

4 Podstawowe założenia Badany ośrodek - cienka warstwa o grubości lStała temperatura początkowa T0 W chwili początkowej rozpoczyna się ogrzewanie obu powierzchni ośrodka Zagadnienie jednowymiarowe Izolowane brzegi Stałe parametry termofizyczne

5 Model matematyczny r - gęstość ośrodka [kg/m3]cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu [J/(kg K)] q – gęstość strumienia ciepła [W/(m2 K)] g – wydajność wewnętrznego źródła ciepła [W/m3] k – przewodność cieplna [W/(m K)] tk – czas relaksacji strumienia ciepła [s]

6 Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepłaModel matematyczny Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepła - dyfuzyjność cieplna ośrodka [m2/s] - prędkość propagacji fali termicznej [m/s] Model ogrzewania laserowego I(t) – intensywność padającego promieniowania laserowego [W/m2] R – współczynnik odbicia powierzchni metalu m – współczynnik pochłaniania metalu [m-1]

7 Warunki graniczne Warunki początkowe: Warunki brzegowe:

8 Zmienne bezwymiarowe

9 Model w postaci bezwymiarowejRównanie przewodzenia ciepła: Warunki graniczne: Model źródła ciepła:

10 Rozwiązanie zagadnienia metodą transformacji Laplace’aTransformata Laplace’a równania i warunków brzegowych

11 Rozwiązanie w dziedzinie obrazu

12 Rozwinięcie w szereg dwumianowy

13 Rozwiązanie w dziedzinie oryginału

14 Weryfikacja poprawności rozwiązaniaPorównanie wyników otrzymywanych na podstawie rozwiązania analitycznego z wynikami obliczeń numerycznych uzyskanych za pomocą algorytmu MacCormacka Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązania spełniają równanie bilansu energii dla całego ośrodka

15 Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego

16 Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego

17 Wyniki obliczeń dla źródła stałego

18 Wyniki obliczeń dla źródła stałego

19 Wyniki obliczeń dla źródła stałego

20 Podsumowanie i wnioskiOtrzymano rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy ogrzewanej obustronnie promieniowaniem laserowym Poprawność rozwiązania została zweryfikowana przez porównanie z wynikami obliczeń numerycznych oraz sprawdzenie bilansu energii dla całego ośrodka Wyniki porównano z wynikami obliczeń numerycznych z pracy Torii et al. Uzyskane przez nas przyrosty temperatury są wyższe od opisanych przez Torii et al. (szczególnie dla małych wartości b i L), a rozbieżności narastają dla dłuższych czasów. Świadczy to o zastosowaniu przez Torii et al. błędnego schematu różnicowego dla brzegów ośrodka.

21 Literatura M. Lewandowska: Hyperbolic heat conduction in the semi-infinite body with a time dependent laser heat source. Heat Mass Transfer 37 (2001) M. S. Torii, W-J Yang: Heat transfer mechanisms in thin film with laser heat source. Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005) M. Lewandowska, L. Malinowski: An analytical solution of the hyperbolic heat conduction equation for the case of a finite medium symmetrically heated on both sides. Int. Com. Heat Mass Transfer 33 (2006) 61-69