1 Ecuaciones diferenciales 1. Ecuaciones diferenciales de primer ordenObjetivo El alumno identificará las ecuaciones diferenciales como modelo matemático de fenómenos físicos y resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden

2 Ecuaciones diferenciales exactas y factor integranteDiferencial exacta Ecuación diferencial exacta, definición Método de solución Ejercicios Factor integrante, definición Factor integrante, cálculo

3 ¿Cuál es la solución de (A)?¿Cómo la encuentro? (A)

4 La solución de la ED es Es decir, es una solución implícita de la forma

5 El diferencial exacto (o total) de una función f(x,y) esPero f(x,y) = xy = c, entonces Ecuación (A)

6 (B) Entonces, si una ecuación diferencial escrita en la formaEs el diferencial exacto de una función f(x,y) = c, la solución de (B) en forma implícita es

7 (C) (D) Por ejemplo, el diferencial exacto de la funciónEstá dado por (derivando ambos lados), Rescribiendo, (D)

8 Entonces, la función (C) es la solución de la ecuación diferencial expresada en (D) Entonces, si una ED escrita en la forma es el diferencial exacto de alguna función f(x,y), su solución en forma implícita será f(x,y) = c

9 ¿Toda ED es el diferencialexacto de alguna función f(x,y)? ¿Cómo saber si una ED es el diferencial exacto de una función f(x,y)? ¿Cómo encontrar a f(x,y)?

10 y Ecuación diferencial exacta dondeSe dice que la ecuación diferencial Es exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Es decir, que existe una función f(x,y) tal que donde y

11 Teorema de Schwarz Sean M(x,y) y N(x,y) continuas y con derivadasparciales continuas en una región R del plano XY definida por a < x < b, c < y < d. Entonces la ecuación: es exacta en R sí y sólo sí

12 Método de solución Aplicar el teorema de ScwarzIntegrar M(x,y) con respecto a x, o N(x,y) con respecto a y para obtener a f(x,y) Se deriva parcialmente a f(x,y) con respecto a x o y, y se iguala con M(x,y) o N(x,y) para obtener a g’(x) o g’(y) Se integra g’(x) o g’(y) para obtener a g(x) o g(y) Se escribe la solución implícita como f(x,y) = c

13 Resolver: (1) (2) (3) (varios métodos)

14 Encuentre la función M(x,y) más generalque hace a la ED exacta

15 ¿Cuánto debe valer k para que la ED sea exacta?

16 Demuestre que toda ED de variables separableses exacta