1 Ekonometryczne modele nielinioweWykład 5 Progowe modele regresji

2 Literatura Hansen B. E. (1997) Inference in TAR Models, Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, 2. Tekst na stronie internetowej wykładu

3 Dodatkowa literatura Hansen B. E. (1996) Inference When a Nuisance Parameter Is Not Identified Under the Null Hypothesis, Econometrica 64, Hansen B. E. (2000) Sample Splitting and Threshold Estimation, Econometrica 68, s

4 Dodatkowa literatura Pruska K. (1996) Metody regresji przełącznikowej i ich zastosowanie, Wyd. UŁ, Łódź.

5 Model progowy Ogólna postać: parametry progowe

6 Model progowy W ustalonym reżimie r – model liniowy:

7 Model progowy Model z dwoma reżimami: w zapisie macierzowym: czyli

8 Estymacja Jeśli g znany: gdzie zawiera kolejne obserwacje zmiennych

9 Estymacja Jeśli g nieznany: Szacunek g :oszacowanie parametrów b modelu dla wartości przyjmujących kolejno każdą wartość ze zbioru G

10 Klasyfikacja reżimów Źródło: Hansen (1997)

11 Założenia i własności Zmienna progowa egzogenicznaWariancja składnika losowego stała między reżimami Estymator zgodny

12 Precyzja oszacowań Jeśli istnieją dwa reżimy, to dla b można wyliczać standardowe błędy szacunku (rozkłady szacunków parametrów b są asymptotycznie normalne) Dla g wyznacza się asymptotyczny przedział ufności

13 Przedział ufności dla gWyznaczamy statystykę LR: oszacowanie wariancji składnika losowego w modelu progowym dla nieznanego g oszacowanie wariancji dla modelu progowego, w którym wyznaczono

14 Przedział ufności dla gStatystyka LR może służyć do testowania hipotezy Niech zmienna losowa x ma dystrybuantę: Rozkład statystyki LR asymptotycznie dąży do rozkładu zmiennej losowej x

15 Przedział ufności dla gmożna wyznaczyć taką wartość krytyczną c(w), że zbiór jest asymptotycznym przedziałem ufności dla parametru g przy poziomie istotności równym w. Jeśli zbiór G(w) nie stanowi pojedynczego przedziału:

16 Przedział ufności dla gŹródło: Hansen (1997)

17 Przedziały ufności Konserwatywne przedziały ufności dla b:dla różnych wartości g wybranych z pewnego przedziału G(w*) budowane są przedziały ufności z poziomem istotności w dla poszczególnych parametrów b. najmniejsze i największe elementy dla każdego parametru w wektorze b w* - dodatkowy parametr, wpływający na „poziom konserwatyzmu” (najlepiej 0,8 – Hansen [1997])

18 Testowanie liczby reżimówModel progowy czy model liniowy? H0: H1: Jeśli znana wartość parametru g, to można stosować statystyki F, Walda, LR, LM – mają standardowe rozkłady (por. wykład 2)

19 Testowanie liczby reżimówJeśli nieznana wartość parametru g : szacunek wariancji składnika losowego w oszacowanym modelu progowym szacunek wariancji składnika losowego w oszacowanym modelu liniowym

20 Testowanie liczby reżimówStatystyka F nie ma standardowego rozkładu Niech zbiór G* stanowi podzbiór zbioru G z którego usunięto m elementów (np. 15%) o największych wartościach i m elementów o najmniejszych wartościach najmniejsza  wartość F(g) największa.

21 Testowanie liczby reżimówProcedura „bootstrap”: Losowane N niezależnych liczb ut z rozkładu N(0,1) oraz zdefiniowany wektor obserwacji zmiennej objaśnianej z tych liczb. Szacowane są parametry b i g modelu Ocena wariancji składnika losowego Statystyka

22 Testowanie liczby reżimówProcedura „bootstrap” (c.d.): Wielokrotnie (na przykład 1000 razy) powtarzane kroki od 1 do 3. Empiryczny rozkład - przybliżenie asymptotycznego rozkładu statystyki Obliczony empiryczny poziom istotności statystyki Podobnie można stosować testy LM, LR

23 Testowanie liczby reżimówGdy składnik losowy heteroskedastyczny: S(g) - na głównej przekątnej kolejne kwadraty reszt, a poza nią 0. zastąpienie ut przez (t=1, ..., N) w wektorze y* (et – reszty)

24 Przykład Progowy model kursu walutowego Model liniowy

25 Wybór zmiennej progowejMożna też stosować kryterium informacyjne

26 Wyniki oszacowań i testów

27 Wyniki oszacowań i testów

28 Dodatkowe statystyki

29 Wyniki oszacowań i testów

30 Wyniki oszacowań i testów