1 El efecto Hall cuántico entero(von Klitzing, Dorda y Pepper (1980)) Gas de electrones bidimensional Baja concentración de impurezas Campo magnético perpendicular fuerte

2 Resistividad Hall

3 El efecto Hall cuántico (entero)Resistencia Hall

4 Inciso 1: magnetismo del gas de electrones libresParamagnetismo de Pauli Diamagnetismo de Landau

5 Caso H = 0 kF Esfera de Fermi N(e) eF e Density of states 2D

6 Caso Hamiltoniano vector potential spinless electronsElección de gauge: gauge de Landau gauge simétrico Con cualquiera de los dos:

7 Gauge de Landau. Niveles LandauElección de gauge adecuada a la geometría: (experimento real)

8 Gauge de Landau. Niveles LandauQuantum harmonic oscillator longitud

9 Inciso 2: el oscilador armónico cuánticoQuantum harmonic oscillator posición de equilibrio

10 Niveles Landau longitud Quantum harmonic oscillator Landau levels

11 Niveles Landau N(e) Density of states 2D (por spin) eF e N(e) eperpendicular e Landau levels

12 Niveles Landau Si el número total de estados no cambiaLa degeneración de cada estado Landau debe ser muy grande N(e) Density of states 2D eF N(e) e perpendicular e Degeneración de cada estado Landau:

13 Niveles Landau En efecto, la degeneración:número de valores permitidos de k Condiciones de contorno de Born-von Karman: El sistema está confinado en la dirección y: O.K.

14 Degeneración de los niveles Landaufilling factor Interpretación cuasi-clásica Interpretación cuántica flujo magnético total cuanto de flujo magnético

15 !! Cuantización de la resistencia Hall¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado? !!

16 !! Cuantización de la resistencia Hall¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado? !! En general si el factor de llenado es un número entero (un número entero de niveles Landau ocupados) ¿Esto explica los resultados experimentales ?

17 La condición para n = 1,2,3,.. ¿Explica la curva experimental? ¿Explica los plateaus en rxy? ¿Explica el comportamiento de rxx? rxy H

18 Quantum versus classicalrxy H

19 Efecto de las impurezasN(e) e eF

20 Efecto de las impurezasResolviendo la ecuación de Schrödinger con una distribución “random” de impurezas: transport current no current

21 e eF e eF e eF

22 Cuantización de la resistencia HallHow to control experimentally the filling factor n ? Variando el campo magnético externo H Variando la densidad electrónica mediante la aplicación de un potencial de compuerta (gate voltage) al gas bidimensional

23 Variación de n mediante un potencial de gateSiO2 5000 A Silicon MOSFET (Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor) conduction band p-Si energy gap eF eF oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo valence band Al situación de equilibrio

24 Variación de n mediante un potencial de gatep-Si SiO2 valence band conduction band eVG energy gap 2D electron gas (inversion layer) gate eF

25 Metrology Resistance standard since 1990 precisionFine structure constant uncertainty Unit of resistance

26 El efecto Hall cuántico fraccionarioD. C. Tsui, H. L. Störmer & A. C. Gossard (1982) (experimento) R. Laughlin (1983) (teoría) Resistencia Hall

27 El efecto Hall cuántico fraccionarioR. Laughlin (1983) Resistencia Hall Excitaciones de carga fraccionaria (quasiparticles)

28 El efecto Hall cuántico fraccionarioDetección experimental de la carga Shot noise measurements (W. Schottky 1918) carriers charge En un experimento Hall con n =1/3

29 Sistemas cuasi-unidimensionalesQuantum point contacts (QPC) Atomic contacts V

30 Cuantización de la conductanciaQuantum point contacts (QPC)

31 Contactos atómicos: cuantización de la conductanciaAu MCB, 4 K Pt MCB, 4 K Histograma de Au STM, 300 K

32 Sistemas cero-dimensionales ?Puntos cuánticos Efectos muy fuertes de interacción electrón-electrón Coulomb blockade effects