1 El sentido de los símbolos          El sentido de los símbolos Abraham Arcavi Departamento de Enseñanza de las Ciencias Instituto Científico Weizmann Rehovot – Israel Noviembre 2008

2 Sentido, ¿en qué sentido?          Sentido, ¿en qué sentido?

3 El sentido de los números

4 El sentido de los númerosHabilidad de entender y utilizar los números tanto en un contexto puramente matemático como en su relación con el mundo que nos rodea.

5 “3/5 de un número es 12, ¿cuál es el número? Explica tu respuesta.Para evaluar si sus alumnos sabían como encontrar un todo dada una parte, Eva les dio a sus alumnos la siguiente pregunta: “3/5 de un número es 12, ¿cuál es el número? Explica tu respuesta. Ron escribió: “12 * 2 = 24, 24:6=4, 24-4=20”. - Es correcto? - Si Ron fuera tu alumno, ¿cómo lo evaluarías? Adaptado de Even, R., & Wallach, T. (2004). Between student observation and student assessment: A critical reflection. Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 4(4), 483–495.

6 130 3.25 130 6.50 130 13 =10 130 3.25 =40

7

8

9

10 BELGICA 30,528 km2 ISLANDIA 103,000 km2 10,160,800 habitantes 267,000 habitantes 333 hab/ km2 2.6 hab/ km2

11 55 persones per visita ~1’ per persone? 50’

12 55 x 85 50 x 90 60 x 80 = 4500 = 4800

13 El sentido de los números - HabilidadesModificar una operación para facilitar su cálculo Estimar resultados/órdenes de magnitud Relacionar operaciones y entender su esencia Buscar, comprender, relacionar, crear representaciones distintas de fenómenos númericos Entender datos en contexto Ser crítico con los datos

14 ¿El sentido de los símbolos?

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17 2 5 S = 6 S = 15 5 4 13 4 6 2 S = 10

18 7 8 + 42

19 1.1a x 0.9b = 0.99ab

20 Equivalencia de expresión ≠ Equivalencia de sentidoLa media aritmética de dos números

21 Equivalencia de expresión ≠ Equivalencia de sentidoTomar un número impar cualquiera, elevarlo al cuadrado y luego restarle 1. ¿Qué se puede concluir acerca de los números obtenidos?

22 Elección de representaciones simbólicas apropriadasTomar un número impar cualquiera, elevarlo al cuadrado y luego restarle 1. ¿Qué se puede concluir acerca de los números obtenidos?

23 Revisión de los símbolos, “desmodelización”5n – (n-2)

24 Habilidad de construir una expresion simbolica que responda a ciertos criteriosGreen Globs

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28 Obsérvese que a veces el promedio de dos números es el mismo valor que (el valor positivo de) su diferencia (por ejemplo, el promedio de 10 y 30 es 20, y =20, pero el promedio de 10 y 16 es 13, pero ≠13). Explore para cuales pares de números, su promedio es el mismo que su diferencia (positiva).

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30 Ecuación de una circunferenciaque pasa por los puntos (a,b), (-a,b) y (0,0) (x2-4)/(d-2)

31 Mostrar que si a + b + c =  y a – b + c = -1 ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.

32 Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”Mostrar que si a + b + c =  y a – b + c = -1 ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.

33 Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”Mostrar que si a + b + c =  y a – b + c = -1 ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas. f(x) = ax2 + bx +c

34 Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”Mostrar que si a + b + c =  y a – b + c = -1 ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas. f f f(x) = ax2 + bx +c

35 Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”Mostrar que si a + b + c =  y a – b + c = -1 ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas. f f f(x) = ax2 + bx +c

36 Sentido de los símbolosAmistad con los símbolos Capacidad “manipulativa” “Lectura a través” de los símbolos Capacidad de diseňo de expresiones simbólicas Equivalencia de expresión ≠ Equivalencia de sentido Elección de representaciones simbólicas apropriadas Revisión de los símbolos, “desmodelización” Capacidad de distinguir distintos roles

37 ¿Capacidad innata ó adquirida?

38 Dada la función f(x)=1/xDada la función f(x)=1/x. P es un punto en el gráfico de la función (en el primer cuadrante). La recta tangente al gráfico en P crea, con los ejes cartesianos, un triángulo rectángulo. ¿Cuales deben ser las coordenadas de P, para que la hipotenusa de ese triángulo tenga longitud mínima/máxima?

39 IA – Proceso de solución: - Trazado del gráfico P(x0,1/x0) IA – Proceso de solución: - Trazado del gráfico Cálculo de la derivada de f(x), f ’(x)= -1/x2 Formación de la ecuación de la tangente y-y0=(-1/x02)(x-x0) Cálculo de las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes (2x0, 0) and (0, 2/x0) - Formación de la función longitud - Se pregunta: max o min?

40 “Tengo un amigo que siempre hace eso [juega con el problema para encontrarle algún sentido], después de tal esfuerzo, en general no tiene ni tiempo ni energías para embarcarse en una solución simbólica, no se le reconoce lo que pudo haber hecho, y fracasa en los exámenes. Si no tengo necesidad, yo me ocupo solamente de los símbolos, que es lo que la maestra y el exámen quieren.” Efectos de prácticas muy arraigadas

41 ¿Qué conocimientos presupone?

42 Ser competente en álgebraTransición flexible y oportuna entre acciones automatizadas atención a los significados Posponer los significados y preferir un procedimiento rápido y eficaz Interrumpir un procedimiento para conectar ideas y crear significados

43 ¿Qué subyace bajo esa flexibilidad?Una gran dificultad: Si el significado emerge con el uso, uno debería manipular símbolos para “sentirlos” y entenderlos, pero ¿cómo podemos usar algo sin entender su sentido? Este círculo vicioso puede ser una trampa para el aprendizaje, pero es al mismo tiempo, su motor principal

44 “… proceso, … , es como dos piernas que hacen posible el caminar hacia adelante gracias al hecho de que nunca están exactamente en el mismo lugar, y en un cierto momento, una de ellas está adelante de la otra.” Sfard, A “Symbolizing mathematical reality into being: How mathematical discourse and mathematical objects create each other”. In P. Cobb, K. E. Yackel & K. McClain (Eds.), Symbolizing and communicating: perspectives on Mathematical Discourse, Tools, and Instructional Design. Mahwah, NJ: Erlbaum, pp ).

45 Implicaciones Paciencia intelectual hacia la comprensión parcialSIGNIFICADOS AUSENCIA DE SIGNIFICADOS

46 Una breve (y ciertamente parcial) conclusión sobre implicaciones para la enseñanzaPrácticas de aula apropiadas para todos - sensibilidad hacia temas de significados simbólicos - alentar desarrollo de ideas (aún parciales) - hacer espacio para metacontenidos y reflexión - legitimar la búsqueda informal de significados formales - ejemplificar transiciones flexibles - apoyar el desarrollo de la paciencia intelectual y dar el ejemplo - cultivar un sentido del propósito Materiales de estudio