1 Elasticidad y plasticidad perfecta(84.08) Mecánica de Suelos y Geología FIUBA Geotecnia III (UNLP)

2 Elasticidad y plasticidad perfectaÍndice Elasticidad aplicada a geomateriales (Elementos de) Teoría de la plasticidad Ejemplo: El bloque friccionante El modelo de Mohr-Coulomb Criterios para la selección de parámetros materiales Elasticidad y plasticidad perfecta

3 Elasticidad lineal isotrópicaConcepto: un sólido tiene comportamiento elástico si luego de un ciclo de carga y descarga recupera su forma y no disipa energía en forma de trabajo de deformación La elasticidad lineal isotrópica se escribe como Tiene dos parámetros materiales: E, ν Elasticidad y plasticidad perfecta

4 Elasticidad lineal isotrópica, estados 2DDeformación plana Tensión plana Elasticidad y plasticidad perfecta

5 Restricciones a los parámetros elásticosEl trabajo de deformación debe ser una función definida positiva Elasticidad y plasticidad perfecta

6 Elasticidad aplicada a problemas geotécnicosCondiciones necesarias Las tensiones inducidas en el terreno son mucho menores a su resistencia (no hay plasticidad por corte) Los suelos están sobre-consolidados (no hay plasticidad por compresión) Elasticidad y plasticidad perfecta

7 Elasticidad y plasticidad perfectaÍndice Elasticidad aplicada a geomateriales (Elementos de) Teoría de la plasticidad Ejemplo: El bloque friccionante El modelo de Mohr-Coulomb Criterios para la selección de parámetros materiales Elasticidad y plasticidad perfecta

8 Elasticidad y plasticidad perfectaRelaciones que captura la teoría de plasticidad Elasticidad y plasticidad perfecta La curva tensión – deformación no puede definirse en la rama de ablandamiento

9 Modelos de comportamiento materialElasticidad lineal plasticidad perfecta σ 1 Elasticidad y plasticidad perfecta ε

10 Modelos de comportamiento materialElasticidad lineal plasticidad perfecta Elasticidad no lineal plasticidad con endurecimiento σ 1 Elasticidad y plasticidad perfecta 2 ε

11 Modelos de comportamiento materialElasticidad lineal plasticidad perfecta Elasticidad no lineal plasticidad con endurecimiento Viscoplasticidad (creep, consolidación secundaria) σ 1 Elasticidad y plasticidad perfecta 3 2 ε

12 Elementos de un modelo elastoplásticoVariables de estado Son las variables independientes del problema Cuando uno conoce el valor de las variables de estado, sabe exactamente en que estado está el material Elasticidad y plasticidad perfecta

13 Elasticidad y plasticidad perfectaVariables de estado Son las variables independientes del problema Durante los cálculos Variables de estado: varían (cambian) Parámetros materiales: son constantes (no cambian) Funciones de estado: funciones de pars y vars Las variables de estado mas usadas son Tensión (tradicionalmente, presión de confinamiento) Relación de vacíos Presión de preconsolidación Movilización de resistencia al corte Elasticidad y plasticidad perfecta

14 Elementos de un modelo elastoplásticoVariables de estado Cinemática de elastoplasticidad Es la hipótesis básica de la compatibilidad Esta simple fórmula implica que no hay deformaciones dependientes del tiempo Elasticidad y plasticidad perfecta

15 Elementos de un modelo elastoplásticoVariables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Permite calcular las tensiones conociendo sólo la parte elástica de las deformaciones Elasticidad y plasticidad perfecta

16 Elementos de un modelo elastoplásticoVariables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Permite establecer cuando se produce la plasticidad (la “falla”) del material Elasticidad y plasticidad perfecta

17 Superficie de fluencia: Cuando se produce plasticidadElasticidad y plasticidad perfecta

18 Elementos de un modelo elastoplásticoVariables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Regla de flujo Permite establecer que forma tendrán las deformaciones permanentes del material Elasticidad y plasticidad perfecta

19 Potencial plástico: Cómo se deforma el materialElasticidad y plasticidad perfecta

20 Elementos de un modelo elastoplásticoVariables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Regla de flujo Reglas de evolución Elasticidad y plasticidad perfecta

21 Elasticidad y plasticidad perfectaÍndice Elasticidad aplicada a geomateriales (Elementos de) Teoría de la plasticidad Ejemplo: El bloque friccionante El modelo de Mohr-Coulomb Criterios para la selección de parámetros materiales Elasticidad y plasticidad perfecta

22 Ejemplo: un bloque friccionalEste es un simple bloque ubicado en una superficie plana N T Elasticidad y plasticidad perfecta

23 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir la función de fluencia N T Elasticidad y plasticidad perfecta

24 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir la función de fluencia Aumente T hasta que el bloque se mueva N T Elasticidad y plasticidad perfecta

25 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir la función de fluencia Aumente T hasta que el bloque se mueva Verifique que T es la misma en todas direcciones N T Elasticidad y plasticidad perfecta

26 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir la función de fluencia Aumente T hasta que el bloque se mueva Verifique que T es la misma en todas direcciones Duplique N y verifique que T se duplica N T Elasticidad y plasticidad perfecta

27 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir la función de fluencia Aumente T hasta que el bloque se mueva Verifique que T es la misma en todas direcciones Duplique N y verifique que T se duplica Escriba la forma matemática N T Elasticidad y plasticidad perfecta

28 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir la función de fluencia Aumente T hasta que el bloque se mueva Verifique que T es la misma en todas direcciones Duplique N y verifique que T se duplica Escriba la forma matemática Elasticidad y plasticidad perfecta

29 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir el potencial plástico N T Elasticidad y plasticidad perfecta

30 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir el potencial plástico Verifique que el bloque se mueve para donde apunta T N T Elasticidad y plasticidad perfecta

31 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir el potencial plástico Verifique que el bloque se mueve para donde apunta T Duplique N y repita Verifique que el valor de N no afecta la dirección de movimiento N T Elasticidad y plasticidad perfecta

32 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir el potencial plástico Verifique que el bloque se mueve para donde apunta T Duplique N y repita Verifique que el valor de N no afecta la dirección de movimiento Verifique que el bloque no se despega de la mesa N T Elasticidad y plasticidad perfecta

33 Ejemplo: un bloque friccionalPara medir el potencial plástico Verifique que el bloque se mueve para donde apunta T Duplique N y repita Verifique que el valor de N no afecta la dirección de movimiento Verifique que el bloque no se despega de la mesa N T Elasticidad y plasticidad perfecta

34 Ejemplo: el bloque sobre ruedasFunción de fluencia A veces rueda: T1 A veces derrapa: T2 El efecto de N es el mismo de antes N T Elasticidad y plasticidad perfecta

35 Ejemplo: el bloque sobre ruedasFunción de fluencia A veces rueda: T1 A veces derrapa: T2 El efecto de N es el mismo de antes Potencial plástico Cuando rueda se mueve en la dirección de las ruedas Cuando derrapa se mueve como antes N T Elasticidad y plasticidad perfecta

36 Ejemplo: el bloque sobre ruedasElasticidad y plasticidad perfecta F G

37 Elasticidad y plasticidad perfectaÍndice Elasticidad aplicada a geomateriales (Elementos de) Teoría de la plasticidad Ejemplo: El bloque friccionante El modelo de Mohr-Coulomb Criterios para la selección de parámetros materiales Elasticidad y plasticidad perfecta

38 El criterio de Mohr-CoulombParámetros: c, φ Criterio de fluencia En el plano de falla En tensiones principales El criterio de Mohr-Coulomb es la función de fluencia del modelo de Mohr-Coulomb Elasticidad y plasticidad perfecta

39 El modelo de Mohr-CoulombElasticidad lineal E, ν son constantes La rigidez no depende de la presión La descarga y recarga son elásticas Plasticidad perfecta Los parámetros (c, ϕ) son constantes σ c - Φ Elasticidad y plasticidad perfecta E, ν ε

40 El modelo de Mohr-CoulombCinemática de la elastoplasticidad Elasticidad y plasticidad perfecta

41 El modelo de Mohr-CoulombCinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Operador elástico constante (la única variable de estado es la tensión) Elasticidad y plasticidad perfecta

42 El modelo de Mohr-CoulombCinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia (¿cuando hay plasticidad?) Elasticidad y plasticidad perfecta

43 El modelo de Mohr-CoulombCinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia (¿cuando hay plasticidad?) Elasticidad y plasticidad perfecta

44 El modelo de Mohr-CoulombCinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Ley de flujo (¿hacia donde se deforma?) Elasticidad y plasticidad perfecta

45 El modelo de Mohr-Coulomb ResumenCinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Ley de flujo Noten la similitud formal entre F y G Elasticidad y plasticidad perfecta

46 Elasticidad y plasticidad perfectaÍndice Elasticidad aplicada a geomateriales (Elementos de) Teoría de la plasticidad Ejemplo: El bloque friccionante El modelo de Mohr-Coulomb Criterios para la selección de parámetros materiales Elasticidad y plasticidad perfecta

47 ¿Cuál es el propósito del modelo?La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema σ Elasticidad y plasticidad perfecta ε

48 ¿Cuál es el propósito del modelo?La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas σ Elasticidad y plasticidad perfecta Es = Ei ε

49 ¿Cuál es el propósito del modelo?cmax - Φmax La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas Zapatas σ Elasticidad y plasticidad perfecta Es < Ei ε

50 ¿Cuál es el propósito del modelo?La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas Zapatas Muros y tablestacas σ cr - Φmax Elasticidad y plasticidad perfecta Es << Ei ε

51 ¿Cuál es el propósito del modelo?La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas Zapatas Muros y tablestacas Taludes σ Φr Elasticidad y plasticidad perfecta ε

52 Elasticidad y plasticidad perfectaRangos de deformación Elasticidad y plasticidad perfecta “elástico” “endurecimiento” “falla” Tatsuoka 1991

53 Selección de parámetros para distintos rangos de deformaciónElasticidad y plasticidad perfecta “elástico” “endurecimiento” “falla” Aplicable, excesivo Tatsuoka 1991

54 Selección de parámetros para distintos rangos de deformaciónElasticidad y plasticidad perfecta “elástico” “endurecimiento” “falla” Aplicable, excesivo Poco aplicable Tatsuoka 1991

55 Selección de parámetros para distintos rangos de deformaciónElasticidad y plasticidad perfecta “elástico” “endurecimiento” “falla” Aplicable, excesivo Poco aplicable Aplicable Tatsuoka 1991

56 Elasticidad y plasticidad perfectaBibliografía Chen, W. y Mizuno, W. (1990) “Nonlinear analysis in soil mechanics”. Elsevier. Potts y Zdracovic. Finite element analysis in geotechnical engineering. Theldord. Potts et al. Guidelines for the use of advanced numerical analyses. COST Action C7. Telford. Powrie, W. (2006) “Soil Mechanics. Concepts and Applications”. 2ª Ed. Spon Press. USACE. Geotechnical analysis by the finite element method. Zienkiewicz et al. Computational geomechanics. Wiley. Elasticidad y plasticidad perfecta