1 Elementos de volumen Uno de los problemas típicos con que chocan los estudiantes de cursos De física es el del cálculo de cantidades asociadas a objetos extendidos. Este tipo de problema requiere del cálculo de elementos de volumen que en algunos casos que presentan simetria pueden ser expresados Convenientemente en sistemas de coordenadas ortogonales distintos al Cartesiano. Nuestro proposito es presentar dos casos de interes particular, las coordenadas cilindricas y las coordenas esfericas.

2 Coordenadas Cartesianas

3 Coordenadas Cilindricas

4 Coordenadas Cilindricas

5 Coordenadas Cilindricas

6 Coordenadas Esfericas

7 Coordenadas Esfericas

8 Coordenadas Esfericas

9 Coordenadas Esfericas

10 El elemento de volumen en coordenadas esféricasrsinqdf r z y dr rdq df f q q r rsinq El radio de un “meridiano” es x Recordando que la longitud de arco, s, se calcula por s = r a (donde a está en radianes) El volumen se puede calcular facilmente: dV = r2sinqdrdqdf

11 El elemento de volumen en coordenadas esféricas IIrsinqdf r z y dr rdq df f q x

12 Coordenadas Esfericas

13 Elemento Cilindrico Elemento Esferico