1 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni R3dr Małgorzata Pelczar

2 Plan wykładu Układ współrzędnych biegunowych Wektory Iloczyn skalarnyIloczyn wektorowy Iloczyn mieszany Równanie prostej Równanie płaszczyzny Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn

3 Układ współrzędnych biegunowychNa płaszczyźnie dana jest półprosta OS - zwana osią biegunową, punkt 0 nazywa się biegunem, wektor nazywa się wektorem wodzącym punktu P. P=(x,y) P=(r,) oś biegunowa x y 1 S Y 

4 Układ współrzędnych biegunowychKażdemu punktowi poza biegunem można przyporządkować jednoznacznie uporządkowaną parę r, , gdzie r - jest długością wektora , a  miarą kąta skierowanego od osi biegunowej do wektora wodzącego. Uporządkowaną parę (r,) nazywa się współrzędnymi biegunowymi punktu P, r jest to współrzędna radialna, a  jest to amplituda punktu P. Biegun 0 ma współrzędną r=0, a amplitudę <0,2).

5 Układ współrzędnych biegunowychJeżeli punkt P0 ma w kartezjańskim układzie współrzędnych współrzędne (x,y), a w układzie współrzędnych biegunowych współrzędne (r,) to przy założeniu, że oś biegunowa pokrywa się z nieujemną półosią OX zachodzą następujące zależności:

6 Wektory Wektorem w przestrzeni R3 nazywamy odcinek, który ma określoną długość i kierunek w przestrzeni trójwymiarowej. Wektor, który ma początek w punkcie A=(xA,yA,zA) oraz koniec w punkcie B=(xB,yB,zB) nazywamy wektorem AB i oznaczamy

7 Wektory Współrzędne wektora wyznaczamy ze wzoru:Wektory oznacza się również małymi literami ze strzałką nad literą, czyli , wtedy współrzędne wektorów oznacza się następująco:

8 Algebra wektorów w R3 Dane są wektory:Długość wektora a oznaczamy |a| i obliczamy ją ze wzoru: Cosinusy kierunkowe wektora a wynoszą gdzie x,y,z oznaczają odpowiednio miary kątów wektora a z osiami układu współrzędnych.

9 Algebra wektorów w R3 Iloczyn skalarny wektorów a i b jest to liczba postaci gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a i b. Mając dane współrzędne wektorów iloczyn skalarny wyznacza się ze wzoru

10 Algebra wektorów w R3 Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów a i b: Warunek równoległości wektorów a i b:

11 Algebra wektorów w R3 Iloczynem wektorowym nierównoległych wektorów a i b nazywamy wektor spełniający warunki: 1. 2. Współrzędne iloczynu wektorowego wyznacza się ze wzoru Iloczyn wektorowy wektorów równoległych wynosi 0.

12 Algebra wektorów w R3 Iloczynem mieszanym wektorów a, b i c nazywamy liczbę: która jest objętością równoległościanu rozpiętego na tych wektorach, a obliczamy ją ze wzoru Wektory równoległe do jednej płaszczyzny nazywamy komplanarnymi i spełniają one warunek:

13 Równanie płaszczyzny Równanie ogólne płaszczyzny  w R3:Ax+By+Cz+D=0, przy warunku A2+B2+C2>0 Równanie odcinkowe płaszczyzny  w R3:

14 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.Równanie płaszczyzny Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez punkt P0=(x0,y0,z0) i prostopadłej do wektora [A,B,C] ma postać: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty płaszczyzny P1=(x1,y1,z1), P2=(x2,y2,z2), P3=(x3,y3,z3) nie leżące na jednej prostej wyznacza się z równania:

15 Płaszczyzny w przestrzeni R3Warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn: Warunek równoległości dwóch płaszczyzn:

16 Płaszczyzna i punkt w przestrzeni R3Odległość d punktu P0=(x0,y0,z0) od płaszczyzny : Ax+By+Cz+D=0 wyznacza się ze wzoru:

17 Równanie prostej Niech dany będzie punkt P0=(x0,y0,z0) należący do prostej l oraz niezerowy wektor kierunkowy prostej l (równoległy do prostej l) wtedy równania prostej l mają postać: parametryczne dla tR: kanoniczne:

18 Równanie prostej Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty płaszczyzny P1=(x1,y1,z1), P2=(x2,y2,z2) wyznacza się z równania:

19 Proste w przestrzeni R3 Dwie proste l1 i l2 leżą w jednej płaszczyźnie (są komplanarne), jeżeli spełniony jest warunek: gdzie P1=(x1,y1,z1)l1, P2=(x2,y2,z2) l2, wektory a i b są wektorami kierunkowymi prostych l1 i l2.

20 Proste w przestrzeni R3 Odległość d dwóch prostych skośnych l1 i l2 wyznacza się ze wzoru: gdzie P1=(x1,y1,z1)l1, P2=(x2,y2,z2) l2, wektory a i b są wektorami kierunkowymi prostych l1 i l2.

21 Proste w przestrzeni R3 Odległość d punktu P1=(x1,y1,z1) od prostej l wyznacza się ze wzoru: gdzie P0=(x0,y0,z0)l, wektor a jest wektorem kierunkowym prostej l.

22 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni R3Prosta l przechodząca przez P0 o wektorze kierunkowym jest do płaszczyzny  o równaniu Ax+By+Cz+D=0 prostopadła, gdy równoległa, gdy

23 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni R3Punkt przebicia Pp płaszczyzny  przez prostą l wyznacza się ze wzoru: gdzie parametr t wyznacza się z równania: A(x0+tax)+B(y0+tay)+C(z0+taz)+D=0.

24 Dziękuję za uwagę