1 Elementy relatywistycznejMechanika Kwantowa V. Teoria spinu WYKŁAD 15 Elementy relatywistycznej mechaniki kwantowej

2 Plan wykładu semiklasyczny hamiltonian spinowy,równanie Kleina-Gordona, równanie Diraca dla cząstki swobodnej, oddziaływanie elektromagnetyczne cząstki Diraca.

3 Semiklasyczny hamiltonian spinowyHamiltonian cząstki o masie m i ładunku q (dodatnim) w polu magnetycznym o indukcji B ma postać: Przyjmując, że wektor A ma kierunek: czyli, że wektor B jest skierowany wzdłuż osi z możemy napisać hamiltonian oddziaływania (dla małych wartości B).

4 Semiklasyczny hamiltonian spinowy„Kształt” pola wektorowego A. Środek rysunku ma współrzędne (0,0).

5 Semiklasyczny hamiltonian spinowyHamiltonian (oddziaływania) przyjmie postać: gdzie: Rzut operatora momentu magnetycznego: Magneton Bohra:

6 Semiklasyczny hamiltonian spinowyPrzypomnienie wiadomości (Wykład 14) Zakładamy, że ze spinem jest związany operator momentu magnetycznego ms. Poprzez analogię do momentu orbitalnego możemy napisać: gdzie:

7 Semiklasyczny hamiltonian spinowyOperator S spinu ½ jest równy: gdzie macierze Pauliego:

8 Semiklasyczny hamiltonian spinowyPoprzez analogię do przypadku związanego z momentem orbitalnym możemy napisać: Dla ujemnego ładunku elektronu mamy: slajd 14

9 Równanie Kleina-GordonaRozważamy cząstkę swobodną Dla równania relatywistycznego mamy: Równanie to wykazuje asymetrię zmiennych przestrzennych i czasu.

10 Równanie Kleina-GordonaJeżeli zastosujemy kwadrat hamiltonianu: to po zamianie zmiennych możemy napisać symetryczne równanie (w bazie położeń), tzw. równanie Kleina-Gordona: Równanie to jest przydatne do opisu cząstek o zerowym spinie (ponieważ występująca w nim funkcja falowa jest funkcją skalarną).

11 Równanie Diraca Zakładamy, że wyrażenie relatywistyczne występujące w hamiltonianie można zapisać jako: Analiza powyższego równania prowadzi do wyrażeń: gdzie s oraz I są macierzami 2x2.

12 Równanie Diraca Otrzymujemy równanie Diraca: Wektor jest obiektem o czterech składowych. Jest to tzw. spinor Lorentza.

13 Oddziaływanie elektromagn. cząstki DiracaRozważamy oddziaływanie cząstki obdarzonej ładunkiem elektrycznym q (dodatnim) z polem elektromagnetycznym o potencjale Równanie Diraca przyjmie postać:

14 Oddziaływanie elektromagn. cząstki DiracaZakładając oraz rozwiązując równanie Diraca z dokładnością do otrzymamy (wyprowadzić): gdzie założono:  i  są spinorami o dwóch składowych; jest energią występującą w równaniu Schrödingera.

15 Oddziaływanie elektromagn. cząstki DiracaPowyższe równanie opisuje cząstki o spinie ½ oraz współczynniku g=2. Dla porównania (slajd nr 7): (semiklasycznie) (kwantowo) założono przez analogię wynik stosowanego modelu