1 ¿En qué intervalos la función crece (decrece.)?B C D E F G H

2 MONOTONIA DE UNA FUNCIÓNDEFINICIÓN: Una función f es creciente en un intervalo I, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I Es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I Nota: Una función que es creciente o decreciente en I se llama monótona en I.

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4 Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b):PRUEBA DE LAS FUNCIONES MONÓTONAS: Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b): a)si f’(x) > 0 x en (a; b), entonces f es creciente en [a; b] b)si f’(x) < 0 x en (a; b), entonces f es decreciente en [a; b].

5 COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LAS FUNCIONES

6 Criterio de la Primera Derivada para Extremos LocalesSi c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c entonces: Si f ’ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un valor máximo local en c. Si f ’ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un valor mínimo local en c. Si f ’ no cambia de signo en c, entonces f no tiene un valor extremo local en c.

7 Ejemplos

8 Ejemplos

9 Ejemplos

10 COMENTARIOS Es importante notar que en los puntos de extremos locales la derivada puede ser cero, no existir o ser infinita.

11 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA PUNTOS ESTACIONARIOSTEOREMA: Sea f una función derivable dos veces en (a-r,a+r) tal que a es un punto estacionario de f, f’(a)=0, entonces: Si f”(a)<0, en a hay un máximo local. Si f”(a)>0, en a hay un mínimo local. Si f”(a)=0 el criterio no decide.

12 EJEMPLO Determine los puntos de máximo y mínimo local de la función f cuya regla de correspondencia es :

13 NOTAS IMPORTANTES Es importante notar que este criterio sólo puede emplearse una vez que hemos confirmado que estamos en presencia de un punto estacionario. Note que cuando f ”(x) es nula en el punto estacionario, entonces puede ocurrir cualquier cosa.

14 CONCAVIDAD Sea f una función derivable en el intervalo (a,b).i) La función f se dice que es cóncava hacia arriba (convexa) si la curva y = f(x) se encuentra por encima de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b). ii) La función f se dice cóncava hacia abajo (cóncava) si la curva y = f(x) se encuentra por debajo de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b).

15 INTERVALOS DE CONCAVIDADSea y = f(x) dos veces diferenciable en un intervalo I. A) Si y” > 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba. B) Si y” < 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo.

16 Indicar los intervalos de concavidadB C D E F G H

17 EJEMPLOS Determine los intervalos de concavidad de las siguientes funciones:

18 PUNTOS DE INFLEXION Sea f una función continua en un intervalo I, y x=a un punto de su interior de modo que f tiene derivada finita o infinita en dicho punto. El punto (a,f(a)) de la gráfica y=f(x) se llama punto de inflexión si al pasar por dicho punto el sentido de la concavidad cambia.

19 EJEMPLOS Determine los puntos de inflexión de la gráfica de las funciones definidas como:

20 GRÁFICAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTESGraficar las siguientes funciones:

21 EJERCICIOS ADICIONALES