1 Epidemie w sieciach złożonychMirosław Król Wojciech Lechowicz
2 Przypomnienie Sieć: - w interpretacji fizycznej to zbiór wierzchołków (węzłów) połączonych krawędziami - w interpretacji matematycznej- graf o N wierzchołkach i E krawędziach, oznaczany symbolem: G(N,E) - podzbiór przestrzenny w zbiorze przestrzenno -czasowym , czyli systemie. Sieć prosta: - podzbiór przestrzenny systemu o nieograniczonych zasobach. Sieć złożona: - sieć, która w przeciwieństwie do sieci prostej jest podzbiorem przestrzennym systemu, który posiada ograniczone zasoby i nie znajduje się w równowadze termodynamicznej.
3 Z historii sieci ( i epidemii)W Europie przełomu XIII i XIVwieku bardzo popularna była instytucja wędrownych szkolarzy. Z instytucją tą rozpoczęli rozpoczęli walkę średniowieczni inkwizytorzy
4 Z historii sieci ( i epidemii)Bernard Gui, wielki inkwizytor przełomu XIII i XIVw., pierwszy dostrzegł, że aby skutecznie walczyć z wirusem herezji, należy przestać atakować wszystkich podejrzanych, a zająć się tropieniem najbardziej aktywnych węzłów (czyli najbardziej skutecznych szkolarzy) w sieci przenoszącej tego wirusa.
5 Z historii sieci ( i epidemii)Związek między działalnością inkwizycji, a współczesną teorią sieci dostrzegł Edwin Bendyk. Dodatkowo, w napisanej przez siebie książce zwrócił on uwagę na to, że większość zjawisk rozprzestrzeniania się, można modelować w taki sam sposób.
6 Modelowanie epidemii Pierwszy znany opis rozprzestrzeniania się epidemii oparty na równaniach różniczkowych został stworzony przez D.Bernoullego
7 Modelowanie epidemii Twórcami ponadczasowego modelu rozprzestrzeniania się epidemii, opartego na układzie równań różniczkowych byli Kermack i McKendrick. S --> I --> R gdzie: „-->”- przejście między stanami Zgodnie z modelem SIR przebieg choroby prowadzi do podziału rozważanej populacji na trzy grupy: S- podatnych (ang. Susceptible), czyli takich, którzy mogą zachorować I- zainfekowanych(ang. Infected), którzy chorują i roznoszą infekcje R- ozdrowiałych (ang. Recovered), którzy wyzdrowieli i nabyli odporność
8 Modelowanie epidemii S --> I --> SModel rozprzestrzeniania się epidemii SIR można uogólnić , np. do modelu: S --> I --> S W którym zakłada się istnienie tylko dwóch grup osobników zdrowych(S) i chorych(I). S --> I --> R --> S Który rozważa wpływ przejściowego okresu uodpornienia R na dynamikę rozprzestrzeniania się choroby. S --> E --> I --> R W którym sekwencję zmian stanów uzupełnia się dodatkowym stanem E, który reprezentuje osobników w utajonym stadium choroby.
9 Modelowanie epidemii Dzięki opisanym modelom można tworzyć układy równań różniczkowych, które opisują rozprzestrzenianie się epidemii w czasie. Przykładowo:
10 Kiedy wybucha epidemia?Sieci regularne
11 Kiedy wybucha epidemia?Sieci regularne Choroba ma szansę przybrać w populacji formę epidemii, jeśli tempo rozprzestrzeniania się patogenu jest większe od pewnej progowej wartości: Gdzie: (k)-gęstość sieci So- początkowa liczba zainfekowanych osobników
12 Kiedy wybucha epidemia?Sieci bezskalowe (np. sieci społeczne czy internet) Przeprowadzając podobne rozważania w przypadku sieci bezskalowych, można dojść do wniosku, że próg epidemii jest w nich równy: Gdzie: (k)-gęstość sieci
13 Jak zatrzymać epidemię?W sieciach bezskalowych epidemii nie można zatrzymać, posługując się tradycyjnymi metodami. W sieciach regularnych można to zrobić, gdyż poprzez np. Szczepienia Hospitalizację zarażonych Zwiększanie wydatków na służbę zdrowia Da się zmniejszać wartość parametru β,opisującego prawdopodobieństwo zachorowania i zwiększać wartość parametru γ reprezentującego prawdopodobieństwo wyzdrowienia we wzorze:
14 Jak zatrzymać epidemię?W sieciach bezskalowych, w których do wybuchu epidemii wystarcza ,by nosicielem wirusa był najbardziej aktywny osobnik (człowiek/zwierzę/komputer), jedynym skutecznym sposobem walki z epidemią jest sposób, o którym mówił Bernard Gui, czyli tropienie i eliminacja kluczowych węzłów (hubów)
15 Jak zatrzymać epidemię?Prawdopodobieństwo Ps(t) przeżycia wirusów w Internecie w funkcji czasu t, który upłynął od momentu ich powstania.
16 Podsumowanie