1 Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA SEPTIEMBRE 21 DE 2015 ALGEBRA LINEAL E-LEARNING Código: 208046

2 QUE ES UN VECTOR? FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Es un segmento de recta dirigido, que va del punto inicial P al punto final Q. Es una herramienta geométrica que se emplea para representar magnitudes físicas, definida por: – Magnitud (módulo o longitud) – Dirección (orientación) Pueden representarse como segmentos de recta dirigidos en el plano R, ∈ N.

3 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 CARACTERISTICAS DE LOS VECTORES R2 Esta compuesto por: Representación geométrica y cartesiana en R2

4 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 MAGNITUD DE UN VECTOR R2: Se denota po r p: con: v= (a,b) DIRECCIÓN DEL VECTOR (a,b): DIRECCIÓN DEL VECTOR (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semi- eje positivo de las x (abscisas).

5 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 EJEMPLOS

6 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 MAGNITUD Y ORIENTACION EN R3 vector a = (a,b,c) de R 3

7 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 EJEMPLO

8 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 OPERACIONES ENTRE VECTORES SUMA DE DOS VECTORES Dado 2 vectores La suma de 2 vectores AB y AC es un nuevo vector AD, Gráficamente puede obtenerse mediante la regla del paralelogramo. El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores. La suma posee las propiedades conmutativa y asociativa AB+ AC = AC+ AB

9 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 EJEMPLO Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b Solución

10 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 OPERACIONES ENTRE VECTORES RESTA DE DOS VECTORES La resta de 2 vectores AB y AC es igual a la e suma AB con el opuesto de AC, esto es AB-AC = AB + (- AC). Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores

11 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 OPERACIONES CON COORDENADAS

12 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEFINICION El producto escalar de a y b es un numero que resulta de multiplicar el modulo de cada uno de los vectores por el coseno del angulo que forman: donde  es el ángulo que forman los vectores 0    .

13 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 EJEMPLO Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces a. b

14 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 PRODUCTO VECTORIAL DEFINICION También llamado producto cruz o aspa, da como resultado un tercer vector Ortogonal a los dos anteriores cuyo Módulo es igual al producto de sus Módulos por el seno del ángulo comprendido

15 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Angulo entre vectores

16 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Angulo entre vectores

17 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Producto Escalar Sea u = (a,b,c) y v = (d,e,f), entonces el producto escalar de u y v, que se Se denota por u.v es: u.v = ad + be + cf

18 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Producto Vectorial

19 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Producto Vectorial

20 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Operaciones con matrices

21 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Operaciones con matrices

22 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Operaciones con matrices

23 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

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25 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

26 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

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28 EJEMPLO Calcule si existe por método Gauss.

29 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 Y después se lleva a cabo la reducción por renglones.

30 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

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33 EJEMPLO Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes.

34 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

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36 Determinantes Definición

37 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013 EJEMPLO

38 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

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42 EJEMPLO Encuentre el determinante de la siguiente matriz.

43 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

44 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

45 FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

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