1 Estacionalidad en las ventas de refri- geradoresFIGURA .4 1 800 Ventas de refrigeradores, (trimestrales). 1 600 Miles de unidades 1 400 1 200 1 000 800 78 79 Año EJEMPLO 9.6 Estacionalidad en las ventas de refri- geradores De los datos sobre las ventas de refrigeradores de la tabla 9.4 se obtienen los siguientes resulta- dos de la regresión: Yˆt = D1t D2t D3t D4t t = ( ) ( ) ( ) ( ) (9.7.2) R 2 = Nota: No se proporcionaron los errores estándar de los coeficientes estimados: cada uno de ellos es igual a , pues todas las variables dicótomas sólo toman el valor de 1 o de 0. Los coeficientes estimados α en (9.7.2) representan el promedio, o media, de las ventas de refrigeradores (en miles de unidades) en cada temporada (es decir, trimestre). Por tanto, el promedio de ventas de refrigeradores en el primer trimestre, en miles de unidades, es de casi 1 222, en el segundo trimestre fue de casi 1 468, las del tercer trimestre fueron de aproxi- madamente, y las del último trimestre fueron de casi TABLA 9.4 Ventas de refrigerado- res (miles) en Estados Unidos, de 1978 a 1985 (trimestrales) Fuente: Business Statistics and Survey of Current Business, Department of Commerce (varios números). REFRI 1 317 BIDU 252.6 D2 D3 D4 943 247.7 1 615 272.4 1 1 175 249.1 1 662 270.9 1 269 251.8 1 295 273.9 973 262.0 1 271 268.9 1 102 263.3 1 555 262.9 1 344 280.0 1 639 1 641 288.5 1 238 263.4 1 225 300.5 1 277 260.6 1 429 312.6 1 258 231.9 1 699 322.5 1 417 242.7 1 749 324.3 1 185 248.6 1 117 333.1 1 196 258.7 1 242 344.8 1 410 248.4 1 684 350.3 255.5 1 764 369.1 919 240.4 1 328 356.4 Nota: REFRI = ventas de refrigeradores, miles de unidades. BIDU = gasto en bienes duraderos, miles de millones de dólares de 1982. D2 = 1 en el segundo trimestre; 0 en otro caso. D3 = 1 en el tercer trimestre; 0 en otro caso. D4 = 1 en el cuarto trimestre; 0 en otro caso.

2 EJEMPLO 9.6 (continuación)A propósito, en vez de asignar una variable dicótoma a cada trimestre y suprimir el término del intercepto a fin de evitar la trampa de variable dicótoma, se puede asignar sólo tres variables dicótomas e incluir el término del intercepto. Suponga que consideramos el primer trimestre como referencia y asignamos variables dicótomas al segundo, tercero y cuarto. Lo anterior da los siguientes resultados de regresión (véase la tabla 9.4 para la organización de los datos): Yˆt = D2t D3t − D4t t = ( )* (2.8922)* (4.0974)* (−0.7322)** R 2 = (9.7.3) donde * indica valores p menores que 5%, y ** indica valores p mayores que 5%. Como consideramos el primer trimestre como punto de referencia, los coeficientes relacio- nados con las distintas variables dicótomas ahora son interceptos diferenciales que muestran en qué medida el valor promedio de Y en el trimestre que recibe un valor de 1 para la variable dicótoma difiere del trimestre que es punto de referencia. En otras palabras, los coeficientes de las variables estacionales indican el incremento o decremento estacional del valor promedio de Y en relación con la temporada base. Si se suman los distintos valores del intercepto diferen- cial al valor promedio de referencia de , se tendrá el valor promedio para los distintos trimestres. Al llevar a cabo lo anterior se reproducirá exactamente la ecuación (9.7.2), salvo errores de redondeo. Ahora apreciará el valor de considerar un trimestre como punto de referencia, pues (9.7.3) muestra que el valor promedio de Y para el cuarto trimestre no es estadísticamente distinto del valor promedio para el primer trimestre, porque el coeficiente de la variable dicótoma para el cuarto trimestre no es estadísticamente significativo. Por supuesto, la respuesta cambia según el trimestre con que se compare; no obstante, la conclusión general sigue siendo la misma. ¿Cómo obtener la serie de tiempo desestacionalizada de las ventas de los refrigeradores? Es fácil. Se estiman los valores Y a partir del modelo (9.7.2) [o (9.7.3)] para cada observación y se restan de los valores reales de Y; es decir, se obtiene (Yt −Yˆt ), que son sólo los residuos de la regresión (9.7.2), los cuales se presentan en la tabla A estos residuos es necesario sumarles la media de las series Y para obtener los valores pronosticados. ¿Qué representan estos residuos? Significan los componentes que quedan de la serie de tiempo de los refrigeradores, a saber, la tendencia, el ciclo y el componente aleatorio (pero tenga en cuenta la advertencia de la nota 15). Como los modelos (9.7.2) y (9.7.3) no contienen covariantes, ¿cambiaría la situación si se añade una regresora cuantitativa al modelo? Por la influencia del gasto en bienes duraderos sobre la demanda de refrigeradores, el modelo (9.7.3) se extenderá para incluir esta variable. Los datos para el gasto en bienes duraderos en miles de millones de dólares de 1982 ya se pro- porcionaron en la tabla 9.3. Ésta es la variable X (cuantitativa) del modelo. Los resultados de la regresión son los siguientes: Yˆt = D2t D3t − D4t Xt t = (2.5593)* (3.6951)* (4.9421)* (−1.3073)** (4.4496)* R 2 = (9.7.4) donde * indica valores p menores que 5% y ** indica valores p mayores que 5%. (continúa) 15 Desde luego, esto supone que la técnica de las variables dicótomas es adecuada para desestacionalizar una serie de tiempo, y que una serie de tiempo (ST) puede representarse como ST = s + c + t + u, donde s indica la estacionalidad, t la tendencia, c el ciclo y u el componente aleatorio. No obstante, si la serie de tiempo es de la forma ST = (s)(c)(t)(u), donde las cuatro componentes ingresan de manera multiplicativa, el método anterior para desestacionalizar resulta inapropiado, pues supone que los cuatro componentes de una serie de tiempo son aditivos. Sin embargo, diremos más al respecto en los capítulos sobre econometría de las series de tiempo.

3 *. . * . . EJEMPLO 9.6 (continuación) TABLA 9.5Regresión de las ventas de refrigeradores: valores reales, ajustados y residuales (ec ) Gráfica de residuos 1978-I Real 1 317 Ajustado Residual 94.875 . *. 1978-II 1 615 1978-III 1 662 92.250 * . 1978-IV 1 295 1979-I 1 271 48.875 * . 1979-II 1 555 87.500 1979-III 1 639 69.250 1979-IV 1 238 78.000 1980-I 1 277 54.875 1980-II 1 258 − 1980-III 1 417 − 1980-IV 1 185 25.000 * 1981-I 1 196 −26.125 1981-II 1981-III 1981-IV 1982-I 1982-II 1982-III 1982-IV 1983-I 1983-II 1983-III 1983-IV 1984-I 1984-II 1984-III 1984-IV 1985-I 1985-II 1985-III 1985-IV 1 410 1 417 919 943 1 175 1 269 973 1 102 1 344 1 641 1 225 1 429 1 699 1 749 1 117 1 242 1 684 1 764 1 328 −57.500 − − − − − − − − 71.250 65.000 −43.000 19.875 . * . . * . *. . * . . . . . * . .* . . * . . * . . . * . * . . − * * * . * . * * De nuevo, tenga en cuenta que consideramos como base al primer trimestre. Al igual que en (9.7.3), vea que los coeficientes de intercepto diferenciales para el segundo y tercer trimestres son estadísticamente diferentes de los del primer trimestre; pero los interceptos del cuarto y primer trimestres son estadísticamente iguales. El coeficiente de X (gasto en bienes duraderos), cercano a 2.77, indica que, si se permiten los efectos estacionales y el gasto en bienes duraderos se incrementa un dólar las ventas de refrigeradores aumentan en promedio cerca de 2.77 uni- dades; es decir, aproximadamente 3 unidades. Considere que los refrigeradores están dados en miles de unidades y X está en miles de millones de dólares (de 1982). Una pregunta interesante es: al igual que las ventas de refrigeradores muestran patrones es- tacionales, ¿el gasto en bienes duraderos también presenta patrones estacionales? ¿Cómo tomar en cuenta entonces la naturaleza estacional de X? Lo destacable respecto de (9.7.4) es que las variables dicótomas de ese modelo no sólo eliminan la estacionalidad en Y, sino que también la estacionalidad, si existe, en X. (Esto se deduce del teorema de Frisch-Waugh, muy conocido

4 9.8 Regresión lineal por segmentosEJEMPLO 9.6 (continuación) en estadística.)16 Por decirlo así, se matan (desestacionalizan) dos pájaros (dos series) con un tiro (la técnica de variable dicótoma). Si desea una prueba informal del enunciado anterior, sólo siga estos pasos: 1) Haga la re- gresión de Y sobre las variables dicótomas, como en (9.7.2) o (9.7.3), y guarde los residuos, por ejemplo S1; representan a la Y desestacionalizada. 2) Efectúe una regresión similar para X y obtenga los residuos de esta regresión, por ejemplo S2; tales residuos representan a la X des- estacionalizada. 3) Lleve a cabo la regresión de S1 sobre S2. Descubrirá que el coeficiente de la pendiente de esta regresión es precisamente el coeficiente de X de la regresión (9.7.4). 9.8 Regresión lineal por segmentos Para ilustrar una vez más el uso de las variables dicótomas, considere la figura 9.5, que muestra la forma como una compañía hipotética remunera a sus representantes de ventas. Las comisiones se pagan con base en las ventas de forma que, hasta un cierto nivel, meta o umbral, nivel X ∗, existe una estructura de comisiones (estocástica), mientras que por encima de ese nivel existe otra. (Nota: Además de las ventas, hay otros factores que afectan la comisión de las ventas. Su- ponga que estos otros factores están representados por el término de perturbación estocástico.) Más específicamente, se supone que la comisión de ventas aumenta linealmente con las ven- tas hasta el nivel del umbral X ∗, después del cual ésta también aumenta linealmente con las ventas pero a una tasa mayor. Por tanto, se tiene una regresión lineal por segmentos que consta de dos partes o segmentos lineales, a los cuales se les da el nombre de I y II en la figura 9.5, y la función de las comisiones cambia su pendiente en el valor del umbral. Dados los datos sobre comisiones, ventas y el valor del nivel del umbral X ∗, con la técnica de las variables dicótomas se estiman las diferentes pendientes de los dos segmentos de la regresión lineal por secciones que aparece en la figura 9.5. Procedemos de la siguiente manera: Yi = α1 + β1 Xi + β2( Xi − X ∗) Di + ui (9.8.1) FIGURA 9.5 Relación hipotética entre las comisiones de ventas y el volumen de ventas. (Nota: El intercepto en el eje Y denota una comisión mínima garantizada.) Y Comisión de ventas II I X (ventas) X*

5 X * donde Yi = comisión de ventasXi = volumen de ventas generado por el vendedor X ∗ = valor del umbral de las ventas, conocido también como nudo (conocido por antici- pado)17 D = 1 si Xi > X ∗ = 0 si Xi < X ∗ Si E(ui) = 0 vemos inmediatamente que E(Yi | Di = 0, Xi , X ∗) = α1 + β1 Xi el cual muestra la comisión de ventas promedio hasta el nivel objetivo X ∗ y (9.8.2) E(Yi | Di = 1, Xi , X ∗) = α1 − β2 X ∗ + (β1 + β2) Xi que muestra la comisión de ventas promedio más allá del nivel objetivo X ∗. (9.8.3) Así, β1 corresponde a la pendiente de la línea de regresión en el segmento I y β1 + β2 co- rresponde a la pendiente de la línea de regresión en el segmento II de la regresión lineal por segmentos de la figura 9.5. Es fácil probar la hipótesis de que no existe, en la regresión, una discontinuidad en el valor del umbral X ∗ al observar la significancia estadística del coeficiente de pendiente diferencial estimado βˆ2 (véase la figura 9.6). A propósito, la regresión lineal por segmentos que acabamos de exponer ejemplifica una clase más general de funciones conocidas como funciones “spline”.18 FIGURA 9.6 Parámetros de la regresión lineal por segmentos. Y Comisión de ventas β1 + β2 1 β1 1 α1 X * X (ventas) α1 – β 2 X*

6 Unidades de producciónEJEMPLO 9.7 Costo total en relación con la producción Como ejemplo de la aplicación de la regresión lineal por segmentos, considere los datos hipo- téticos de costo total-producción total presentados en la tabla 9.6. Se dice que el costo total puede cambiar su pendiente al alcanzar un nivel de producción de unidades. Si Y en (9.8.4) representa el costo total y X la producción total, obtenemos los siguientes resultados: Yˆi = − Xi (Xi − X *i )Di t = (−0.8245) (6.0669) (1.1447) R 2 = X * = 5 500 (9.8.4) Como muestran estos resultados, el costo marginal de producción es de cerca de 28 centavos de dólar por unidad, y aunque éste es de cerca de 37 centavos (28 + 9) para la producción por encima de unidades, la diferencia entre ambos no es estadísticamente significativa, pues la variable dicótoma no es significativa, por ejemplo, en el nivel de 5%. Para todos los fi- nes prácticos, entonces, podemos efectuar la regresión del costo total sobre la producción total al eliminar la variable dicótoma. TABLA 9.6 Datos hipotéticos sobre producción y costo total Costo total, dólares 256 Unidades de producción 1 000 414 2 000 634 3 000 778 4 000 1 003 5 000 1 839 6 000 2 081 7 000 2 423 8 000 2 734 9 000 2 914 10 000 9.9 Modelos de regresión con datos en panel Recuerde que en el capítulo 1 analizamos una serie de datos disponibles para el análisis empírico, como los transversales, las series de tiempo, los agrupados (una combinación de series de tiempo y datos transversales) y los datos en panel. La técnica de la variable dicótoma se extiende sin problemas a los datos agrupados y en panel. Como los datos en panel son cada vez más populares en el trabajo aplicado, analizaremos este tema con más detalle en el capítulo 16. 9.10 Algunos aspectos técnicos de la técnica con variables dicótomas Interpretación de variables dicótomas en regresiones semilogarítmicas En el capítulo 6 vimos los modelos log-lin, donde la regresada es logarítmica y las regresoras son lineales. En tales modelos, los coeficientes de las pendientes de las regresoras indican la semi- elasticidad, o el cambio porcentual en la regresada debido a una unidad de cambio en la regre-

7 Variables dicótomas y heteroscedasticidadsora: esto sólo se cumple si la regresora es cuantitativa. ¿Qué sucede si una regresora es una variable dicótoma? Para ser específicos, considere el siguiente modelo: ln Yi = β1 + β2 Di + ui (9.10.1) donde Y = tasa de salario por hora ($) y D = 1 para mujer y 0 para hombre. ¿Cómo interpretamos un modelo así? Si suponemos que E(ui) = 0 obtenemos: Función salario para trabajadores: E(ln Yi | Di = 0) = β1 Función salario para trabajadoras: E(ln Yi | Di = 1) = β1 + β2 (9.10.2) (9.10.3) Por tanto, el intercepto β1 proporciona el logaritmo de los ingresos medios por hora, y el coefi- ciente de la “pendiente”, la diferencia entre el logaritmo de los ingresos medios por hora entre hombres y mujeres. Lo anterior representa una forma más bien extraña de enunciar las cosas. Pero si tomamos el antilogaritmo de β1, lo que ahora tenemos no son los salarios medios por hora de los trabajadores, sino la mediana de los salarios. Como se sabe, media, mediana y moda son las tres medidas de tendencia central de una variable aleatoria. Y si tomamos el antilogaritmo de (β1 + β2), obtenemos la mediana de los salarios por hora de las trabajadoras. EJEMPLO 9.8 Logaritmo de sala- rios por hora en re- lación con el sexo Para ilustrar (9.10.1) empleamos los datos implícitos en el ejemplo 9.2. Los resultados de la regresión basada en 528 observaciones son los siguientes: ln Yi = − Di t = ( )* (−5.5048)* R 2 = (9.10.4) donde ∗ indica valores p que son prácticamente cero. Con el antilogaritmo de tenemos ($), que es la mediana de los ingresos por hora de los trabajadores, y si tomamos el antilogaritmo de [( − ) = ], ob- tenemos ($), que es la mediana de los ingresos por hora de las trabajadoras. Por tanto, la mediana de los ingresos por hora de las trabajadoras es menor por casi 21.94% en comparación con sus contrapartes masculinos [( − )/8.8136]. Vale la pena notar que es posible obtener la semielasticidad para una regresora dicótoma de manera directa, mediante el proceso propuesto por Halvorsen y Palmquist.19 Tome el antiloga- ritmo (base e) del coeficiente estimado de la variable dicótoma, reste 1 y multiplique la diferencia por 100. (Abordamos la lógica de este procedimiento en el apéndice 9.A.1.) En consecuencia, si tomamos el antilogaritmo de − obtendremos Al restar 1 de lo anterior tenemos −0.2163, y después de multiplicar esta cifra por 100, −21.63%, lo cual indica que la mediana del salario de una trabajadora (D = 1) es menor que la de su contraparte masculina por aproxi- madamente 21.63%, lo mismo que obtuvimos antes, salvo errores de redondeo. Variables dicótomas y heteroscedasticidad Examinemos de nuevo la regresión de ahorro-ingreso para Estados Unidos de 1970 a 1981 y a 1995, así como, en conjunto, de 1970 a Al probar la estabilidad estructural mediante la técnica de la variable dicótoma, supusimos que la varianza del error var (u1i) = var (u2i) = σ 2,

8 Variables dicótomas y autocorrelaciónes decir, que las varianzas del error en los dos periodos eran las mismas. También supusimos lo anterior para la prueba de Chow. Si tal supuesto no es válido —es decir, si las varianzas del error en los dos subperiodos son distintas— es muy probable que se hagan deducciones incorrectas. Así, primero debemos verificar la igualdad de las varianzas en el subperiodo, mediante técnicas estadísticas apropiadas. Aunque analizaremos con mayor profundidad este tema más adelante en el capítulo sobre heteroscedasticidad, en el capítulo 8 vimos que la prueba F puede utilizarse para este propósito.20 (Véase el análisis de la prueba de Chow en ese capítulo.) Como demostra- mos ahí, parece que la varianza del error para los dos periodos no es la misma. En consecuencia, los resultados de la prueba de Chow y la técnica de las variables dicótomas presentadas en este apartado tal vez no sean del todo confiables. Desde luego, el propósito aquí es ilustrar diversas técnicas para resolver el problema (por ejemplo, el problema de la estabilidad estructural). En alguna aplicación particular, tales técnicas quizá no resulten válidas. Pero lo anterior también sucede con la mayoría de las técnicas estadísticas. Por supuesto, hay que tomar las medidas co- rrectivas apropiadas a fin de resolver el problema, como más tarde se hará en el capítulo sobre heteroscedasticidad (no obstante, consulte el ejercicio 9.28). Variables dicótomas y autocorrelación Además de la homoscedasticidad, el modelo de regresión lineal clásico supone que el término de error en los modelos de regresión no está correlacionado. Pero, ¿qué sucede si esto no es así, sobre todo en los modelos que implican regresoras dicótomas? En vista de que analizaremos a profundidad el tema de la autocorrelación en el capítulo respectivo, diferiremos la respuesta hasta ese momento. ¿Qué sucede si la variable dependiente es dicótoma? Hasta ahora hemos considerado modelos en que la regresada es cuantitativa y las regresoras son cuantitativas o cualitativas o de ambos tipos. Pero existen situaciones en que la regresada también puede ser una variable cualitativa o dicótoma. Considere por ejemplo la decisión de un trabaja- dor de participar en la fuerza laboral. La decisión de participar es del tipo sí o no. Será sí, si la persona decide participar, y no, en cualquier otro caso. Por tanto, la variable participación en la fuerza laboral es una variable dicótoma. Desde luego, la decisión de participar en la fuerza laboral depende de diversos factores, como la tasa de salario inicial, la escolaridad y las condi- ciones del mercado laboral (como las mide la tasa de desempleo). ¿Todavía podemos utilizar los MCO para estimar los modelos de regresión en los que la regre- sada es dicótoma? Sí, mecánicamente es posible. Pero tales modelos presentan varios problemas estadísticos. Y como hay opciones para la estimación por MCO que no provocan tales inconve- nientes, veremos este tema en un capítulo posterior (véase el capítulo 15 sobre los modelos logit y probit). En ese capítulo también estudiaremos los modelos en los cuales la regresada tiene más de dos categorías; por ejemplo, la decisión de ir al trabajo en automóvil, autobús o metro; o la decisión de trabajar tiempo parcial, completo o no trabajar en absoluto. Tales modelos se conocen como modelos con variable dependiente policótomas, en contraste con los modelos con varia- bles dependientes dicótomas, en los que la variable dependiente tiene sólo dos categorías.

9 Temas para estudio posteriorEn la teoría se analizan diversos temas relativamente avanzados que tienen que ver con las varia- bles dicótomas, como 1) modelos de parámetros aleatorios o variables, 2) modelos de regre- sión cambiantes y 3) modelos de desequilibrio. En los modelos de regresión considerados en este texto se supone que los parámetros, las β, son desconocidos pero fijos. Los modelos de coeficientes aleatorios —de los cuales hay diversas versiones— suponen que las β también pueden ser aleatorias. El trabajo principal de referencia en esta área es el de Swamy.21 En el modelo de variable dicótoma que utiliza interceptos diferenciales al igual que pendientes diferenciales se supone implícitamente que se conoce el punto de ruptura. Por tanto, en el ejem- plo de ahorro-ingreso de 1970 a 1995 se dividió el lapso en y , los periodos anterior y posterior de la recesión, en la creencia de que la recesión de 1982 cambió la relación entre ahorro e ingreso. A veces no es sencillo señalar el momento de la ruptura. La técnica de mo- delos de regresión cambiantes maneja esta situación al permitir que el punto de ruptura sea en sí mismo una variable aleatoria y, mediante un proceso iterativo, determinar cuándo pudo acontecer realmente la ruptura. El trabajo original en esta área se atribuye a Goldfeld y Quandt.22 Se requieren técnicas especiales de estimación para lo que se conoce como situaciones de desequilibrio, es decir, situaciones en donde los mercados no son claros (la demanda no es igual a la oferta). El ejemplo clásico es el de la demanda y oferta de un commodity (bien no diferen- ciado). La demanda de un commodity es función de su precio y de otras variables, y su oferta es también función de su precio y de otras variables, algunas de las cuales son diferentes de las que forman parte de la función de demanda. Ahora, la cantidad en realidad comprada y vendida del commodity no necesariamente será igual a la que se obtiene al igualar la demanda a la oferta, lo que genera un desequilibrio. Para un análisis completo de modelos de desequilibrio, el lector puede consultar a Quandt.23 Ejemplo para concluir Para concluir este capítulo presentamos un ejemplo que ilustra algunos puntos. La tabla 9.7 pro- porciona datos sobre una muestra de 261 trabajadores en una ciudad industrial del sur de India en 1990. Las variables se definen como sigue: IS = ingreso por salario semanal en rupias Edad = edad en años Dsexo = 1 para trabajadores y 0 para trabajadoras DE2 = variable dicótoma que toma el valor de 1 para trabajadores con nivel de escolaridad hasta primaria DE3 = variable dicótoma que toma el valor de 1 para trabajadores con nivel de escolaridad hasta secundaria DE4 = variable dicótoma que toma el valor de 1 para trabajadores con nivel de escolaridad superior al nivel secundaria DPT = variable dicótoma que toma el valor de 1 para trabajadores con empleo permanente y 0 para eventuales

10 DSEXO TABLA 9.7 Indian wage Earners, 1990 IS EDAD DE2 DE3 DE4 DPT 12057 21 224 48 1 25 18 132 38 11 75 27 30 111 23 17 127 22 122 20 288 50 24 12 45 119 79 60 55 85.3 26 324 350 42 54 62 100 32 110 136 41 342 56 107 77.5 19 16 370 46 90 156 377 261 150 162 40 130 33 112 128 82 47.5 385 135 94.3 400 91.8 35 108 140 44 14 49.2 53.8 427 40.5 37 81 105 200 375 34 80 175 47 125 500 15 65 300 115 163 103 190 62.5 28 273 43 395 117 950 87.5 97 325 36 121 600 13 52 131

11 ln ISi = β1 + β2EDADi + β3Dsexo + β4DE2 + β5DE3 + β6DE4 + β7DPT + uiLa categoría de referencia es trabajadores sin educación primaria y con empleo eventual. El interés se centra en la relación entre salario semanal y edad, sexo, nivel de escolaridad y titulari- dad de empleo. Con este fin, estimamos el siguiente modelo de regresión: ln ISi = β1 + β2EDADi + β3Dsexo + β4DE2 + β5DE3 + β6DE4 + β7DPT + ui En la línea de la bibliografía de economía laboral, el logaritmo (natural) de los salarios se expresa como función de las variables explicativas. Como señalamos en el capítulo 6, la distribución del tamaño de las variables, como los salarios, tiende a ser asimétrica; las transformaciones logarít- micas de dichas variables reducen tanto la asimetría como la heteroscedasticidad. Con EViews6 obtenemos los siguientes resultados de regresión: Variable dependiente: Ln(IS) Método: Mínimos cuadrados Muestra: 1 261 Observaciones incluidas: 261 Coeficiente Error estándar Estadístico t Probabilidad C EDAD DSEXO DE2 DE3 DE4 DPT 0.0000 0.2490 0.0004 R cuadrada R cuadrada ajustada Error estándar de la regresión Suma de cuadrados residual Log verosimilitud Media de la variable dependiente Desviación estándar de la variable dependiente Criterio de información de Akaike Criterio de Schwarz Estadístico F Criterio de Hannan-Quinn Probabilidad (estadístico F) Estadístico de Durbin-Watson Estos resultados muestran que el logaritmo de los salarios se relaciona positivamente con la edad, nivel de escolaridad y permanencia en el empleo, pero negativamente con el sexo, lo que no es sorprendente. Aunque al parecer no existe diferencia práctica entre los salarios semanales de los trabajadores con educación primaria completa y sin terminar, los de los trabajadores con educa- ción secundaria son más altos, y mucho más los de los trabajadores con educación superior. Los coeficientes de las variables dicótomas deben interpretarse como valores diferenciales de la categoría de referencia. Así, el coeficiente de la variable DPT indica que los trabajadores con empleo permanente ganan, en promedio, más dinero que los trabajadores eventuales. Como vimos en el capítulo 6, en un modelo log-lineal (la variable dependiente en la forma logarítmica y las variables explicativas en la forma lineal), el coeficiente de la pendiente de una

12 DSEXO DSEXO*DE2 DSEXO*DE3 DSEXO*DE4variable explicativa representa semielasticidad, es decir, da el cambio relativo o porcentual en la variable dependiente por cada cambio unitario en el valor de la variable explicativa. Sin em- bargo, como se anotó en el texto, cuando la variable explicativa es dicótoma, hay que tener mucho cuidado. Aquí se debe tomar el antilogaritmo del coeficiente estimado de la variable dicótoma, restarle 1 y multiplicar el resultado por 100. Por consiguiente, para averiguar el cambio porcen- tual en el salario semanal de los trabajadores con empleo permanente en comparación con los eventuales, tomamos el antilogaritmo del coeficiente de DPT , restamos 1 y luego multi- plicamos la diferencia por 100. En el ejemplo en cuestión, esto resulta (e − 1) = ( — 1) = , o casi 75%. Se recomienda al lector calcular estos cambios porcentuales para las demás variables dicótomas del modelo. Los resultados muestran que el sexo y el nivel de escolaridad tienen efectos diferenciales en las percepciones semanales. ¿Es posible una interacción entre sexo y nivel de escolaridad? ¿Los trabajadores con nivel de escolaridad alto ganan mejores salarios semanales que las trabajadoras con el mismo nivel de escolaridad? Para examinar esta posibilidad extendemos la anterior regre- sión de salarios para añadir la interacción entre sexo y nivel de escolaridad. Los resultados de la regresión son los siguientes: Variable dependiente: Ln(IS) Método: Mínimos cuadrados Muestra: 1 261 Observaciones incluidas: 261 Coeficiente Error estándar Estadístico t Probabilidad C 0.0000 EDAD DSEXO DE2 0.4060 DE3 0.0009 DE4 0.0198 DSEXO*DE2 0.6765 DSEXO*DE3 0.1327 DSEXO*DE4 0.2396 DPT R cuadrada Media de la variable dependiente R cuadrada ajustada Desviación estándar de la Error estándar de la regresión variable dependiente Suma de cuadrados residual Criterio de información de Akaike Log verosimilitud Criterio de Schwarz Estadístico F Criterio de Hannan-Quinn Probabilidad (estadístico F) de Durbin-Watson Aunque las variables dicótomas de interacción revelan cierta interacción entre sexo y nivel de escolaridad, el efecto no es estadísticamente significativo, pues ningún coeficiente de interac- ción es estadísticamente significativo por sí solo.

13 DSEXO*DE2 DSEXO*DE3 DSEXO*DE4 DPTParte Uno Modelos de regresión uniecuacionales Es interesante notar que, si eliminamos las variables dicótomas de escolaridad pero conserva- mos las de interacción, obtenemos los siguientes resultados: Variable dependiente: LOG(IS) Método: Mínimos cuadrados Muestra: 1 261 Observaciones incluidas: 261 Coeficiente Error estándar Estadístico t Probabilidad C EDAD DSEXO DSEXO*DE2 DSEXO*DE3 DSEXO*DE4 DPT 0.0000 0.4397 0.0038 0.0050 R cuadrada R cuadrada ajustada Error estándar de la regresión Suma de cuadrados residual Log verosimilitud Media de la variable dependiente Desviación estándar de la variable dependiente Criterio de información de Akaike Criterio de Schwarz Estadístico F Criterio de Hannan-Quinn Probabilidad (estadístico F) Estadístico de Durbin-Watson Ahora parece que las variables dicótomas de escolaridad, por sí solas, no tienen efecto en el sa- lario semanal, pero introducidas en formato interactivo sí producen efectos. Como muestra este ejercicio, hay que tener cuidado con las variables dicótomas. Como ejercicio, el lector deberá averiguar si las variables dicótomas de escolaridad interactúan con DPT. Resumen y conclusiones Las variables dicótomas con valores de 1 y 0 (o sus transformaciones lineales) son un medio de introducir regresoras cualitativas en el análisis de regresión. Las variables dicótomas son un mecanismo de clasificación de datos, pues permiten dividir una muestra en diversos subgrupos con base en cualidades o atributos (sexo, estado civil, raza, religión, etc.) e implícitamente permiten efectuar regresiones individuales para cada subgrupo. Si hay diferencias en la respuesta de la variable regresada a la variación en las variables cuan- titativas en los diversos subgrupos, éstas se reflejarán en las diferencias en los interceptos o en los coeficientes de las pendientes, o en ambos, de las regresiones de los diversos subgrupos. Aunque es una herramienta versátil, la técnica de variable dicótoma debe manejarse con cui- dado. Primero, si la regresión contiene un término constante, el número de variables dicóto- mas debe ser menor que el número de clasificaciones de cada variable cualitativa. Segundo, el coeficiente que acompaña las variables dicótomas siempre debe interpretarse en relación con el grupo base o de referencia, es decir, con el grupo que adquiere el valor de cero. La base elegida depende del propósito de la investigación en curso. Finalmente, si un modelo tiene diversas variables cualitativas con diversas categorías, la introducción de las variables dicóto- mas puede consumir un gran número de grados de libertad. Por consiguiente, siempre se debe ponderar el número de variables dicótomas que se van a introducir respecto del número total de observaciones disponible para el análisis.

14 Capítulo 9 Modelos de regresión con variables dicótomas 305En este capítulo se consideraron sólo algunas de las diversas aplicaciones de la técnica de variables dicótomas: 1) comparación de dos (o más) regresiones, 2) desestacionalización de datos de series de tiempo, 3) variables dicótomas interactivas, 4) interpretación de las variables dicótomas en los modelos semilogarítmicos y 5) modelos de regresión lineal por segmentos. También recomendamos mucho tener precaución al utilizar las variables dicótomas en situa- ciones de heteroscedasticidad y autocorrelación. Pero, como estudiaremos estos temas con mucho detalle en capítulos subsecuentes, abordaremos esto a su debido tiempo. EJERCICIOS Preguntas Si cuenta con datos mensuales de distintos años, ¿cuántas variables dicótomas introducirá para probar las siguientes hipótesis?: Los 12 meses del año presentan patrones estacionales. Sólo febrero, abril, junio, agosto, octubre y diciembre presentan patrones estaciona- les. Considere los siguientes resultados de regresión (las razones t están entre paréntesis):* Yˆi = 1 286 X2i − 0.026X3i + 1.20X4i X5i t = (4.67) (3.70) (−3.80) (0.24) (0.08) −19.47X6i + 266.06X7i − X8i − X9i (−0.40) (6.94) (−3.04) (−6.14) R2 = 0.383 n = 1 543 donde Y = horas de trabajo anuales deseadas por la esposa, calculadas como horas norma- les de trabajo al año, más las semanas invertidas en buscar trabajo X2 = ingresos promedio reales por hora después de impuestos de la esposa X3 = ingresos anuales reales después de impuestos del esposo en el año anterior X4 = edad de la esposa en años X5 = años completos de escolaridad de la esposa X6 = variable de actitud; 1 si la entrevistada considera correcto que una mujer trabaje si así lo desea y su esposo está de acuerdo; 0 en cualquier otro caso X7 = variable de actitud; 1 si el esposo de la entrevistada favoreció que su esposa trabajara; 0 en cualquier otro caso X8 = número de hijos menores de 6 años X9 = número de hijos de 6 a 13 años ¿Los signos de los coeficientes de las diversas regresoras no dicótomas tienen algún sen- tido económico? Justifique su respuesta. ¿Cómo interpretaría las variables dicótomas X6 y X7? ¿Son estadísticamente significativas? Como la muestra es muy grande, tal vez se utilice la regla práctica “2 t ” para responder la última pregunta. ¿Por qué cree que, en este estudio, las variables edad y escolaridad no son factores signifi- cativos en la decisión de la mujer de participar en la fuerza laboral?

15 Tasa de puestos vacantes V, %Parte Uno Modelos de regresión uniecuacionales TABLA 9.8 Matriz de datos para la regresión del ejercicio 9.3 Fuente: Damodar Gujarati, “The Behaviour of Unemployment and Unfilled Vacancies: Great Bri- tain, ”, The Economic Journal, vol. 82, marzo de 1972, p. 202. Tasa de desempleo TD, % 1.915 1.876 1.842 1.750 1.648 1.450 1.393 1.322 1.260 1.171 1.182 1.221 1.340 1.411 1.600 1.780 1.941 2.178 2.067 1.942 1.764 1.532 1.455 1.409 1.296 Tasa de puestos vacantes V, % Tasa de desempleo TD, % Tasa de puestos vacantes V, % D DV 1.201 0.997 1.192 1.035 1.259 1.040 1.086 1.089 1.101 1.058 1.243 0.987 1.623 0.819 1 1.821 0.740 1.990 0.661 2.114 0.660 2.115 0.698 2.150 0.695 2.141 0.732 2.167 0.749 2.107 0.800 2.104 0.783 2.056 2.170 0.794 2.161 0.790 2.225 0.757 2.241 0.746 2.366 0.739 2.324 0.707 2.516* 0.583* 2.909* 0.524* Año y trimestre 1958–IV 1959–I –II –III –IV 1960–I 1961–I 1962–I 1963–I 1964–I Año y trimestre 1965–I –II –III –IV 1966–I 1967–I 1968–I 1969–I 1970–I 1971–I D DV *Estimados preliminares. 9.3. Considere los siguientes resultados de una regresión.* (Los datos reales se proporcionan en la tabla 9.8.) TDt = Dt − 1.5294Vt − (− ) 0.8511(DtVt) (−1.9819) R2 = t = (26.896) (3.6288) donde TD = tasa de desempleo, % V = tasa de puestos vacantes, % D = 1, para el periodo que comienza el cuarto trimestre de 1966 = 0, para el periodo anterior al cuatro trimestre de 1966 t = tiempo, medido en trimestres Nota: En el cuarto trimestre de 1966, el entonces gobierno laborista liberalizó la Ley de Seguro Nacional: reemplazó el sistema de tasa fija para prestaciones de desempleo de corto plazo por un sistema mixto de tasa fija y prestaciones relacionadas con los ingresos (anteriores), el cual incrementó el nivel de las prestaciones de desempleo.