1 Estadística 2221 Prf. Jorge L. CottoLa Distribución Normal Capítulo 6 Estadística 2221 Prf. Jorge L. Cotto

2 La Distribución NormalDescribe la probabilidad de un evento que se encuentra en intérvalos 2. Aplica a variables continuas de poblaciones 3. Los Parámetros que definen la probabilidad de que la variable se halle en un intérvalo son: El Promedio  y la Desviación Estándar 

3 Distribución Normal Función de Probabilidadf(X) = frecuencia de la variable X  = ; e =  = desviación standard de la población X = valor de la variable aleatoria (- < X < )  = media de la población

4 La Distribución Normal Características BásicasEs simétrica alrededor de su promedio. El promedio = la mediana = moda El modelo estándar tiene a  = o y  = 1 Para hallar la de que probilidad de un evento se encuentre entre dos o más valores; por ejemplo entre  y X1 ó X1 y X2

5 La Distribución NormalP(X) X Media Mediana Moda

6 La Distribución Normal

7 La Distribución Normal

8 Distribución Normal Probabilidad¡Probabilidad es el area bajo la curva! ? P ( c  X  d )  f(X) X c d

9 Variable Aleatoria Continua1. Un Evento Expresado por Valor Numérico expresado en una escala continua. Ej. pesos Observación: 115.2, 156.8, 190.1, 225.9 2. Variable Aleatoria Continua Número Entero o Fraccional Se obtiene por Medición u Observación Número Infinito de Valores en Intervalos

10 Variable Aleatoria Continua EjemplosEvento Variable Posibles Aleatoria Valores Peso 100 Personas Weight 45.1, 78, ... Vida Útil de una Parte Horas 900, 875.9, ... Record de Gastos Dinero 54.12, 42.0, ... Tiempo Entre Llegadas 0, 1.3, 2.78, ... Tiempo

11 Distribución Normal ProbabilidadDe acuerdo a la fórmula que produce las probabilidades, se requerirían muchas tablas de la distribución al variar los parámetros de promedio y desviación estándar. No obstante esta dificultad se elimina al estandarizar la tabla utilizando en la fórmula  = o y  = 1 .

12 Numero Infinito de Tablas de DistribuciónNormalDistribuciones Normales difieren en promedio & desviación estandar. Cada distribución requiere su propia tabla. f(X) X ¡Es un número infinito!

13 Efectos al Variar los Parametros ( & )f(X) B A C X

14 Estandarizar la Distribución NormalEstandarizada    = 1 z  X  = 0 Z Z ¡Una tabla!

15 Ejemplo de EstandarizaciónDistribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 10  = 1 Z  = 5 6.2 X  = 0 .12 Z Z

16 Obteniendo la ProbabilidadTabla de Probabilidad Normal Estandarizada (Porción) .02 Z .00 .01  = 1 Z 0.0 .0000 .0040 .0080 0.0478 0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871  = 0 0.12 Z Z 0.3 .1179 .1217 .1255 Area sombreada Probabilidades

17 Ejemplo P(3.8  X  5)  = 10  = 1 3.8  = 5 X -0.12  = 0 Z 0.0478Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 10  = 1 Z 0.0478 3.8  = 5 X -0.12  = 0 Z Z Area Sombreada

18 Ejemplo P(2.9  X  7.1)  = 10  = 1 2.9 5 7.1 X -.21 .21 Z .1664 X  2 . 9  5 Z     . 21  10 X   7 . 1  5 Distribución Normal Z    . 21 Distribución Normal Estandarizada  10  = 10  = 1 Z .1664 .0832 .0832 2.9 5 7.1 X -.21 .21 Z Area Sombreada

19 Ejemplo P(X  8)  = 10  = 1  = 5 8 X  = 0 .30 Z .3821 X   8  5   . 30  10 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 10  = 1 Z .5000 .3821 .1179  = 5 8 X  = 0 .30 Z Z Area Sombreada

20 Ejemplo P(7.1  X  8)  = 10  = 1  = 5 X  = 0 Z .0347 X   7 . 1   . 21  10 X   8  5 Distribución Normal Z    . 30 Distribución Normal Estandarizada  10  = 10  = 1 Z .1179 .0347 .0832  = 5 X  = 0 Z 7.1 8 .21 .30 z Area Sombreada

21 Distribución Normal EjercicioUsted trabaja en “Quality Control” para GE. La vida de un bulbo tiene una distribución normal con = 2000 horas & = 200 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que un bulbo dure A. ¿entre 2000 & horas? B. ¿menos de 1470 horas? Allow students about minutes to solve this.

22 Solución P(2000  X  2400) X Z .4772 X   2400  2000 Z    2 .  200 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 200  = 1 Z .4772  = 2000 2400 X  = 0 2.0 Z Z

23 Solución P(X  1470) X Z .0040 X   1470  2000 Z     2 . 65 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 200  = 1 Z .5000 .0040 .4960 X 1470  = 2000 -2.65  = 0 Z Z

24 Hallando Valores de Z para Probabilidades Conocidas¿Cuál Es Z Dado P(Z) = ? Tabla de Probabilidad Normal Estandarizada (Porción)  = 1 .01 Z .00 0.2 .1217 Z 0.0 .0000 .0040 .0080 0.1 .0398 .0438 .0478  = 0 .31 Z 0.2 .0793 .0832 .0871 Z 0.3 .1179 .1217 .1255 Area Sombreada

25 Hallando Valores de X para Probabilidades ConocidasDistribución Normal Estandarizada Distribución Normal  = 10  = 1 Z .1217 .1217 X ?  = 5  = 0 .31 Z Z