1 ESTRUCTURAS

2 Análisis Estructural B N 3 5 7 9 . 4 6 Barras y Nodos B + 3 = 2N

3 B + 3 = 2N De dónde viene esta serie???? Método de los nudos Nodo 1 T3y T3 R1x x T1 1 1 2 R1y Nodo 2 Nodo 3 y y T2 T1 x x F R2y T3 T2

4 2N = B + 3 Agrupando ecuaciones isoestática Vector Fuerzas externasSe tienen 6 ecuaciones y 6 incógnitas, ecuaciones por nodo y 3 reacciones 2N = B + 3 isoestática Vector Fuerzas externas Vector Fuerzas incógnitas Matriz Geométrica

5 2N = B + 3 Hiperestática 2N < B + 3 Mecanismo 2N > B + 3Clasificación de las Estructuras 2N = B + 3 2N < B + 3 2N > B + 3 Isoestática Hiperestática Mecanismo N=6 B=9 N=6 B=10 2N = B + 3 2N < B + 3 N=4 B=4 2N > B + 3

6 Cálculo de estructuras hiperestáticas1 2 3 Nodo 4 y 2 1 3 T2 T3 T1 x 4 F F Se tienen 2 ecuaciones y tres incógnitas d3 d1 d2 q Esta es la tercera ecuación Aplicando la Ley de Hooke se tiene

7 Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio se tiene:Escrito en forma matricial se tiene:

8 Vector Fuerzas externasVector Desplazamientos incógnitas Matriz de Rigidez Se sabe que: Entonces se tiene:

9 METODO DE LA RIGIDEZ Caso Unidimensional Problema x k1 k2 k3 Modelo u1

10 Para cada elemento k1 u1 u2 U11 U12 k2 u2 u3 U22 U23 k3 u3 u4 U33 U34

11 Ensamblando Matrices Equilibrio en los nodos

12 Si hacemos k1= k2= k3=k tenemos

13 Aplicando condiciones de borde u1=0 y u4=0 se tiene:

14 Volviendo al problema u1=0 y u4=0 2F/3 2F/3

15 F/3 F/3 F/3 F/3

16 Generalizando se tieneDesplazamientos desconocidos Desplazamientos conocidos Fuerzas conocidas Fuerzas desconocidas

17 Resolviendo la primera fila se tieneResolviendo la segunda fila se tiene

18 Estructuras en 2-D Elemento barra vj a ui vi uj x y Vi Ui Uj Vj

19 Modelo matemático

20 vj a ui vi uj x y Vi Ui Uj Vj Cómo determinamos K Aplico condiciones de borde dadas por: d u

21 Vi F d u Ui

22 Para las otras columnas se procede con las siguientes condiciones de borde

23 MATRIZ de RIGIDEZ en 2-D

24 Tarea: Determinar matriz de rigidez de elemento barra en 3-D x y z i j a b

25 Estructuras en 2-D Elemento Viga vj, Vj vi, Vi qj, Mj qi, Mi ui, Ui uj, Uj

26 Determinación de los coeficientesObserve que los GdL correspondientes a U, son los que cuantifican la tracción y compresión, además nunca producirán flexión. Por lo tanto hay una total independencia con las otras variables.

27 Determinación de los coeficientesCondiciones de borde dadas por: vi, Vi qi, Mi vj, Vj qj, Mj x Ecuaciones:

28 Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

29 Condiciones de borde dadas por:vj, Vj vi, Vi qi, Mi x qj, Mj x Ecuaciones:

30 Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

31 Condiciones de borde dadas por:vj, Vj vi, Vi qi, Mi x qj, Mj x Ecuaciones:

32 Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

33 Condiciones de borde dadas por:vj, Vj vi, Vi qi, Mi x qj, Mj x Ecuaciones:

34 Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

35 Matriz de rigidez Elemento Viga

36 Ejemplo: v3, Barra 3 u3, v2, u2, 1 45 2 Viga F v1, v2, 1.0m q2, u2, q1, u1,

37 Barra v3, u3, 135 v2, u2,

38 Viga v2, u2, v1, u1, q1, q2,

39 Ensamble de matrices

40 Aplicando condiciones de borde

41 F=10000 E=2.0x1011 Pa L= 1.0 m A=0.01 m2 Ab=0.001 m2 I=8.33x10-6 m4

42 Cambio de Coordenadas Vigau2, v1, u1, q1, q2, v2, q2, u2, v1, q1, u1,

43 Transformación de Coordenadas Yp Yp x y a xp yp a a Y0 X X0 Xp

44 Donde R es la matriz de rotación en 2-DX Y x y p a r0 rpL rp Si hacemos coincidir los orígenes de los sistemas coordenados tenemos Donde R es la matriz de rotación en 2-D Se puede ampliar a cualquier tipo de vector

45 Si se trata de fuerzas tenemosObserve que R es una matriz ortogonal, entonces su inversa es igual a la traspuesta. Por otra parte se tiene

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47 Tarea: Determinar matriz de rigidez de elemento viga en 3-D j z y a i b x