1 Estudiante en práctica de Pedagogía en MatemáticaTeorema de Thales Macarena Fica Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática

2 Considera el ΔABC, y un segmento de recta, paralelo a AB, tal que interseca a los lados del triángulo en los puntos D y E. ¿Se cumple que ∢ CDE y ∢ CAB tienen igual medida?, ¿porqué? ¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual medida en la figura?, ¿cuáles? ¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?, ¿por qué? ¿ΔABC y ΔDEC son congruentes?, ¿son semejantes? Observa que DE // AB, y CA es transversal a ellos, entonces: ∢CAB = ∢CDE, son ángulos correspondientes entre paralelas. ∢ACB = ∢DCE, por construcción, son el mismo ángulo. ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio AA de semejanza. Luego, los segmentos AC, DC, BC y EC son proporcionales. *Rectas paralelas: rectas que no se interceptan

3 Teorema de Thales Toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corte a los otros dos lados divide a estos últimos en segmentos proporcionales.

4 , por hipótesis y componiendo¿si un segmento DE corta a los lados AC y BC en segmentos proporcionales, se cumple que DE // AB? En el ΔABC, sea DE el segmento que cumple la hipótesis, esto es, tal que sobre los lados AC y BC se cumple la proporción Entonces: ∢ ACB = ∢ DCE, ya que, por construcción, ΔABC y ΔDEC tienen en común el ángulo con vértice en el punto C. , por hipótesis y componiendo ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio LAL de semejanza. Como consecuencia de la semejanza, los ángulos correspondientes restantes de cada triángulo son iguales. Dicho de otra forma, ∢ CDE = ∢ CAB y ∢ DEC = ∢ ABC. Por lo tanto, los segmentos DE y AB son paralelos. * * Hipótesis: suposición o condición a partir de la cual se pretende establecer una consecuencia.

5 Recíproco del teorema de ThalesSi una recta divide dos lados de un triángulo en una misma proporción, la recta es paralela al tercer lado del triángulo.

6 A practicar!!!

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8 A partir de la conclusiones anteriores, considera ahora la siguiente figura, con AB // DE:¿Se cumple que ∢ CDE y ∢ CAB tienen igual medida?, ¿por qué? ¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual medida en la figura?, ¿cuáles? ¿ΔABC y ΔDEC son semejantes? ¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?, ¿por qué? ∢ ACB y ∢ DCE tienen la misma medida, ya que son ángulos opuestos por el vértice. Por otra parte, ∢ CAB y ∢ CDE tienen la misma medida, ya que son ángulos alternos internos entre paralelas. Entonces, por criterio AA. ΔABC ~ ΔDEC, y los segmentos AC y DC, BC y EC son proporcionales. Pero no se cumple solo en un triángulo con una paralela, sino que, en general, si existen rectas paralelas cortadas por transversales, siempre se obtienen segmentos proporcionales.

9 Teorema general de ThalesSi tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos que se determinan en las secantes son proporcionales.

10 En resumen en un triángulo…Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo B´C´, a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo A´B´C´ cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC A B´ C´ B B

11 Desafío!!

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