1 Estymacja parametryczna dr Marta Marszałek e-mail: [email protected] Zakład Statystyki Stosowanej Instytut Statystyki i Demografii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

2 Wnioskowanie statystyczne Estymacja Szacowanie wartości parametrów rozkładu populacji (lub jego postaci funkcyjnej) na podstawie próby losowej Weryfikacja hipotez statystycznych Sprawdzanie przypuszczeń dot. parametrów rozkładu populacji (lub jego postaci funkcyjnej) na podstawie próby losowej

3 Estymacja Estymacja parametryczna szacowanie wartości parametrów populacji generalnej na podstawie obserwacji uzyskanych w próbie – estymacja punktowa – estymacja przedziałowa Estymacja nieparametryczna szacowanie postaci funkcyjnej rozkładu populacji generalnej

4 Estymacja parametryczna

5 Estymator vs. parametr (z próby)(liczbowa charakterystyka populacji generalnej)

6 Własności estymatorów I.Nieobciążoność II.Zgodność III.Efektywność IV.Dostateczność (wystarczalność)* * Proszę zapoznać się z własnościami estymatorów z książek, np: A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000 (lub nowsze wydanie). J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2012 (lub starsze wyd.).

7 X̄X̄ X̄ X̄ X̄ Średnia z próby X̄ X̄ X̄ X̄ X̄ X̄ m X̄ X̄X̄ X̄X̄ X̄ X̄ X̄ X̄ X̄

8 systematyczne obciążenie y y y y Obciążony y y y estymator Y yy m y ● y y y y y y y

9 Uwaga! Wariancja nieobciążona jest nieobciążonym estymatorem wariancji w populacji Wariancja obciążona jest obciążonym estymatorem wariancji w populacji

10 Relacje między własnościami nieobciążoności i zgodności estymatora

11 Dwa nieobciążone estymatory parametru m: estymator X jest efektywniejszy od estymatora Z Estymator nieobciążony i efektywny z X z Estymator nieobciążony zz ale nieefektywny x x z (o dużej wariancji) z x x x Z x m x z z z x x x z x z z zz z

12 Metody uzyskiwania estymatorów 1. Metoda momentów 2. Metoda największej wiarogodności (MNW) 3. Metoda najmniejszych kwadratów (MNK) Estymatory MNW są: 1. zgodne, 2. co najmniej asymptotycznie nieobciążone, 3. co najmniej asymptotycznie najefektywniejsze, 4. mają asymptotyczny rozkład normalny.

13 Estymacja Punktowa Jako oszacowanie parametru przyjmuje się wartość jego estymatora obliczoną na podstawie próby losowej. Jest to jedna, konkretna wartość liczbowa. Przedziałowa Konstruujemy przedział ufności, który z dużym prawdopodobieństwem obejmie nieznany parametr. Jest to przedział liczbowy.

14 Estymacja punktowa

15

16 Estymacja przedziałowa

17 Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej ze znanym odchyleniem standardowym

18 Przedział ufności dla m Estymator Standardowy błąd szacunku Estymator ± wartość odczytana z tablic * błąd standardowy błąd maksymalny (in. statystyczny) parametr Współczynnik ufności (np. 0,9; 0,95; 0,99)

19 Przedział ufności

20 Interpretacja przedziału ufności

21 Przykład

22 Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej z nieznanym odchyleniem standardowym

23 *Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej z nieznanym odchyleniem standardowym

24 Przedział ufności dla średniej m w populacji o nieznanym rozkładzie

25 Przedział ufności dla m - przykład

26 Precyzja szacunku

27 Minimalna liczebność próby przy estymacji średniej m w populacji normalnej ze znanym σ

28 Minimalna liczebność próby przy estymacji parametru p w rozkładzie dwumianowym

29 Przykład – minimalna liczebność próby

30 Dziękuję dr Marta Marszałek e-mail: [email protected]