1

2 f P (30; 45) 33 P Q ( x ; y ) T Q (x; y) T = f (x;y)P  30º latitud Norte 45º longitud Oeste P  T (ºC) P (30; 45) P Q ( x ; y ) T Q f f : R R (x; y) T = f (x;y) R2 = { (x; y) / x  R ; y R }

3 f (r; h) V = f (r ;h ) C1 r = 1 ; h = 6 C2 r = 3 ; h = 418,850 1,5 5,5 38,877 2 5 62,832 2,5 4,5 88,357 3 4 113,097 3,5 134,696 150,796 159,043 157,080 142,550 6,5 0,5 66,366 C3 (5;2) C2 (3;4) C1 (1;6) V = π . r2.h Cilindro (r ;h) f : R+x R R (r; h) V = f (r ;h ) π .r2.h f

4 (r; h) V = f : R+x R+ R V = π .r2.h CMAX ??  r = 4.5 ; h = 2.5 r 1 6 18,850 1,5 5,5 38,877 2 5 62,832 2,5 4,5 88,357 3 4 113,097 3,5 134,696 150,796 159,043 157,080 142,550 6,5 0,5 66,366 r h V 4 3 150,80 4,1 2,9 153,15 4,2 2,8 155,17 4,3 2,7 156,84 4,4 2,6 158,14 4,5 2,5 159,04 4,6 2,4 159,54 4,7 2,3 159,61 4,8 2,2 159,24 4,9 2,1 158,40 5 2 157,08 r h V 4,6 2,4 159,54 4,62 2,38 159,59 4,64 2,36 159,62 4,66 2,34 159,64 4,68 2,32 4,7 2,3 159,61 4,72 2,28 159,58 4,74 2,26 159,52 4,76 2,24 159,45 4,78 2,22 159,35 4,8 2,2 159,24 V 159,5426 159,5919 159,6239 159,6385 159,6355 159,6149 159,5764 159,5199 159,4453 159,3524 159,2410 ¿VMÁX ?

5 R z = f (x; y) f P CAMPOS ESCALARES ó FUNCIONES de “VARIAS VARIABLES” CAMPOS ESCALARES o FUNCIONES de “2 variables” DEFINICIÓN-1: Dado D ⊆ R2 ; una función f de “dos variables”, es « una regla o ley que a cada par ordenado (x ;y) D asigna un único número z  R ” ». f R2 R D Regla o Ley z = f (x; y) (x; y) y π f z D z = f ( x; y ) P (x; y) x

6 f  CAMPO ESCALAR o FUNCIÓN de “2 variables ” z = f ( x; y ) π D R z xx R

7 f CAMPOS ESCALARES ó FUNCIONES DE “VARIAS VARIABLES” FUNCIONES DE “2 variables” DEFINICIÓN-1: Dado D R2 ; una función f de “dos variables”, es « una regla o ley que a cada par ordenado “(x ;y) D” asigna un único número z  R ” ». y f z D z (x; y) x  Dominio “natural” de la función: Dn

8 y =- x -1 r: x =1 1) (x; y) / y = -x  P(x;y)  r  D -1 1 y = - x -1 ; -1 2) (x; y)  x +y +1 > 0  (x;y)  D = semiplano (0; 0)  ≥ 0  (0:0)  D

9 Existen otros conjuntos importantes asociados a las funciones Uno de ellos: el conjunto “Im f ”. (Imagen de f ) R B´  z = f(x;y) B Im f Observaciones: ► Im f  R ► Im f  “menor” codominio posible

10 Existen otros conjuntos importantes asociados a las funcionesUno de ellos: el conjunto “graf f ” “C”; curva plana (en gral). RECUERDO D  R f : D  R x  y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados 1er componente  x  D ; 2da componente  y = imagen de x por f . Lo indicamos: graf f = { P(x;y)  R2 / xD ; y = f (x) } f (x) = graf f = { (x ; ) / x R } C B A

11 Existen otro conjunto importante asociado a las funcionesUno de ellos: el conjunto “graf f ”.  f función escalar (continua)  graf f = CURVA PLANA  f campo escalar ( 2 vs.)  graf f = ………………. CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D  R f : D  R x  y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados er coordenada  x  D ; 2da coordenada  y = imagen de x por f . graf f = { P(x;y)  R / x D ; y = f (x) } ternas ordenadas R2 1er y 2da coordenada  (x; y)  D 3er coordenada  z = imagen de (x; y) por f . (x; y)  z P(x;y; z) R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } Superficie ?? Curva en R3 ? Sólido ???

12 D  R f : D  R π R2 graf f = { P(x;y)  R2 / x D ; y = f (x) }CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D  R f : D  R x  y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados / er coordenada  x  D ; 2da coordenada  y = imagen de x por f . graf f = { P(x;y)  R / x D ; y = f (x) } las ternas ordenandas / R2 1er y 2da coordenada  (x; y)  D 3er coordenada  z = imagen de (x; y) por f . (x; y)  z SUPERFICIE P(x;y; z) R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } z = f (x; y) con f (x; y) = 8 – 2 x – 4y graf f = {(x ;y; z) / (x ;y) R2 ; z = 8- 2x - 4y } C (x; y) z P(x;y;z) (4; 0) A(4;0;0) (0; 2) B(0;2;0) (0; 0) 8 C(0;0;8) (1; 1) 2 P(1;1;2) P π B (1;1) A graf f = { P(x ;y; z) / 2x+ 4y + z = 8 } = π

13 CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D  R f : D  R x  y graf f = { P(x;y)  R / x D ; y = f (x) } graf f = R2 P(x; y; z)  R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } SUPERFICIE (x; y)  z S = graf f D  R2 f : D  R (x; y)  z = f (x; y) P (x;y;z) z = f (x;y) B y x D (x ;y)

14  D = R2 graf f = { (x ;y; z) / (x ;y) R2 ; z = 6 - 3x - 2y }graf f = { (x ;y; z) / 3x + 2y + z = 6 }  S = PLANO   Problema: Hallar D para que el graf f sea la porción de plano en el 1er octante. 6  D = (x ;y) / 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ 3- 3/2 x D 2 3 x y y 3 D y = 3 – 3/2 x 2 x

15 graf g = { (x ;y; z) / (x ;y) D ; z = } = S ? D graf g = { (x ;y; z) / x2 + y2 + z2 = 9 ; z ≥ 0 } = S ? graf g = Sup. Esférica Superior D = { (x ;y) / 9 – (x2 + y2) ≥ 0 } D = { (x ;y) / x2 + y2 ≤ 9 }  círculo r = 3 ; C (0;0) Im g = { z  R / z = ; x2 + y2 ≤ 9 } = [ 0; 3 ] z =  z ≥ 0  z 2 = 9 – (x2 + y2) 9 - (x2 + y2) ≤ 9  z ≥ 0  z 2 ≤ 9  z ≥ 0  | z | ≤ 3  0 ≤ z ≤ 3

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17 graf h = { (x ;y; z) / (x ;y) D ; z = 4 x2 + y2 } = S ?graf h = PARABOLOIDE ( elíptico )

18 intersección de superfs.graf h = S = PARABOLOIDE ( elíptico ) DEF : “TRAZA” CURVA C / C= S   (plano coord. o paralelo a él) π) z = 16 16 C: Curva como intersección de superfs. C C: 4.x2 + y2 = 16 (elipse en π: z = 16) C: ; (z = 16) C: ; t  [ 0; 2 ] ; t  [0; 2] Ecuación vectorial Ecuacs. Paramétrs

19 intersección de superfs.graf h = S = PARABOLOIDE ( elíptico ) DEF : “TRAZA” CURVA C / C= S   (plano coord. o paralelo a él) verticales x = 0 ó y = 0 son parábolas 16 C: Curva como intersección de superfs. C: z = y2 ; (x=0) (parábola en πyz ) C: ; t  R πyz) x = 0 C ; t  R Ecuacs. Paramétrs Ecuación vectorial

20 e

21 f es definida positiva en R2? f tiene máximo abs. en R2 ?. Observa que del gráfico de f y del hecho de conocer las funciones escalares elementales que forman este campo escalar se pueden concluir muchas propiedades del mismo. Dirías que: f es definida positiva en R2? f tiene máximo abs. en R2 ?. f es “continua” en R2 ?. la ecuación de la “traza” de la superficie en el plano xz es z = x ??

22 ¿qué más dirías?? Dirías que: f no tiene signo definido ?.f es “continua” en R2 ?. c) la “traza” de la superficie en el plano xz es una “sinusoide”? d) la “traza” de la superficie en un plano paralelo al xz es una “sinusoide”? d) | f (x; y) |  2 ,  (x; y)  R2 ¿qué más dirías??

23 ¿qué más dirías?? Dirías que: f no tiene signo definido ?.f es “continua” en R2 ?. c) f no está “acotada” ??. ¿qué más dirías??

24

25

26 Ck : lugar geométrico de todos los “puntos del plano x y”f : D  R ; D  R2 ; graf f = S “Ck = CURVA de NIVEL ” π) z = 45 45 π) z = 20 20 C30 C45 C20 C35 Ck : lugar geométrico de todos los “puntos del plano x y” donde f (x; y) = k ; o sea donde z = k . Equivalentemente, donde el graf f tiene “altura” igual a “k”

27 Ck = proyección de C sobre el plano xy.f : D  R ; D  R2 ; graf f = S “Ck = CURVA de NIVEL ” π) z = 45 45 C π) z = 20 20 C C45 C20 Observaciones: C = S   k ( TRAZA, resulta de interceptar las dos sup.) Ck = proyección de C sobre el plano xy.

28 k  Im f  Ck = { (x; y)  D / f (x ; y) = k }  πx y(3) DEFINICIÓN : “CURVA de NIVEL = Ck ” f : D  R ; D  R2 ; graf f = S Ck es la “proyección” sobre el πx y de C (traza correspondiente a S  π(z =k)) k  Im f  Ck = { (x; y)  D / f (x ; y) = k }  πx y π) z = 45 45 π) z = 20 20 C45 C20

29 D FIGURA 6 

30 π) z = k C k

31