1 Fases Geométricas em Mecânica QuânticaHANDS on QUANTUM MECHANICS Fases Geométricas em Mecânica Quântica Mestrado em Engenharia Física Tecnológica Pedro Gomes Manuel Fortunato

2 MOTIVAÇÃO O CASO CLÁSSICO CONSIDEREMOS UM PÊNDULO PERFEITO, A OSCILAR VERTICALMENTE DENTRO DE UMA CAIXA. SE DESLOCARMOS SUAVEMENTE A CAIXA, O PÊNDULO CONTINUARÁ A MOVER-SE PRATICAMENTE COM A MESMA AMPLITUDE NO MESMO PLANO. ESTA MUDANÇA GRADUAL NAS CONDIÇÕES EXTERNAS CARACTERIZA UM PROCESSO ADIABÁTICO. NUM PROCESSO ADIABÁTICO, O TEMPO EXTERNO 𝑇 𝑒 AO LONGO DO QUAL OS PARÂMETROS DO SISTEMA MUDAM DEVE SER MUITO SUPERIOR AO TEMPO INTERNO DO SISTEMA, I.E., 𝑇 𝑒 ≫ 𝑇 𝑖 PÊNDULO A OSCILAR NO SENTIDO NORTE-SUL

3 HÁ UMA MUDANÇA DE FASE NO MOVIMENTO DO PÊNDULO.MOTIVAÇÃO O CASO CLÁSSICO É FÁCIL VERIFICAR QUE QUANDO O PÊNDULO REGRESSA À POSIÇÃO INICIAL NÃO SE ENCONTRA A OSCILAR NO MESMO PLANO AQUANDO DA PARTIDA. O NOVO PLANO FAZ UM ÂNGULO 𝜃 COM O INICIAL, IGUAL AO ÂNGULO ENTRE AS LINHAS LONGITUDINAIS PERCORRIDAS. 𝐴= 1 2 𝜃 2𝜋 4 𝜋 𝑅 2 =𝜃 𝑅 2 →𝜃= 𝐴 𝑅 2 ≡Ω PÊNDULO A OSCILAR NO SENTIDO NORTE-SUL O PÊNDULO DE FOCAULT É UM EXEMPLO DESTE TRANSPORTE ADIABÁTICO. Ω= sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙=2𝜋(− cos 𝜃) 𝜃 0 0 =2𝜋(1 − cos 𝜃 0 ) 𝜃 0 HÁ UMA MUDANÇA DE FASE NO MOVIMENTO DO PÊNDULO.

4 CONSIDEREMOS UM HAMILTONEANO QUE VARIA NO TEMPO:O TEOREMA ADIABÁTICO FASE DINÂMICA E FASE GEOMÉTRICA TEOREMA ADIABÁTICO SUPONDO QUE O HAMILTONEANO DE UM SISTEMA EVOLUI GRADUALMENTE DE 𝐻 𝑖 PARA 𝐻 𝑓 , SE O SISTEMA ESTIVER INICIALMENTE NUM ESTADO |𝑛 DE 𝐻 𝑖 , ENTÃO O SISTEMA VAI EVOLUIR PARA O ESTADO |𝑛 DE 𝐻 𝑓 . CONSIDEREMOS UM HAMILTONEANO QUE VARIA NO TEMPO: 𝐻 𝑡 |𝜓 𝑛 𝑡 ⟩= 𝐸 𝑛 𝑡 | 𝜓 𝑛 𝑡 ⟩ ASSUMINDO ESTADOS PRÓPRIOS DISCRETOS E NÃO DEGENERADOS, TEMOS UMA SOLUÇÃO DO TIPO: Ψ 𝑡 = 𝑛 𝑐 𝑛 𝑡 𝜓 𝑛 𝑡 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 𝑡 𝑖 ℏ 𝜕 |Ψ 𝑛 𝑡 ⟩ 𝜕𝑡 =𝐻 𝑡 |Ψ 𝑛 𝑡 ⟩ INSERINDO ESTA SOLUÇÃO NA EQUAÇÃO, OBTEMOS A FASE DINÂMICA: RESTA, PORTANTO, DETERMINAR OS COEFICIENTES. PARA ISTO, RESOLVE-SE A EQUAÇÃO DE SCHRODINGER: 𝑖ℏ 𝑛 𝑐 𝑛 𝜓 𝑛 + 𝜓 𝑛 𝑐 𝑛 +𝑖 𝑐 𝑛 𝜓 𝑛 𝜃 𝑛 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 = 𝑛 𝑐 𝑛 (𝐻 𝜓 𝑛 ) 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 → → 𝑐 𝑚 𝑡 =− 𝑛 𝑐 𝑛 𝜓 𝑚 𝜓 𝑛 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 − 𝜃 𝑚 𝜃 𝑛 𝑡 =− 1 ℏ 0 𝑡 𝐸 𝑛 𝑡 ′ 𝑑 𝑡 ′

5 A APROXIMAÇÃO ADIABÁTICAFASE DINÂMICA E FASE GEOMÉTRICA DERIVADO A EQUAÇÃO DE SCHRODINGER E FAZENDO O PRODUTO INTERNO COM 𝜓 𝑚 , OBTEMOS: 𝑐 𝑚 𝑡 =− 𝑐 𝑚 𝜓 𝑚 𝜓 𝑚 − 𝑛≠𝑚 𝑐 𝑛 𝜓 𝑚 𝐻 𝜓 𝑛 𝐸 𝑛 − 𝐸 𝑚 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 − 𝜃 𝑚 PARA UMA TRANSFORMAÇÃO SUFICIENTEMENTE LENTA, PODEMOS RETER APENAS O 1º TERMO: 𝑐 𝑚 𝑡 =− 𝑐 𝑚 𝜓 𝑚 𝜓 𝑚 𝑐 𝑚 𝑡 = 𝑐 𝑚 0 𝑒 𝑖 𝛾 𝑛 𝑡 A FUNÇÃO DE ONDA GANHA SIMPLESMENTE UM PAR DE FASES: Ψ 𝑡 = 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 𝑡 𝑒 𝑖 𝛾 𝑛 𝑡 𝜓 𝑛 (𝑡) FASE GEOMÉTRICA FASE DINÂMICA SERIA EXPECTÁVEL QUE A ÚNICA FASE QUE SURGISSE COM A VARIAÇÃO DO HAMILTONEANO FOSSE A FASE DINÂMICA. NO ENTANTO, SURGE TAMBÉM UMA OUTRA FASE, QUE DEPENDE DA GEOMETRIA DO SISTEMA. 𝜃 𝑛 𝑡 =− 1 ℏ 0 𝑡 𝐸 𝑛 𝑡 ′ 𝑑 𝑡 ′ 𝛾 𝑛 𝑡 =𝑖 0 𝑡 𝜓 𝑛 (𝑡′) 𝜕 𝜓 𝑛 𝑡′ 𝜕𝑡′ 𝑑𝑡′ FASE DINÂMICA FASE GEOMÉTRICA

6 FASE GEOMÉTRICA 𝛾 𝑛 𝑡 =𝑖 𝜓 𝑛 (𝑡) 𝜕 𝜓 𝑛 𝑡 𝜕𝑡FASE DE BERRY CONSIDERANDO QUE O HAMILTONEANO DEPENDE DE PARÂMETROS 𝑅 1 𝑡 , 𝑅 2 𝑡 ,… 𝑅 𝑛 𝑡 QUE VARIAM NO TEMPO (e podem ser descritos como um vector 𝐑(𝐭) num espaço abstracto)  PODEMOS CONSIDERAR A EVOLUÇÃO DO MESMO AO LONGO DE UMA CURVA C NUMA VARIEDADE TOPOLÓGICA DESTE ESPAÇO. 𝛾 𝑛 𝑡 =𝑖 𝜓 𝑛 (𝑡) 𝜕 𝜓 𝑛 𝑡 𝜕𝑡 DEFINE A CONEXÃO DE BERRY  𝐴 𝑛 𝐑 ≔𝑖 𝜓 𝑛 𝐑 𝜕 𝑅 𝜓 𝑛 𝐑 ⟩=−Im [ 𝜓 𝑛 𝐑 𝜕 𝑅 𝜓 𝑛 𝐑 ⟩] 𝐵 𝑛 É A CURVATURA DE BERRY (TENSOR ANTISSIMÉTRICO DE 2ª ORDEM...) 𝛾 𝑛 𝐶 = 𝐶 𝐴 𝑛 𝐑 ⋅𝐝𝐑 T. STOKES 𝛾 𝑛 𝐶 = 𝑆 𝐵 𝑛 𝐑 𝑑 𝑅 1 𝑑 𝑅 2 …𝑑 𝑅 𝑛 SE O ESPAÇO DE PARÂMETROS FOR TRIDIMENSIONAL, PODEMOS APLICAR O QUE JÁ SABEMOS DO CÁLCULO: FASE DE BERRY 𝛾 𝑛 𝐶 = 𝑆 𝐵 𝑛 𝐑 ⋅𝐧 𝑑𝑆 , 𝐵 𝑛 𝐑 =𝛁× 𝐴 𝑛 𝐑 =−Im[ 𝛻 𝜓 𝑛 𝐑 ×|𝛻 𝜓 𝑛 𝐑 ⟩]

7 USANDO 𝜓 𝑚 𝜓 𝑛 = 𝜓 𝑚 𝛻𝐻 𝜓 𝑛 𝐸 𝑛 − 𝐸 𝑚 ,FASE GEOMÉTRICA CURVATURA DE BERRY CONEXÃO DE BERRY 𝐵 𝑛 𝐑 =𝛁× 𝐴 𝑛 𝐑 =−Im[ 𝛻 𝜓 𝑛 𝐑 ×|𝛻 𝜓 𝑛 𝐑 ⟩] = =−Im 𝑚≠𝑛 𝛻 𝜓 𝑛 𝐑 𝑚 𝐑 ⟩×⟨𝑚(𝐑)|𝛻 𝜓 𝑛 𝐑 ⟩ RELAÇÃO DE FECHO USANDO 𝜓 𝑚 𝜓 𝑛 = 𝜓 𝑚 𝛻𝐻 𝜓 𝑛 𝐸 𝑛 − 𝐸 𝑚 , OBTEMOS A CURVATURA DE BERRY: 𝐵 𝑛 𝑅 =−Im 𝑚≠𝑛 𝜓 𝑛 𝛻𝐻 𝜓 𝑚 × 𝜓 𝑛 𝛻𝐻 𝜓 𝑚 𝐸 𝑛 − 𝐸 𝑚 2 A CURVATURA DE BERRY DESEMPENHA O MESMO PAPEL QUE UM CAMPO MAGNÉTICO NO ESPAÇO DOS PARÂMETROS, CUJO POTENCIAL VECTOR É A CONEXÃO DE BERRY SE A CURVA C ESTIVER NUMA REGIÃO DO ESPAÇO DOS PARÂMETROS QUE ESTEJA PRÓXIMA DE UM PONTO EM QUE HAJA DEGENERESCÊNCIA DE DOIS ESTADOS + E -, AS CORRESPONDENTES CONEXÕES DE BERRY SÃO DOMINADAS PELO DENOMINADOR E A CONTRIBUIÇÃO DE OUTROS ESTADOS PODE SER DESPREZADA. 𝐵 + 𝑅 =−Im + 𝛻𝐻 − × − 𝛻𝐻 𝐸 + − 𝐸 − 2 𝐵 − 𝑅 =− 𝐵 + 𝑅 , ± = ± 𝑅

8 FASE GEOMÉTRICA CURVATURA DE BERRY CONEXÃO DE BERRY A FORMA GERAL DE UM HAMILTONEANO DE UM SISTEMA COM DEGENERESCÊNCIA DE DOIS ESTADOS É: 𝐻 𝑅 = 𝑍 𝑋+𝑖𝑌 𝑋 −𝑖𝑌 −𝑍 COM VALORES PRÓPRIOS 𝐸 + 𝑅 =− 𝐸 − 𝑅 = 1 2 𝑅 𝛻𝐻= 1 2 𝛻 𝑍 𝑋+𝑖𝑌 𝑋 −𝑖𝑌 −𝑍 = 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 𝜎 𝑧 = 1 2 𝛔 𝜎 𝑥 , 𝜎 𝑦 , 𝜎 𝑧 SÃO AS MATRIZES DE PAULI OS VECTORES PRÓPRIOS DESTE HAMILTONEANO SÃO + = , − = 0 1 𝜎 𝑥 = 𝜎 𝑦 = 0 −𝑖 𝑖 0 𝝈 𝒙 ± = ± , 𝝈 𝒚 ± =± 𝑖 ∓ , 𝝈 𝒛 ± =± ± , 𝜎 𝑧 = −1 A CURVATURA DE BERRY VEM: 𝐵 + 𝐑 = 𝐑 2 𝑅 3

9 MONOPÓLOS MAGNÉTICOS 𝑉 𝛻⋅ 𝐁 ± 𝐑 𝐝𝐕=4 𝜋 𝜌 𝑚 𝑉 𝛻⋅ 𝐁 ± 𝐑 𝐝𝐕= 𝑺 𝐁 ± 𝐑 ⋅𝐝𝐀CURVATURA DE BERRY CONEXÃO DE BERRY ESTA CURVATURA PODE SER VISTA COMO O ‘CAMPO MAGNÉTICO’ NO ESPAÇO DOS PARÂMETROS GERADO POR UM MONOPÓLO MAGNÉTICO DE DIRAC. A FASE DE BERRY 𝛾 ± 𝑡 AO LONGO DE UM CIRCUITO C NO ESPAÇO DOS PARÂMETROS É DADO PELO FLUXO TOTAL DO MONOPÓLO PELA SUPERFÍCIE S DELIMITADA PELO CAMINHO C. 𝑉 𝛻⋅ 𝐁 ± 𝐑 𝐝𝐕=4 𝜋 𝜌 𝑚 𝑉 𝛻⋅ 𝐁 ± 𝐑 𝐝𝐕= 𝑺 𝐁 ± 𝐑 ⋅𝐝𝐀 FLUXO 𝑺 𝐁 ± 𝐑 ⋅𝐝𝐑 ≡ 𝛾 𝑛 𝐶 =± Ω 2 A FASE DE BERRY 𝛾 ± 𝑡 É IGUAL AO ÂNGULO SÓLIDO DESCRITO POR R NO CIRCUITO C. É O ÂNGULO SÓLIDO DEFINIDO PELO CIRCUITO C VISTO DA DEGENERESCÊNCIA. SE O HAMILTONEANO FOR REAL, OS NÍVEIS DE ENERGIA INTERSECTAM-SE SEGUNDO UM CONE NO ESPAÇO E,X,Z, CUJA ORIGEM É O PONTO ONDE OCORRRE A DEGENERESCÊNCIA.

10 SPIN EM CAMPOS MAGNÉTICOSMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS É POSSÍVEL VERIFICAR A EXISTÊNCIA DESTA DIFERENÇA DE FASE ESTUDANDO O SPIN DE PARTÍCULAS SUJEITAS A UM CAMPO MAGNÉTICO QUE VARIA EM DIRECÇÃO. PARA UMA PARTÍCULA DE SPIN S, O HAMILTONEANO DA INTERACÇÃO COM UM CAMPO MAGNÉTICO B É: 𝐻=𝑘 ℏ 𝐁⋅𝐒 K É UMA CONSTANTE RELACIONADA COM O RÁCIO GIROMAGNÉTICO. VALORES PRÓPRIOS: 𝐻 𝜓 = 𝐸 𝑛 𝜓 → 𝐸 𝑛 =𝑘 ℏ 𝐵 𝑛 𝐵 𝑛 𝑅 =−Im 𝑚≠𝑛 𝜓 𝑛 𝛻𝐻 𝜓 𝑚 × 𝜓 𝑛 𝛻𝐻 𝜓 𝑚 𝐸 𝑛 − 𝐸 𝑚 2

11 CONSIDERANDO QUE 𝐁=𝐵 𝐞 𝐳SPIN EM CAMPOS MAGNÉTICOS MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS 𝐵 𝑛 𝑅 =−Im 1 B 2 𝑚≠𝑛 𝑛,𝑠(𝐵) 𝛻𝐻 𝑚,𝑠(𝐵) × 𝑚,𝑠(𝐵) 𝛻𝐻 𝑛,𝑠(𝐵) 𝑚−𝑛 2 USANDO 𝛻 𝑅 𝐻= 𝛻 𝐵 𝑘 ℏ 𝐁⋅𝐒=k ℏ 𝑆 𝐵 𝑛 =−Im 1 B 2 𝑚≠𝑛 𝑛,𝑠(𝐵) 𝐒 𝑚,𝑠(𝐵) × 𝑚,𝑠(𝐵) 𝐒 𝑛,𝑠(𝐵) 𝑚−𝑛 2 CONSIDERANDO QUE 𝐁=𝐵 𝐞 𝐳 𝑆 + 𝑛,𝑠 = 𝑠 𝑠+1 −𝑛 𝑛 𝑛+1,𝑠 𝑆 − 𝑛,𝑠 = 𝑠 𝑠+1 −𝑛 𝑛− 𝑛−1,𝑠 𝑆 𝑧 𝑛,𝑠 =𝑛 𝑛,𝑠 PARTINDO DESTAS RELAÇÕES, OS ÚNICOS ELEMENTOS DE MATRIZ QUE NÃO SE ANULAM SÃO: 𝑛±1,𝑠 𝑆 ± 𝑛,𝑠 = 𝑠 𝑠+1 −𝑛 𝑛± 𝑛,𝑠 𝑆 𝑧 𝑛,𝑠 =𝑛 𝛾 𝑛 𝐶 = 𝑆 𝐵 𝑛 𝐑 ⋅𝐝𝐑 𝑛±1,𝑠 𝑆 𝑥 𝑛,𝑠 = 𝑠 𝑠+1 −𝑛 𝑛± 𝐵 𝑛 =𝑛 𝐁 𝐵 3 𝛾 𝑛 𝐶 =−nΩ 𝑛±1,𝑠 𝑆 𝑦 𝑛,𝑠 =∓ 1 2 𝑖 𝑠 𝑠+1 −𝑛 𝑛±

12 SPIN EM CAMPOS MAGNÉTICOSMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS QUALQUER MUDANÇA DE FASE PODE SER OBTIDA VARIANDO B AO LONGO DE UM CAMINHO FECHADO. PARA FERMIÕES (S = m/2) PARA UMA ROTAÇÃO COMPLETA DE B  Ω=2𝜋  O FACTOR DE FASE É – 1; PARA BOSÕES (S = m) PARA UMA ROTAÇÃO COMPLETA DE B  Ω=2𝜋  O FACTOR DE FASE É 1; COMO TESTAR ISTO? FEIXE 1 B A VARIAR (LENTAMENTE) DESCREVENDO  FEIXE DE PARTÍCULAS FEIXE 2 DETECTOR A TAXA DE CONTAGEM DO NÚMERO DE PARTÍCULAS É MEDIDO COMO UMA FUNÇÃO DE  B CONSTANTE

13 SPIN EM CAMPOS MAGNÉTICOSMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS O FACTOR DE FASE DINÂMICA 𝜃 𝑛 𝑡 =− 1 ℏ 0 𝑡 𝐸 𝑛 𝑡 ′ 𝑑 𝑡 ′ PERMANECE INVARIANTE DEBAIXO DAS ROTAÇÕES DO CAMPO (NÃO DEPENDE DAS MESMAS...) FEIXE 1 B A VARIAR (LENTAMENTE) DESCREVENDO  FEIXE 2 DETECTOR A TAXA DE CONTAGEM DO NÚMERO DE PARTÍCULAS É MEDIDO COMO UMA FUNÇÃO DE  B CONSTANTE É VISTO UM PADRÃO DE FRANJAS, DEPENDENTE DE , RESULTANTE DO FACTOR DE FASE GEOMÉTRICO! SE C FOR UM CAMINHO FECHADO QUE DESCREVE UM CONE COM ÂNGULO , ENTÃO: 𝐼 𝜃 = [cos (𝑛 𝜋(1− cos 𝜃))] 2

14 A LEVA SIMPLESMENTE AO APARECIMENTO DE UMA FASE (MESMO QUANDO B = 0!)EFEITO DE AHARONOV-BOHM MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS NA REGIÃO EM QUE B=0 TEM-SE: 𝐻= 1 2𝑚 𝑖 ℏ 𝛻+𝑞 𝐀 2 A É O POTENCIAL VECTOR 𝐻 𝜓 𝑛 =𝐸 𝜓 𝑛 → 1 2𝑚 𝑖 ℏ 𝛻+𝑞 𝐀 2 𝜓 𝑛 =𝐸 𝜓 𝑛 𝑔 𝑟 = 𝑞 ℏ 0 𝑟 𝐀 𝐫 ′ ⋅𝐫′ A SOLUÇÃO SERÁ DO TIPO: Ψ r,t = 𝑒 𝑖 𝑔 𝐫 Ψ ′ 𝐫,𝑡 , SUBSTITUINDO NA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER OBTEMOS A EQUAÇÃO: ℏ 2 2𝑚 𝛻 2 Ψ ′ 𝐫,𝑡 =𝑖 ℏ 𝜕 𝜕𝑡 Ψ ′ 𝐫,𝑡 ESTA EQUAÇÃO É IGUAL À DE UMA PARTÍCULA LIVRE NA AUSÊNCIA DE A! A LEVA SIMPLESMENTE AO APARECIMENTO DE UMA FASE (MESMO QUANDO B = 0!) ESTE EFEITO É VERIFICADO A PARTIR DE EXPERIÊNCIAS DE INTERFERÊNCIA, INTERFERÊNCIAS ESTAS QUE SÃO MENSURÁVEIS.

15 𝑔 𝐫 = 𝑞 ℏ 𝐀⋅𝐝𝐫= 𝑞 ℏ Φ 2𝜋 0 ±𝜋 𝑑 𝜙= ± 𝑞Φ 2ℏEFEITO DE AHARONOV-BOHM MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS PORTANTO, A FASE ADQUIRIDA POR CADA UM DOS FEIXES AQUANDO DA RECOMBINAÇÃO DO FEIXE É: 𝑔 𝐫 = 𝑞 ℏ 𝐀⋅𝐝𝐫= 𝑞 ℏ Φ 2𝜋 0 ±𝜋 𝑑 𝜙= ± 𝑞Φ 2ℏ SENDO A FASE RELATIVA ENTRE OS FEIXES: 𝜃= 𝑞Φ ℏ A MESMA DIFERENÇA DE FASE  PODE SER OBTIDA A PARTIR DE UMA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS DO HAMILTONEANO – FASE GEOMÉTRICA DO TIPO VISTO ANTERIORMENTE.

16 EFEITO DE AHARONOV-BOHMMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS O EFEITO DE AHARONOV-BOHM PODE SER VISTO COMO UM EXEMPLO DE FASE GEOMÉTRICA. PARTÍCULA CONFINADA A UMA CAIXA (CENTRADA NUM PONTO R EXTERIOR AO SOLENÓIDE) POR UM POTENCIAL 𝑉=𝑉 𝐫 −𝐑  FAZENDO COM QUE A CAIXA PERCORRA UM CAMINHO FECHADO EM TORNO DO SOLENÓIDE, R=R(t) 𝐻 𝜓=𝐸𝜓 → 1 2𝑚 𝑖 ℏ 𝛻+𝑞 𝐀 2 +𝑉 𝐫 −𝐑 𝜓=𝐸𝜓 A SOLUÇÃO SERÁ DO TIPO: Ψ 𝑛 = 𝑒 𝑖𝑔 𝐫 Ψ 𝑛 ′ 𝐫 −𝐑 = 𝑒 𝑖 𝑞 ℏ 𝑅 𝑟 𝐀 𝐫 ′ ⋅𝐝 𝐫 ′ Ψ 𝑛 ′ (𝐫 −𝐑)

17 EFEITO DE AHARONOV-BOHMMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS CALCULANDO A FASE: 𝜓 𝑛 𝐑 𝜕 𝑹 𝜓 𝑛 (𝐑) = 𝐝 𝟑 𝐫 𝜓 𝑛 ∗ 𝐫 −𝐑 [−𝑖 𝑞 ℏ 𝐀 𝐑 𝜓 𝑛 𝐫 −𝐑 + 𝛁 𝑹 𝜓 𝑛 (𝐫 −𝐑)]=−𝑖 𝑞 ℏ 𝐴(𝐑) 𝛾 𝑛 𝐶 = 𝑞 ℏ 𝐶 𝐴 𝑅 ⋅𝑑𝑅=𝑞 Φ ℏ

18 Fases Geométricas em Mecânica QuânticaHANDS on QUANTUM MECHANICS Fases Geométricas em Mecânica Quântica Mestrado em Engenharia Física Tecnológica Pedro Gomes Manuel Fortunato

19 REVISÃO TEOREMA ADIABÁTICO Ψ 𝑡 = 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 𝑡 𝑒 𝑖 𝛾 𝑛 𝑡 𝜓 𝑛 (𝑡)FASES GEOMÉTRICAS EM MQ TEOREMA ADIABÁTICO SUPONDO QUE O HAMILTONEANO DE UM SISTEMA EVOLUI GRADUALMENTE DE 𝐻 𝑖 PARA 𝐻 𝑓 , SE O SISTEMA ESTIVER INICIALMENTE NUM ESTADO |𝑛 DE 𝐻 𝑖 , ENTÃO O SISTEMA VAI EVOLUIR PARA O ESTADO |𝑛 DE 𝐻 𝑓 . A FUNÇÃO DE ONDA GANHA UM PAR DE FASES: Ψ 𝑡 = 𝑒 𝑖 𝜃 𝑛 𝑡 𝑒 𝑖 𝛾 𝑛 𝑡 𝜓 𝑛 (𝑡) FASE GEOMÉTRICA FASE DINÂMICA 𝜃 𝑛 𝑡 =− 1 ℏ 0 𝑡 𝐸 𝑛 𝑡 ′ 𝑑 𝑡 ′ 𝛾 𝑛 𝑡 =𝑖 0 𝑡 𝜓 𝑛 (𝑡′) 𝜕 𝜓 𝑛 𝑡′ 𝜕𝑡′ 𝑑𝑡′ FASE DINÂMICA 𝐵 𝑛 𝑅 =−Im 𝑚≠𝑛 𝜓 𝑛 𝛻𝐻 𝜓 𝑚 × 𝜓 𝑛 𝛻𝐻 𝜓 𝑚 𝐸 𝑛 − 𝐸 𝑚 2 FASE GEOMÉTRICA MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS: SPIN EM CAMPOS MAGNÉTICOS EFEITO DE AHARONOV-BOHM A CURVATURA DE BERRY DESEMPENHA O MESMO PAPEL QUE UM CAMPO MAGNÉTICO NO ESPAÇO DOS PARÂMETROS, CUJO POTENCIAL VECTOR É A CONEXÃO DE BERRY

20 NÚMERO QUÂNTICO DE HELICIDADE σFASE DE BERRY EM FOTÕES MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS O FOTÃO É UM BOSÃO DE SPIN 1, E MASSA NULA O SPIN DO FOTÃO PODE APONTAR: NA DIRECÇÃO DA PROPAGAÇÃO NA DIRECÇÃO OPOSTA À PROPAGAÇÃO NÚMERO QUÂNTICO DE HELICIDADE σ

21 FASE DE BERRY EM FOTÕES 𝜓 𝑖 = 1 2 𝑘, + + 𝑘, − 𝜎 ⋅ 𝑘 R, 𝜎 = 𝜎= +1 𝜎=−1MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS 𝜎 ⋅ 𝑘 R, 𝜎 = 𝜎= +1 𝜎=−1 NA DIRECÇÃO DA PROPAGAÇÃO CONSIDERANDO A DIRECÇÃO DE PROPAGAÇÃO 𝑘 : NA DIRECÇÃO OPOSTA À PROPAGAÇÃO PARA UM FOTÃO NUMA FIBRA ÓPTICA  SE A FIBRA ESTIVER ENROLADA HELICOIDALMENTE, O VECTOR DE ONDA K TRAÇA UMA CURVA FECHADA NO ESPAÇO DOS PARÂMETROS  O FOTÃO GANHA UMA FASE DE BERRY ESPAÇO DOS PARÂMETROS – ESPAÇO DOS MOMENTOS K RECORDANDO QUE, NUM ESPAÇO DE PARÂMETROS, A FASE GEOMÉTRICA É DADA POR 𝛾 𝑛 𝐶 =− 𝜎Ω CONSIDERANDO LUZ LINEARMENTE POLARIZADA, A FUNÇÃO DE ONDA É UMA SOBREPOSIÇÃO DOS ESTADOS DE HELICIDADE: 𝜓 𝑖 = 𝑘, + + 𝑘, −

22 COMO MEDIR A FASE DE BERRY PARA OS FOTÕES?EXPERIÊNCIA DE TOMITA E CHAO MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS T... 𝜓 𝑓 = 𝑒 𝑖 ℏ 𝐸 + 𝑇 𝑒 𝑖 𝛾 + 𝑘, + + 𝑒 𝑖 ℏ 𝐸 − 𝑇 𝑒 𝑖 𝛾 − 𝑘, − PODE SER CALCULADA A PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO: 𝜓 𝑖 𝜓 𝑓 2 = cos 𝐸 − − 𝐸 + 𝑇 2ℏ + 𝛾 + COMO MEDIR A FASE DE BERRY PARA OS FOTÕES? EXPERIÊNCIA DE TOMITA E CHAO: TOMITA E CHIAO UTILIZARAM UMA FIBRA ÓPTICA DE COMPRIMENTO 𝑆=180 𝑐𝑚 INSERIDA NUM TUBO DE TEFLON. AS EXTREMIDADES DA FIBRA APONTAM AMBAS NA MESMA DIRECÇÃO. A POLARIZAÇÃO DA LUZ DO LASER DE HE-NE É CONTROLADA POR DOIS POLARIZADORES.

23 EXPERIÊNCIA DE TOMITA E CHAOMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS NUMA PRIMEIRA PARTE DA EXPERIÊNCIA, CONSIDEROU-SE UM ÂNGULO DE INCLINAÇÃO  FIXO – ÂNGULO ENTRE O VECTOR DE ONDA K E O EIXO DA HÉLICE 𝑠= 𝑝 𝜋𝑟 2 p E r FORAM VARIADOS Ω= 𝑑𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜙=2𝜋(1 − cos 𝜃)=2𝜋 1 − 𝑝 𝑠 𝛾 𝑛 𝐶 =−2 𝜋𝜎 1 − 𝑝 𝑠 SE OS DOIS ESTADOS DE HELICIDADE TIVEREM ENERGIAS IGUAIS, A FASE DE BERRY DEVERÁ SER IGUAL AO ÂNGULO DE ROTAÇÃO DA POLARIZAÇÃO.

24  PASSA A TER UMA DEPENDÊNCIA DO ÂNGULO AZIMUTAL EXPERIÊNCIA DE TOMITA E CHAO MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS NUMA SEGUNDA PARTE DA EXPERIÊNCIA, CONSIDEROU-SE UM ÂNGULO DE INCLINAÇÃO  VARIÁVEL – FIBRAS COM HELICIDADE NÃO UNIFORME  PASSA A TER UMA DEPENDÊNCIA DO ÂNGULO AZIMUTAL  𝜙= arctan 𝑦 𝑥 𝜃 𝜙 =𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 Ω= 0 2𝜋 (1 − cos 𝜃 𝜙 ) 𝑑𝜙 𝛾 𝑛 𝐶 =−𝜎 0 2𝜋 (1 − cos 𝜃 𝜙 ) 𝑑𝜙

25 ÂNGULO SÓLIDO  NO ESPAÇOEXPERIÊNCIA DE TOMITA E CHAO MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS DADOS PARA A HÉLICE NÃO UNIFORME DADOS PARA A HÉLICE UNIFORME PREVISÃO TEÓRICA AS ROTAÇÕES MEDIDAS CONCORDAM COM A MAGNITUDE CALCULADA PARA A FASE DE BERRY! ROTAÇÃO DO PLANO DE POLARIZAÇÃO (sterad) EVENTUAIS FONTES DE ERRO: ERRO SISTEMÁTICO RESULTANTE DA ROTAÇÃO ÓPTICA DEVIDA A TORSÃO NA FIBRA; ... ÂNGULO SÓLIDO  NO ESPAÇO DOS MOMENTOS (sterad)

26 VARIAÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICOFASE DE BERRY EM NEUTRÕES ULTRA FRIOS MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS VARIAÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO 𝐵 𝑥 =𝛼 𝐵 0 𝐵 𝑦 = ± 1±𝜖 𝐵 0 cos 2𝜋𝑡 𝑇 𝐵 𝑧 = 𝐵 0 sin 2𝜋𝑡 𝑇 0≤𝑡≤𝑁𝑇 𝜙 𝑛 𝑡 =− 1 ℏ 0 𝑡 𝐸 𝑑 𝑡 ′ → 𝜙 + =− 1 2 𝐾𝐵𝑇 𝜙 − = 1 2 𝐾𝐵𝑇 PARA UMA DIRECÇÃO CONSTANTE DO CAMPO EQ. SCHRODINGER 𝜓 𝑇 = cos 𝜙 −𝑖 sin 𝜙 − − 1 2

27 DEFINIMOS A POLARIZAÇÃO SEGUNDO O EIXO DOS ZZ:FASE DE BERRY EM NEUTRÕES ULTRA FRIOS MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS 𝜓 𝑇 = cos ( 𝜙 + + 𝛾 + ) −𝑖 sin (𝜙 − + 𝛾 − ) − 1 2 PARA UM CAMPO QUE PERCORRA UM CAMINHO FECHADO ADIABATICAMENTE: DEFINIMOS A POLARIZAÇÃO SEGUNDO O EIXO DOS ZZ: 𝑃 𝑧 = 𝑎 − 𝑎 − 2 𝑃 𝑧 𝑇 = cos 2 𝜙 + + 𝛾 + 𝐶 − sin 2 𝜙 − + 𝛾 − 𝐶 = cos 2[ 𝜙 + + 𝛾 + 𝐶 ] Φ OS NEUTRÕES SÃO INICIALMENTE POLARIZADOS SEGUNDO O EIXO ZZ. OS NEUTRÕES SÃO SUBMETIDOS A UM CAMPO MAGNÉTICO QUE VARIA NO TEMPO. É ANALISADO O SPIN DOS NEUTRÕES APÓS A APLICAÇÃO DO CAMPO.

28 FASE DE BERRY EM NEUTRÕES ULTRA FRIOSMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS FORAM CONTADOS OS ESTADOS DE SPIN-UP E SPIN DOWN EM FUNÇÃO DE 𝐵 0 . POSSÍVEL FORMA DE OBTER A FASE DE BERRY: MÁXIMOS 𝑃 𝑧 =1 𝑃 𝑧 = cos 2[ 𝜙 + + 𝛾 + 𝐶 ] ⇒Φ=2𝜋𝑛 𝛾 + 𝐶 = 2𝜋𝑛 − 𝜙 + 𝐵 0 2

29 CÁLCULO DA FASE DE BERRYFASE DE BERRY EM NEUTRÕES ULTRA FRIOS MANIFESTAÇÕES ÓPTICAS O NÚMERO DE PROTÕES COM SPIN-UP E SPIN-DOWN VARIA DE ACORDO COM: 𝑛 𝑢𝑝 = 𝑛 𝑢𝑝 0 (1+ 𝐴 2 cos Φ) A É A EFICIÊNCIA DE POLARIZAÇÃO DO POLARIZADOR; 𝑛 𝑢𝑝 0 É O NÚMERO MÉDIO DE FOTÕES DETECTADOS COM SPIN-UP; 𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛 0 É O NÚMERO MÉDIO DE FOTÕES DETECTADOS COM SPIN-DOWN; 𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛 = 𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛 0 (1− 𝐴 2 cos Φ) Φ=2𝜋 𝑎 1 𝑥 𝑎 2 𝑥+ 𝑎 POSTO ISTO, ATRAVÉS DOS DADOS É POSSÍVEL RETIRAR OS PARÂMETROS DE AJUSTE CÁLCULO DA FASE DE BERRY

30 FASE DE BERRY EM NEUTRÕES ULTRA FRIOSMANIFESTAÇÕES ÓPTICAS

31 INVARIÂNCIA DE GAUGE 𝐴 →𝐴−𝛻𝑓 𝑉 →𝑉 −𝜕𝑓/𝜕𝑡SIMETRIAS DE GAUGE O POTENCIAL VECTOR E O POTENCIAL ELÉCTRICO PODEM ESCREVER-SE 𝛻×𝐄=− 𝜕𝐁 𝜕𝑡 𝛻×𝐇=𝐉+ 𝜕𝐃 𝜕𝑡 INVARIÂNCIA DE GAUGE 𝐴 →𝐴−𝛻𝑓 𝑉 →𝑉 −𝜕𝑓/𝜕𝑡 ESTES POTENCIAIS ESCALARES E VECTORIAIS DESCREVEM OS MESMOS CAMPOS 𝛻⋅𝐄= 𝜌 𝜖 0 𝛻⋅𝐁=0 UMA TEORIA DE GAUGE É UMA TEORIA DE CAMPO EM QUE O LAGRANGIANO É INVARIANTE SOB UM GRUPO DE TRANSFORMAÇÕES CONTÍNUAS. 𝜓 𝑛 𝑅 → 𝜓 𝑛 ′ 𝑅 = 𝑒 𝑖𝜉(𝑅) 𝜓 𝑛 𝑅 U(1) É O GRUPO DAS TRANSFORMAÇÕES UNITÁRIAS, EM QUE, CADA ARGUMENTO DA FUNÇÃO ξ CORRESPONDE A UMA ROTAÇÃO NO PLANO COMPLEXO PODEMOS REESCREVER ESTA TRANSFORMAÇÃO DE GAUGE 𝐴 𝑛 𝐑 =−Im [ 𝜓 𝑛 𝐑 𝛻 R 𝜓 𝑛 𝐑 ⟩] 𝐴 𝑛 𝐑 → 𝐴′ 𝑛 𝐑 = 𝐴 𝑛 𝐑 − 𝛻 𝑅 𝜉 𝑅 𝜓 𝑛 𝑅 → 𝜓 𝑛 ′ 𝑅 =𝑈 (1)𝜓 𝑛 𝑅

32 FIM INVARIÂNCIAS DE GAUGEINVARIÂNCIA DE GAUGE DA 𝛾 𝑛 ′ 𝐶 = 𝐶 𝐴 ′ 𝑛 𝐑 ⋅𝐝𝐑 = 𝐶 𝐴 𝑛 𝐑 − 𝛻 𝑅 𝜉 𝑅 ⋅𝐝𝐑= 𝛾 𝑛 𝐶 − 𝐶 𝛻 𝑅 𝜉 𝑅 ⋅𝐝𝐑 = 𝛾 𝑛 𝐶 CONSEQUÊNCIAS: SENDO A FASE DE BERRY INVARIANTE SOBRE TRANSFORMAÇÕES DE GAUGE, A ADIÇÃO DE UM GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR À CONEXÃO DE BERRY NÃO ALTERA A FASE NÃO É POSSÍVEL REMOVER A FASE DE BERRY ATRAVÉS DE UMA OUTRA ESCOLHA DE BASES DO HAMILTONIANO FIM