1 Federico Roig Adrian Volti 6FM2Recta de Simson Federico Roig Adrian Volti 6FM2

2 Recta de Simson Una recta de Simson en un triángulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares a los lados del triángulo, trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita. Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simpson ( ) aunque los historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría. Dado que la primera publicación conocida en la que aparecen estas rectas, fechada en 1797 y perteneciente a William Wallace, en ocasiones se denomina a estas rectas como rectas de Wallace-Simson

3 En general, si se trazan perpendiculares desde un punto cualquiera del plano (exterior o interior al triángulo), los pies de dichas perpendiculares no son colineales sino que forman un triángulo denominado triángulo pedal. La colinealidad de los tres pies de las perpendiculares es característica de los puntos de la circunferencia circunscrita:

4 Construccion 1-Primero trazaremos una circunferencia circunscrita en un triángulo cualquiera.

5 2- Luego ubicaremos un punto P perteneciente a la circunferencia.

6 3-Trazar las 3 perpendiculares a los lados del triángulo desde el punto P.

7 4. Finalmente se unen los 3 puntos generados por la intersección entre los lados del triángulo y las perpendiculares y se obtiene una recta r, la Recta de Simson.

8 Demostración: Primero se demostrará que los puntos en la circunferencia tienen la propiedad de que los pies de las perpendiculares trazados desde ahí son colineales. De acuerdo con el diagrama, sean ABC los vértices del triángulo, X, Y, Z los pies de las perpendiculares respectivamente sobre las rectas que contienen los lados: BC, CA y AB, y supongamos P en el arco AC de la circunferencia circunscrita, que no contiene a B. La idea central de la prueba será demostrar que los ángulos ÐCYX y ÐAYZ son iguales y por tanto que [YX) e [YZ) están en la misma recta.

9 Primero se demostrará que los puntos en la circunferencia tienen la propiedad de que los pies de las perpendiculares trazados desde ahí son colineales. De acuerdo con el diagrama, sean ABC los vértices del triángulo, X, Y, Z los pies de las perpendiculares respectivamente sobre las rectas que contienen los lados: BC, CA y AB, y supongamos P en el arco AC de la circunferencia circunscrita, que no contiene a B. La idea central de la prueba será demostrar que los ángulos ÐCYX y ÐAYZ son iguales y por tanto que [YX) e [YZ) están en la misma recta. ·Dado que los ángulos ÐPXC y ÐPYC son rectos, el cuadrilátero PYXC es un cuadrilátero cíclico y por tanto ÐCYX = ÐCPX porque abarcan misma cuerda [XC]. ·Análogamente, los ángulos ÐPYA y ÐPZA son rectos, el cuadrilátero PYAZ también es cíclico y por tanto ÐAYZ = ÐAPZ . ·Por otro lado, al ser los ángulos ÐPXB y ÐPZB rectos, el cuadrilátero PXBZ también es cíclico. Por tanto, los ángulos ÐABX y ÐXPZ suman 180°. ·Finalmente, por construcción el cuadrilátero PABC es cíclico y por tanto los ángulos ÐABC y ÐCPA suman 180°. De las dos últimas observaciones, dado que los ángulos ÐABX y ÐABC son iguales, se sigue que los ángulos ÐXPZ y ÐCPA son iguales. Restando a ambos la medida de Ð XPA resulta: Y por lo tanto: Demostracion parte 2:

10 Como ÐCYX = ÐAYZ y comparten AC como recta sostén de un lado de cada ángulo, deben ser opuestos por el vértice y por tanto X, Y e Z están alineados. Observación: Las distintas configuraciones que aparecen dependiendo de la posición relativa de P respecto a la posición de A, B, C se pueden reducir a la prueba anterior renombrando los puntos involucrados. La segunda parte de la prueba (Demostración del Recíproco) corresponde a demostrar que si un punto es tal que los pies de las perpendiculares que se trazan desde él son colineales, entonces el punto está sobre la circunferencia. Etiquetando los vértices del triángulo de modo que el punto se encuentre en el interior de Ð ABC y el diagrama de las perpendiculares corresponda a la figura anterior, podemos repetir todos los pasos en orden inverso para concluir que PABC necesariamente es un cuadrilátero cíclico y por tanto que P está en la circunferencia circunscrita de ABC. Esto es posible porque los dos resultados usados son equivalencias lógicas: ·Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos suman 180°. ·Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si los ángulos que abarcan un mismo lado son iguales. Demostracion parte 3:

11 Propiedad 1: ·La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide.

12 Propiedad 2: La línea de Simson de un vértice del triángulo es la altura del triángulo trazada desde ese mismo vértice. Recta de simson B P=A C

13 B P A C Recta de simson Propiedad 3:La línea de Simson de un punto diametralmente opuesto a un vértice es el lado formado por los otros dos vértices. B P A C Recta de simson

14 B Q 2α Recta de simson De punto P C Recta de simson De punto Q α A PPropiedad 4: El ángulo formado entre las rectas de Simson de dos puntos P, Q es exactamente igual a la mitad del ángulo central del arco PQ. B Q 2α Recta de simson De punto P C Recta de simson De punto Q α A P

15 Propiedad 5: La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide denominado deltoide de Steiner.

16 Robert simson (14 octubre 1687 a 1 octubre 1768)

17 Biografia de Robert SimsonFue un matemático escocés y profesor de matemáticas en la Universidad de Glasgow. Robert Simson estaba destinado a la Iglesia, pero la inclinación de su mente era hacia las matemáticas. Se educó y se graduó en la Universidad de Glasgow. Cuando abrió la perspectiva de su éxito a la silla matemática en la Universidad de Glasgow, Simson procedió a ir a Londres para estudiar más a fondo. Después de un año en Londres, regresó a Glasgow y, en 1711, fue nombrado por la universidad a la cátedra de matemáticas, cargo que conservó hasta 1761. Las contribuciones de Simson a los conocimientos matemáticos tomaron la forma de ediciones críticas y comentarios en las obras de los antiguos geometras. El primero de sus escrituras publicadas es un trabajo en las Philosophical Transactions (1723, vol. Xl. P. 330) sobre Porismas de Euclides.

18 Luego siguió Sectionum conicarum libri V (Edimburgo, 1735), una segunda edición de los cuales, con adiciones, apareció en Los tres primeros libros de este tema fueron traducidos al Inglés y, en varias ocasiones, impresos como los elementos de las secciones cónicas . En 1749, se publicó Apollonii Pergaei locorum planorum libri II., Una restauración del tratado perdido de Apolonio, fundada en los lemas que figuran en el séptimo libro de la Colección matemática de Pappus. En 1756, apareció, tanto en Latín como en Inglés, la primera edición de los Elementos de Euclides. Este trabajo, que contenía sólo los seis primeros y los libros XI y XII, y al que, en su versión en Inglés, añadió el Data en Este texto, fue por mucho tiempo el texto estándar de Euclides en Inglaterra. Tras la muerte de Simson, restauraciones del tratado de Apollonius De section determinata y el tratado de Euclides De Porismatibus se imprimieron para la circulación privada en 1776, a expensas de Earl Stanhope, en un volumen con el título Roberti Simson quaedam ópera Reliqua. El volumen contiene también disertaciones sobre logaritmos y de Límites de cantidades y proporciones, y algunos problemas que ilustran el análisis geométrico antiguo.

19 Bibliografia Ø http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_de_SimsonØ Ø Puig Adam, P. , Curso de Geometría Métrica Tomo I, 1977