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2 Felipe Sepúlveda López Biólogo Marino Estadística Biología Marina 200 3 Estadística (Bioestadística) [email protected]

3 Sobre mi… No soy un estadístico. »Tesis 2002 en… »Magíster en Cs. del Mar… El énfasis del curso esta en la práctica de la herramienta estadística y no en los teoremas y demostraciones. Estadística Biología Marina 200 3

4 ¿Porque deberíamos saber “algo” de estadistica? Es necesario aprender las propiedades de la estadística, para utilizarla en diseños experimentales y análisis de datos. Como biólogos debemos desarrollar nuestra habilidad para discriminar argumentos científicos (o pseudo- científicos). Estadística Biología Marina 200 3

5 Que es lo que espero de Uds. ATENCIÓN en la clases y Ayudantías Retroalimentación hacia mi con respecto a lo que les gusta y no les gusta del curso. (criticas constructivas) Estadística Biología Marina 200 3

6 Objetivos del Curso Entender los principales fundamentos de la estadística descriptiva e inferencial. Entender los principios generales sobre los cuales están basados los test estadísticos más comunes utilizados en biología. Estadística Biología Marina 200 3

7 Conocer los principales supuestos (pre- requisitos), de los test más comunes y entender el impacto de sus violaciones. Ser capaz de desarrollar variados análisis estadísticos utilizando las herramientas de Excel y SYSTAT. Estadística Biología Marina 200 3

8 Clases y Ayudantía Cátedra: »Lunes 14:00 - 15:30 (Sala 12). »Martes 14:00 – 15:30 (Sala 10). Ayudantía: 1) Miércoles 14:00 – 15:30 (Sala 1). 2) Miércoles 9:55 – 11:25 (Sala 1). Laboratorio de Computación Lunes – 14 – AbrilMiércoles - 16 – Abril Lunes – 12 – MayoMiércoles 14 – Mayo Lunes – 9 – JunioMiércoles 11 – Junio Lunes – 14 – JulioMiércoles 16 – Julio

9 Evaluación Estadística Biología Marina 200 3 1° prueba =30% 13 – Mayo – 2003 2° prueba =30% 1 – Julio – 2003 Seminario =40% 8 – Julio – 2003

10 Textos Estadística Biología Marina 200 3 Guía del curso estadística de biología marina. UCN, 2003. Zar, J.H. 2000. Biostatistical Analysis (4th edition), Prentice-Hall, Upper saddle River, New Jersey. Spiegel, M.R. 1991. Estadística. McGrawHill. STEEL, R.G.D. and TORRIE, 1980, J.H. Principles and procedures of statistics: a biometrical approach. 2.ed. New York : McGraw-Hill,. 631p. Sokal, R.L. & F.J. Rohlf. 1995. Biometry (3rd edition), W.H. Freman & Co., New York, or

11 Preparación de clases. Leer el capítulo apropiado desde los textos mencionados y traer las preguntas clases. Si tienen alguna pregunta…¡Preguntar inmediatamente!. No existen las preguntas estupidas. Para las ayudantías, se debe manejar los contenidos para practicar con ejercicios. Estadística Biología Marina 200 3

12 Siempre venir a clases y ayudantías con: –Guía de clases, con tablas –CALCULADORA Estadística Biología Marina 200 3 Por favor no sean participantes pasivos de la clase. Y si quedan dudas…. »Lunes 10:00 – 11:30. »Martes 10:00 – 11.30.

13 ¿Qué es la Estadística? Estadísticas (plural): Datos recogidos de forma sistemática para obtener información sobre un tema (demográfico, social, económico, biológico, etc..) Ejemplo: Captura de Anchovetas, goles del último clásico. Estadística (singular): Disciplina que comprende técnicas de recolección, presentación, análisis e interpretación. Permite poner a prueba de hipótesis y tomar decisiones en base a la teoría de probabilidades. Bio-Estadística: aplicación de herramientas de estadística en el área biológica Estadística Biología Marina 200 3

14 Algunas utilidades de la Estadística DescripciónDiseñoTest de hipótesis Provee de resúmenes de datos. Ayuda a descubrir patrones o tendencias. Evalúa la magnitud y dirección de los efectos experimentales. Ayuda al diseño de experimentos y estudios de campo. Permite tomar decisiones a priori sobre la utilidad de algún experimento. Evalúa hipótesis biológicas a través de tests, para verificar si los patrones observados son consistentes con las predicciones.

15 Tipos de estadística (función): Descriptiva: Analiza una población sin pretender sacar conclusiones generales (conclusiones validas para dicha población) Ordenamiento y descripción de un conjunto de datos Estadística Biología Marina 200 3 Inferencial: Tiene como propósito inducir leyes de comportamiento de una población a partir de muestras. A partir de una muestra se obtienen conclusiones de toda la población

16 Usos de la estadística: Descripción & Síntesis. Generar un resumen de los datos. Ayuda a descubrir tendencias (inducción) a través de la examinación de resúmenes de patrones estadísticos Para tener en cuenta: En un resumen estadístico mucha información se pierde. Por lo tanto, ¡SIEMPRE se debe conservar los datos crudos! Estadística Biología Marina 200 3

17 Usos de la estadística: Inferencial. ¿Las diferencias observadas son “reales” o simplemente provocadas por accidente? Para responder esta pregunta, necesitamos conocer la probabilidad de que los resultados observados se deban efectivamente a un accidente o coincidencia? Los test estadísticos nos permiten calcular esta probabilidad y elaborar conclusiones Estadística Biología Marina 200 3

18 Usos de la estadística: Diseño experimental. Focalización del esfuerzo Decidir a priori sobre la utilidad de un experimento Estadística Biología Marina 200 3 “Llamar a un estadístico después de que el experimento esta terminado, quizás no va a servir mas que para pedirle que realice una autopsia; seguramente el va a estar capacitado para decir de que murió el experimento” Sir Ronald Fisher

19 Toma de muestras o “muestreo” Población o Universo: Corresponde a todo el grupo de cosas animales o personas sobre las que queremos obtener información. (esta definida en base a nuestros requerimientos) Unidad: Miembro individual de la población. Muestra: Porción de la población sobre la que tomamos información para obtener conclusiones sobre la población. Variable: Característica de una unidad, que es medida en todas la unidades de la muestra. Estadística Biología Marina 200 3

20 Estadística Biología Marina 200 3 PoblaciónMuestraVariable Mujeres y hombres chilenos, entre 16 a 26 años. 100 hombres y mujeres jóvenes de todas las capitales regionales de Chile. Nivel de nicotina medida en una muestra sanguínea. Población muestra

21 Lo que la estadística puede y no puede hacer: Estadística Biología Marina 200 3 PuedeNO Puede Proveer de criterios objetivos para evaluar hipótesis. Ayuda a optimizar esfuerzos Ayuda a evaluar críticamente argumentos Decir la verdad absoluta (solo una verdad probabilística) Ayudar a un diseño pobre Indicar significancia biológica: La significancia estadística no significa signifcancia biológica (vice versa)

22 Tipos de Variables (datos) Biológicas. Datos en Escala Proporcional:  Existe un tamaño de intervalos constante, entre unidades adyacentes.  Existe un punto “0” que presenta significado físico. Ej: tamaños, conteos, pesos, volúmenes…. Estadística Biología Marina 200 3 Datos en Escala de Intervalos:  Poseen un tamaño de intervalos constante, entre unidades adyacentes.  No tienen un punto “0” con valor físico. Ej: temperatura en °C o °F. Kelvin [K] 0 absoluto tiene importancia física Variables circulares

23 Estadística Biología Marina 200 3 Tipos de Variables (datos) Biológicas. Datos en Escala Ordinal (“orden”):  Existe una diferencia relativa entre las magnitudes de nuestras variables. Ej: Tamaño celular 1,2 o 3; Color mas oscuro, mas claro, intermedio…. Datos en Escala Nominal: –La variable se identifica por una cualidad “atributo” de esta. Ej: Fenotipos como color de ojos, cabello. Machos o Hembras.

24 Datos Continuos y Discretos Continuas: Permiten cualquier valor entre un determinado rango de mediciones observadas. Ej.: Altura de 35-36cm, entre ellas puede estar 35.2 o 35.1888 o 35.18878456…. Discretas: Variables que pueden tomar solo valores enteros. Ej: Número de ostiones, personas. Estadística Biología Marina 200 3

25 Exactitud (accuracy): ¿Qué tan cerca se encuentra nuestro valor observado del valor real?: Estadística Biología Marina 200 3 y x observado esperado Modelos propuestos: a)Y es una función lineal de X. b)Y es una función no lineal de X. Modelo mas exacto Modelo menos exacto b es el modelo mas exacto: Los valores observados están, en promedio, mas cerca de los observados

26 Precisión: ¿Qué tan cerca se encuentra, una de otra medición, realizadas sobre una misma variable? –Se encuentra altamente influenciada por la experiencia y rigurosidad de quien realiza la medición. Estadística Biología Marina 200 3 -5.56cm -5.60cm -5.58cm -5.286cm -5.749cm -5.582cm

27 Precisión v/s Exactitud: Pobre Buena PobreBuena Precisión Exactitud

28 Tipos de Escalas de Datos: Escala Proporcional Escala Intervalos Escala Ordinal Escala Nominal –Datos Continuos –Datos Discretos Estadística Biología Marina 200 3

29 Estadística Biología Marina 200 3

30 Figuras Significativas y Redondeo de Datos: Los dígitos de un número que denotan la exactitud la medición = Fig. Significativa. Ejemplos: 7 cm = 1 7.04 cm = 3 7.14 cm = 3 7.90 cm = ? Estadística Biología Marina 200 3 21.00 parásitos = ? 321 parásitos = ? 44 parásitos = ?

31 Estadística Biología Marina 200 3 255 25.5 2.55 0.255 0.0255 2.55 x 10 2 2.55 x 10 1 2.55 2.55 x 10 -1 2.55 x 10 -2 Todos tienen 3 cifras significativas En notación científica Más Casos:

32 Rangos Implicados: Estadística Biología Marina 200 3 El largo del ala de una mariposa es de 5.4 cm. “Esta medición implica una exactitud de 0.1cm” 5.35 – 5.45Por convención, teóricamente el largo del ala de la mariposa está entre : 5.35 – 5.45 Rango implicado a nuestra exactitud

33 Otros ejemplos: Estadística Biología Marina 200 3 ValorRango Figuras Significativas Exactitud 87.5 - 8.511 8.38.25 – 8.3520.1 8.328.315 – 8.32530.01

34 Aproximaciones y Redondeo: 78.3 = 79 145.6 = 146 Estadística Biología Marina 200 3 Pero:56.5 ? Si el ultimo digito anterior es par … aproximar hacia abajo Si el último digito anterior es impar … aproximar hacia arriba 48.5 = 48 57.5 = 58

35 Distribuciones de Frecuencias: Tablas de frecuencias: Clasificación, ordenamiento y resumen de una gran cantidad de información. Consiste simplemente en: – Una lista de los valores observados en la variable bajo estudio. – Cuantas veces este valor se repite. Estadística Biología Marina 200 3

36 Ubicación de nidos de gorriones: Ubicación Número de nidos observados a- Canaletas56 b- Balcones60 c- Cavidades de Construcciones 46 d- Ramas de Árboles 49 Estadística Biología Marina 200 3 Tabla de Frecuencias Distribución de Frecuencias

37 Confección de tabla: ¿Como construimos una tabla de frecuencias cuando nuestros datos no son nominales? Estadística Biología Marina 200 3 Para empezar determinar: Rango de datos Número de clases Amplitud de intervalo de clases Determinar rango clase

38 Rango de datos Distancia entre el dato máximo y mínimo Estadística Biología Marina 200 3

39 Consumo de proteínas de 20 ostiones de laboratorio. 2125352218 2421231623 2717261929 2019202322 Rango = 35-16 = 19

40 Número de Clases Número de categorías o intervalos en el que se va a dividir la información Estadística Biología Marina 200 3 Se puede determinar arbitrariamente en base a la variación de nuestros datos. Generalmente varía entre 5 a 20 categorías En este ejemplo se utilizarán 5 clases.

41 Amplitud de intervalo Cantidad de datos que están comprendidos en un intervalo de clase. Estadística Biología Marina 200 3 Del ejemplo: 19/5 = 3.8 ≈ 4 Solo se aproxima si los datos son discretos o enteros

42 Rango de clase Significa hallar los límites inferiores y superiores de cada intervalo –Para ello al dato menor se le suma la amplitud del intervalo (4 en este caso). –La marca de clase corresponde al valor medio ubicado en cada rango de clase. Estadística Biología Marina 200 3

43 2125352218 2421231623 2717261929 2019202322 Rango de clase Marca clase 161917.5 16, 17, 18 y 19 = 4 Amplitud de intervalo Marca de clase ¿Cómo queda el resto de la tabla?

44 Debería quedar así: Rango de claseMarca clase 161917.5 202321.5 242725.5 283129.5 323533.5

45 Frecuencia Absoluta Es el número de veces que se repiten los valores dentro de los diferentes intervalos en que se ha dividido la información Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca clase Frecuencia Absoluta 161917.55 202321.5 242725.5 283129.5 323533.5

46 Frecuencia Relativa Es el valor que resulta al dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el total de frecuencias o datos y multiplicarlas por 100 para que sean expresadas en porcentaje Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca claseFrec. Abs.Frecuencia Relativa 161917.5525 202321.5 242725.5 283129.5 323533.5

47 Frecuencia Absoluta Acumulada Se obtiene sumando y acumulando los valores absolutos clase por clase en orden ascendente Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca clase Frec. Abs. Frec. Rel. Frec.Abs. Acumulada 161917.55255 202321.5 242725.5 283129.5 323533.5

48 Frecuencia Relativa Acumulada Se obtiene sumando y acumulando los valores relativos clase por clase en orden ascendente Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca clase Frec. Abs. Frec. Rel. Frec.Abs. Acumulada Frec.Rel. Acumulada 161917.55255 202321.5 242725.5 283129.5 323533.5 ¿Cómo queda el resto de la tabla?

49 Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca clase Frec. Abs. Frec. Rel. Frec.Abs. Acumulada Frec.Rel. Acumulada 161917.55255 202321.59451470 242725.54201890 283129.5151995 323533.51520100 Debería quedar así: Consumo de proteínas (grs.) de 20 ostiones Argopecten purpuratus

50 Representación gráfica de tablas de frecuencia Histograma: –Se obtienen al graficar las marcas de clase (abscisa) versus la frecuencia (ordenada). Estadística Biología Marina 200 3

51 Polígono de Frecuencias Se produce fácilmente al conectar con una línea las marcas de clases adyacentes. Estadística Biología Marina 200 3

52 Ojivas Se obtienen al graficar las frecuencias acumuladas absolutas o relativas Estadística Biología Marina 200 3

53 Tipos de distribuciones de frecuencia En función de la forma: Estadística Biología Marina 200 3

54 En función de la dispersión Estadística Biología Marina 200 3

55 Medidas Descriptivas Numéricas Estadística Biología Marina 200 3 “A través de este tipo de estimaciones es posible hacer generalizaciones del todo a partir de una parte del todo” Conceptos para tener en cuenta: Población Muestra Muestras aleatorias Parámetros Estadísticos

56 Población o Universo: Corresponde a todo el grupo de cosas animales o personas sobre las que queremos obtener información. (esta definida en base a nuestros requerimientos) Muestra: Porción de la población sobre la que tomamos información para obtener conclusiones sobre la población. Estadística Biología Marina 200 3

57 Muestra aleatoria Requisito clave: “Cada miembro de la población debe tener una opción igual e independiente de ser elegido” Estadística Biología Marina 200 3 Asignar número a miembros de la población Tablas de Números Aleatorios Pero: En la mayoría de los casos no es posible asignar número aleatorios. Es necesario tener en cuenta consideraciones biológicas mas que matemáticas.

58 De esta manera: Una muestra tomada aleatoriamente, debe representar a la población. Si la muestra es representativa de mi población, entonces podemos “inferir cosas” de la población, con cierto nivel de seguridad y exactitud. Estadística Biología Marina 200 3

59 Parámetros y Estadísticos Toda medición o estimación que este caracterizando y describiendo a nuestra población es llamada PARAMETRO. Raramente es posible calcular parámetros¿Porque? Estadística Biología Marina 200 3

60 Solución Realizar estimaciones de un parámetro poblacional mediante:ESTADISTICOS Estadística Biología Marina 200 3 Todo buen estadístico debe ser: Insesgado Consistente Eficiente

61 Medidas de Tendencia Central: Representa a la suma de las observaciones divididas por el número de observaciones Estadística Biología Marina 200 3 La Media Ejemplo: 52.540.860.058.052.5 62.240.849.252.540.8 = 50.9

62 Con datos agrupados se calcula por: Estadística Biología Marina 200 3 921.52320 425.52724 129.53128 133.53532 5 Frec. Abs. fi 17.5 Marca clase Xi 1916 Rango de clase N = 20 = 22.3 grs Marca Clase Frecuencia Absoluta

63 Comentarios acerca de la media. La media es un número ÚNICO La media de la muestra ( ), es un buen estimador de  Es un estadístico poco “resistente”, ya que es fuertemente influenciado por los valores extremos Estadística Biología Marina 200 3

64 La Mediana Me La Mediana Es el valor medio. Esto es el punto medio de las observaciones cuando estas han sido ordenas en orden ascendente ImparesPares Me= X (n+1) /2Me=(X n/2 + X n/2 +1)/2 11,13,15,16,1711,13,15,16,17, 20 Estadística Biología Marina 200 3 Me = 15 Me = 15.5

65 Con datos agrupados se calcula por: Me =Límite inferior +0.5n – frec. acum. ant.x Ancho intervalo del intervaloNro. Obs en Intervalo Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca clase Frec. Abs. Frec. Rel. Frec.Abs. Acumulada Frec.Rel. Acumulada 161917.55255 202321.59451470 242725.54201890 283129.5151995 323533.51520100 1.- Calculamos la posición: Me = X (n+1)/2 = X (20+1)/2 = X 10.5 2.- Aplicamos la fórmula: Me = (20)+ ((0.5x20)-5)/9 x 4 = 22.2

66 La Moda La moda el valor mas frecuente. Es decir, el valor que más se repite dentro de las observaciones realizadas. Estadística Biología Marina 200 3 Ejemplo: Datos del coeficiente intelectual de un grupo de alumnos: 100, 95, 105, 110, 100. Entonces la moda es 100

67 Para datos ordenados en una tabla de frecuencia: La moda corresponde a la marca de clase más frecuente Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca clase Frec. Abs. Frec. Rel. Frec.Abs. Acumulad a Frec.Rel. Acumulada 161917.55255 202321.59451470 242725.54201890 283129.5151995 323533.51520100

68 La Mediana y la Moda no son afectadas por valores extremos. Alemania59 España84 Inglaterra78 Italia41 Japón47 Noruega78 Nueva Zelanda102 EEUU61 Somalia748 Analicemos el siguiente ejemplo: Tasa de mortalidad infantil en diferentes países (muertes anuales/ 10000 habitantes) Media = 144 muertes/10000 Mediana = 78 muertes/10000 Moda = 78 muertes/10000

69 Relaciones entre medidas de tendencia central Estadística Biología Marina 200 3

70 Ahora que podemos describir nuestra población a partir de una medida central. ¿Qué mas sería interesante conocer y estimar? Estadística Biología Marina 200 3 Analicemos la siguiente figura: Las MEDIAS y las MEDIANAS son iguales. Pero las DISTRIBUCIONES son diferentes

71 Medidas de Dispersión o Variabilidad Adicionalmente a la medición de tendencia central, es recomendable tener una medición de la dispersión de los datos. – De esta manera es posible tener una idea de cuan esparcidos se encuentran las mediciones en torno al centro de la distribución Estadística Biología Marina 200 3

72 Existen variados estadísticos de dispersión, los más utilizados son: El Rango Suma de la desviaciones de la media al cuadrado (SS). Varianza (S) Desviación estándar (DE ó S 2 ) Coeficiente de variación (CV) Los Cuantíles Estadística Biología Marina 200 3

73 El Rango Corresponde a la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Estadística Biología Marina 200 3 Rango = X max – X min

74 S Suma de las desviaciones de la media al cuadrado Este valor entrega una idea de cuán lejos se encuentran los datos con respecto a la media. Su compresión es clave para entender el significado de cada una de las demás medidas de dispersión que existen Estadística Biología Marina 200 3

75 Reflexione con las siguientes preguntas ¿Porqué se emplean desviaciones de la media al cuadrado? ¿Qué indica una SS grande? ¿Qué indica una SS pequeño? ¿Qué indica una SS igual a 0? Calcule la media y SS para el peso (grs) del músculo abductor de las siguientes almejas: 7.4, 8.1, 6.3, 8.6, 7.9, 6.9 Media = 7.5 SS = 3.08 Estadística Biología Marina 200 3

76 S2S2Varianza Corresponde a la media de la suma de cuadrados (por eso es llamada media cuadrática) Estadística Biología Marina 200 3 Población Muestra ¿Cuál es la diferencia entre una y otra?

77 La varianza de una muestra esta dividida por n-1 (llamado “grados de libertad” o GL), Esto permite una estimación no segada y más conservadora ya que no sobreestima el valor de σ 2 que presenta un N desconocido Estadística Biología Marina 200 3

78 S Desviación Estándar Simplemente es estimada a través la raíz cuadrada de la varianza. Tener en cuenta que este valor tiene las mismas unidades que las mediciones originales. Estadística Biología Marina 200 3 Calcular S 2 y S a partir de los datos anteriores

79 C V Coeficiente de Variación Es el cuociente de la desviación estándar y la media aritmética, expresado en porcentaje. Estadística Biología Marina 200 3

80 La desviación estándar y la varianza tienen magnitudes que son dependientes de los datos. El Coeficiente de variación NO RatonesElefantes Media0.78 cm78.0 cm DS0.26 cm26.0 cm Estadística Biología Marina 200 3 CV33.3% El coeficiente de variación expresa la variabilidad de la muestra relativa a la media de la muestra Tamaño de las orejas de elefantes y ratones En que especie varia más el tamaño de orejas

81 Medidas de posición. Cuantíles Son estadísticos que dividen una distribución de frecuencias en cuatro, diez o cien partes iguales La mediana es el valor que se encuentra en la mitad de nuestra distribución (es decir es el 50avo percentil), Estadística Biología Marina 200 3 Otros cuantíles son: Cuartíles (4), Quintiles (5), Decíles (10), Percentíles (100)

82 Los cuartíles son estadísticos que dividen en cuatro partes iguales nuestra información, donde cada parte incluye el 25% de las observaciones Estadística Biología Marina 200 3 1 er cuartíl 2 do cuartíl 3 er cuartíl 25% Mediana Rango Intercuartílico

83 Con la siguiente formula es posible calcular cualquier percentil, determinado la posición de la variable en un set de datos Estadística Biología Marina 200 3 Percentil buscado 5578999101214 15171825303164728889909298 Ranking 456789101112131415161718192021222324 Ejemplo: Calcular la media ± DS 34.6  34.1 ¿Son estos los mejores estadísticos para este caso?

84 Mediana = ? Estadística Biología Marina 200 3 5578999101214 15171825303164728889909298 Ranking 456789101112131415161718192021222324 Veamos con el Rango intercuartílico En posición 12.5. Valor = 16 Rango intercuartílico Primer cuartíl (25avo percentil) Tercer cuartíl (75avo percentil) (24 + 1) x 0.25 = 6.25 (24 + 1) x 0.75 = 18.75 X 6 y X 7 = 9 entonces: Valor = 9 X 18 = 64 y X 19 =72 entonces (72-64)x0.75 = 6 Valor = 64+6 = 70

85 Percentiles en tablas de frecuencia Se procede de la misma forma con la que se calculó la mediana. Pero ahora no estamos interesados en 50avo de nuestra distribución. Debemos encontrar las posiciones 25avo y 75avo. Estadística Biología Marina 200 3 Cálculo de rango intercuartílico Volvamos al ejemplo de los ostiones

86 Consumo de proteínas (grs.) de 20 ostiones Argopecten purpuratus Estadística Biología Marina 200 3 Rango de clase Marca de clase Frecuencia Absoluta Frec. absoluta acumulada 161917.555 202321.5914 242725.5418 283129.5119 323533.5120 Per.25 =Límite inferior +0.25n – frec. acum. ant.x Ancho intervalo del intervaloNro. Obs en Intervalo Per.75 =Límite inferior +0.75n – frec. acum. ant.x Ancho intervalo del intervaloNro. Obs en Intervalo Q 1 (percentil 25): (20+1) (0.25)= 5.25 Q3 (percentil 75): (20+1) (0.75)= 15.75 = 20 = 25

87 Tener Presente Si los datos no se distribuyen en forma normal, no se debe usar la DS y la Media como únicos y exclusivos estimadores. Para ello existen dos alternativas. Usar la mediana y el rango intercuartílico Mejor todavía, usar los “cinco estimadores“ Estadística Biología Marina 200 3 Mínimo1°cuartilMediana3°cuartilmáximo

88 Una manera de presentar los 5 estimadores son los gráficos de caja o “BOX PLOT” Estadística Biología Marina 200 3