1 Fibonacci Leonardo z Pizy; urodzony około 1175 r. - zmarł 1250 roku Włoski matematyk, znany jako:  Leonardo Fibonacci,  Filius Bonacci(syn Bonacciego),  Leonardo Pisano(z Pizy).

2 Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych zwanych liczbami Fibonacciego określony rekurencyjnie w sposób następujący: F0 = 0 F1= 1 Fn = Fn-1+Fn-2, dla n ≥ 2 Początkowe wartości tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...

3 Własności ciągu Fibonacciego Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.

4 Własności ciągu Fibonacciego W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1.618. w miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Odwrotnością 1.618 jest 0.618. W związku z tym współczynnik każdej liczby ciągu podzielony przez liczbę następną oscyluje wokół 0.618.

5 Liczby Fibonacciego w przyrodzie

6 Pestki w tarczy słonecznika układają się wzdłuż spiral, których liczby są ściśle związane z liczbami Fibonacciego. SŁONECZNIKI

7

8

9 -5 równoległych rzędów podnoszących się łagodnie w prawo; -8 rzędów podnoszących się nieco bardziej stromo w lewo; -13 rzędów podnoszących się bardziej stromo w prawo; Ziarenka ananasa przypominające sześciokątne klatki są rozmieszczone w rzędach o różnych kierunkach: ANANAS Y

10 Ciąg Fibonacciego najlepiej charakteryzuje rozmnażanie się królików. Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę – samca i samicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnym miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się rozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób charakterystyczny dla naszego ciągu. ROZMNAŻANIE SIĘ KRÓLIKÓW

11

12 W przekroju widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od oprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi. Wystarczy spojrzeć na obraz spirali Fibonacciego na następnym slajdzie. MUSZLA ŁODZIKA

13 Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek, co zgodne jest z regułą naszego ciągu.

14 Na rysunku jest pokazana szyszka, na której zaznaczono spirale tworzone przez jej łuski. Spirale te są prawoskrętne i lewoskrętne (w przypadku tej szyszki jest 8 - lewoskrętnych i 13 – prawoskrętnych). SZYSZK I

15

16 Własności ciągu Fibonacciego Trzecia cecha ciągu polega na tym, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami rozdzielonymi jedną liczbą występuje proporcja 2.618 oraz jej odwrotność, czyli 0.382.

17 Liczby Fibonacciego w matematyce

18 Własności ciągu Fibonacciego Tę samą procedurę można powtórzyć dla liczb bardziej oddalonych od siebie. Na przykład dla liczb oddzielonych o trzy pozycje współczynniki wynoszą 4.236 i 0.236; liczby oddalone o cztery pozycje łączą proporcje wyrażone współczynnikiem 6,853 i 0.146.- zniesienia.

19 Konstrukcja złotego prostokąta. 1. Rysujemy kwadrat. 2. Kwadrat dzielimy na dwa jednakowe prostokąty.

20 Konstrukcja złotego prostokąta. 1. W jednym prostokącie prowadzimy przekątną. 2. Kreślimy łuk o promieniu równym długości przekątnej prostokąta.

21 ZŁOTY TRÓJKĄT Czym jest złoty trójkąt? Złoty trójkąt to trójkąt, który przy wierzchołku posiada kąt ostry 360 oraz dwa kąty ostre przy podstawie 720. Stosunek długości boku każdego z nich do długości jego podstawy jest złotą liczbą.

22 Konstrukcja złotego prostokąta. 1. Prowadzimy prostopadłą przechodzącą przez punkt przecięcia łuku z linią podstawy. 2. Otrzymujemy złoty prostokąt.

23 Konstrukcja pięciokąta foremnego 1.Rysujemy okrąg o środku S. 2.Rysujemy średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS. 3.Wyznaczamy połowę jednego z promieni zawierających się w średnicy - punkt A.

24 Odmierzamy odległość AB tworząc łuk od punktu A, wyznaczający punkt C jego przecięcia na średnicy. Odcinek BC jest długością boku pięciokąta. Konstrukcja pięciokąta foremnego

25 PENTAGRAM Idealny pentagram powstaje poprzez wyrysowanie przekątnych pięciokąta foremnego i następnie zamazanie oryginału. Kąt wewnętrzny pentagramu ma miarę 36°. W pentagramie ukryty jest złoty podział. = (1+.5)/2 = 1.61803398…

26 Złoty podział odcinka Stosunek całego odcinka do jego dłuższej części jest taki sam, jak stosunek dłuższej części odcinka do krótszej.

27 Złota liczba Liczba wyrażająca stosunek złotego podziału (oznaczana grecką literą φ [fi])

28 Tok postępowania – złoty podział I.Rysujemy odcinek AB II.Rysujemy prostopadłą do niego prostą III.Na prostej wyznaczamy odcinek BC, który jest IV.Połową długości odcinka AB V.Łączymy punkt A i C VI.Rysujemy łuk o środku w punkcie C i promieniu BC VII.Na odcinku AC zaznaczamy punkt D VIII.Rysujemy łuk o środku w punkcie A i promieniu AD IX.Wyznaczamy na odcinku AB punkt E X.W ten sposób wyznaczyliśmy złotą proporcję odcinka AB

29 Konstrukcja złotego podziału

30 Trójkąt Pascala Każdy wyraz ciągu Fibonacciego (oprócz dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich wyrazów; iloraz dwóch sąsiednich wyrazów dąży do złotej liczby. Ciąg Fibonacciego występuje również w trójkącie Pascala. Przedstawia to następująca ilustracja.

31 Trójkąt Pascala

32 Architektura

33 Piramidy w Gizie

34 Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby fi tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.

35 Katedra w Mediolanie

36 Wszelkie proporcje są tu zachowane według złotego podziału.

37 Akropol w Atenach Partenon, Światynia Ateny na Akropolu w Atenach, zbudowana w latach 448-432 p.n.e. Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym stosunek boków wyrażał się liczbą złotą.

38 Sztuka

39 Człowiek witruwiański Rysunek upowszechniony przez Leonarda da Vinci około roku 1490. Przedstawia figurę nagiego mężczyzny w dwóch nałożonych na siebie pozycjach, wpisaną w okrąg i kwadrat Rysunkowi towarzyszy tekst sporządzony tzw. pismem lustrzanym.

40 Rzeźba

41 Proporcje człowieka

42

43 Wykonanie: ● Marcin Frankowski ● Piotr Kuwałek ● Sebastian Pomian ● Dorota Solecka ● Olga Stancel ● Agnieszka Oleksy ● Adam Cegielski ● Piotr Chromiński

44 Źródła: ● http://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_Fibonacciego http://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_Fibonacciego ● http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego ● http://www.almanachinwestora.pl/analiza- techniczna/fibonacci/liczby-fibonacciego-ciag- fibonacciego http://www.almanachinwestora.pl/analiza- techniczna/fibonacci/liczby-fibonacciego-ciag- fibonacciego ● http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/FIBO.HTM http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/FIBO.HTM ● http://swiatmatematyki.pl/index.php?p=50 http://swiatmatematyki.pl/index.php?p=50