1 FIGURY

2 Męczy cię codzienne zakuwanie??

3 Doprowadza cię nawet do szału??

4 My wiemy jak ci pomóc

5 Sprawdź sam!!!

6 Zapraszamy!!!

7 CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓWRYSOWANIE FIGUR I ICH WŁASNOŚCI OBWODY I POLA FIGURY PODOBNE CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW OKRĘGI TWIERDZENIE PITAGORASA WYKORZYSTANIE WIEDZY W PRAKTYCE TWIERDZENIE TALESA KONIEC

8 RÓWNOLEGŁOBOK PROSTOKĄT ROMB KWADRAT TRÓJKĄT TRAPEZHej!!! Jestem Filip. Postaram się wam pokazać, jak narysować figurę, oraz określić jej własności. Zapraszam! RÓWNOLEGŁOBOK PROSTOKĄT ROMB KWADRAT TRÓJKĄT TRAPEZ

9 Równoległobokiem nazywamy taki czworokąt, który spełnia chociaż jeden z warunków:1.Przeciwległe boki są równoległe. 2.Przeciwległe boki są tej samej długości. 3.Przekątne dzielą się na połowy. 4.Przeciwległe kąty są równe. 5.Suma miar kątów przylegających do każdego boku jest równa 180 stopni. Szczególnymi przypadkami równoległoboku są romb i prostokąt. Przekątne równoległoboku nie są równej długości, nie przecinają się pod kątek prostym, ale dzielą się na połowy. W równoległobok nie można wpisać okręgu, ani też nie można go na nim opisać.

10 Teraz przedstawię wam opis konstrukcji:1.Narysuj odcinek AB. 2.Następnie odcinek AD pod pewnym kątem do odcina AB. 3.Teraz cyrklem zmierz odcinek AB i odłóż jego długość na końcu odcina AD 4. Na koniec połącz koniec odcinka AB z końcem odcinka AC D C A B

11 C D D C A B A B A teraz przekątne1.Aby otrzymać przekątne połącz wierzchołek A z wierzchołkiem C 2. Wierzchołek D z wierzchołkiem B. Na równoległoboku nie można opisać ani wpisać okręgu. C D D C A B A B

12 Rombem nazywamy równoległobok , który spełnia jeden z warunków:1.Przekątne są prostopadłe 2.Przekątne są zarazem dwusiecznymi kątów. 3.Długości wszystkich boków są równe. Szczególnym przypadkiem rombu jest kwadrat. W rombie przekątne są równej długości i dzielą się na połowy. Na rombie nie można opisać okręgu, ale można go wpisać.

13 D A C B Teraz przedstawię wam opis konstrukcji: 1.Narysuj odcinek AB.2.Następnie odcinek AD pod pewnym kątem do odcina AB i tej samej długości co odcinek AB. 3.Teraz cyrklem zmierz odcinek AB i odłóż jego długość na końcu odcina AD 4. Na koniec połącz koniec odcinka AB z końcem odcinka AC D A C B

14 Teraz przejdźmy do okręgów:A teraz przekątne 1.Aby otrzymać przekątne połącz wierzchołek A z wierzchołkiem C 2. Wierzchołek D z wierzchołkiem B. Teraz przejdźmy do okręgów: 1. Aby opisać okrąg na rombie wstaw cyrkiel w miejscu przecięcia się przekątnych i zatocz okrąg. D D C C A A B B

15 Prostokątem nazywamy czworokąt, którego każdy kąt jest prostyProstokątem nazywamy czworokąt, którego każdy kąt jest prosty. W prostokącie przeciwległe boki są równoległe i równe; przekątne są równe i dzielą się na połowy. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat. Przekątne w prostokącie są równej długości, nie przecinają się pod kątek prostym, ale dzielą się na połowy. Na prostokącie można opisać okrąg, ale nie można go wpisać.

16 Teraz przedstawię wam opis konstrukcji:1.Narysuj odcinek EF. 2.Następnie podziel odcinek EF na pół. Zmierz cyrklem odcinek EF (min połowa) i z końca E zrób łuki na dole i na górze, następnie zrób to samo z wierzchołka F. Połącz łuki. 3.Teraz podziel tak samo odcinek AF. 4.Odmierz cyrklem dł. Odcinka AD i odmierz go na półprostej m. 5. Połącz punkty C i D. D C m A B F E

17 Teraz przejdźmy do okręgów:A teraz przekątne 1.Aby otrzymać przekątne połącz wierzchołek A z wierzchołkiem C 2. Wierzchołek D z wierzchołkiem B. Teraz przejdźmy do okręgów: 1. Aby opisać okrąg na prostokącie wstaw cyrkiel w miejscu przecięcia się przekątnych i zatocz okrąg o promieniu równym przekątnej. D C D C A B A B

18 Kwadrat to czworokąt foremny o równych bokach i przystających kątach (wszystkie kąty w kwadracie są proste). Kwadrat to szczególny przypadek prostokąta o wszystkich bokach równych a także rombu o wszystkich kątach równych. Przekątne w kwadracie przecinają się pod kątem prostym, dzielą się na połowy oraz są równej długości. Na kwadracie można opisać okrąg oraz można w niego również wpisać okrąg.

19 Teraz przedstawię wam opis konstrukcji:1.Narysuj odcinek EB. 2.Następnie podziel odcinek EB na pół. Zmierz cyrklem odcinek EB i z końca E zrób łuki na dole i na górze, następnie zrób to samo z wierzchołka F. Połącz łuki. 3.Teraz odłóż długość odcinka AB w punkcie D, a następnie w punkcie B. 4.Połącz punkt przecięcia z punktami B i D D C A E B

20 Teraz przejdźmy do okręgów:A teraz przekątne 1.Aby otrzymać przekątne połącz wierzchołek A z wierzchołkiem C 2. Wierzchołek D z wierzchołkiem B.(rys.1) Teraz przejdźmy do okręgów: Aby opisać okrąg na kwadracie wstaw cyrkiel w miejscu przecięcia się przekątnych i zatocz okrąg o promieniu równym przekątnej.(rys.2) Aby wpisać wstaw cyrkiel w punkt przecięcia się przekątnych zatocz okrąg(rys.3) D C A B

21 prostokątny równoboczny różnobocznyTrapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe w trapezie nazywamy podstawami, zaś pozostałe boki - ramionami trapezu. Odcinek łączący podstawy nazywamy wysokością trapezu. Przekątne w trapezie ani nie przecinają się pod kątem prostym, ani nie dzielą się na połowy. W szczególnym przypadku dzielą się na połowy. prostokątny równoboczny różnoboczny

22 Oto opis konstrukcji trapezu różnobocznego:1.Rysujemy odcinek AB. 2.Konstruujemy prostą równoległą do odcinka AB. (jak w równoległoboku) 3.Zaznaczamy na prostej odcinek. 4.Łączymy punkt A z jednym końcem i B i z drugim. D C A B

23 Na trapezie różnobocznym nie da się ani opisać ani w pisać okręgu.A teraz przekątne 1.Aby otrzymać przekątne połącz wierzchołek A z wierzchołkiem C oraz wierzchołek B z D. Okręgi: Na trapezie różnobocznym nie da się ani opisać ani w pisać okręgu. D C D C B A B A

24 Oto opis konstrukcji trapezu prostokątnego:1.Rysujemy odcinek GB. 2.Dzielimy go na pół (jak w prostokącie) 3.Zaznaczamy punkt na półprostej. 4.Dzielimy odcinek AF na pół. 5.Zaznaczamy punkt C na półprostej. 6.Łączymy punkt B z punktem C. F D C G B A

25 Na trapezie prostokątnym nie da się ani opisać ani w pisać okręgu.A teraz przekątne 1.Aby otrzymać przekątne połącz wierzchołek A z wierzchołkiem C oraz wierzchołek B z D. Okręgi: Na trapezie prostokątnym nie da się ani opisać ani w pisać okręgu. D C D C A B A B

26 Oto opis konstrukcji trapezu równobocznego:1.Rysujemy odcinek AB. 2.Z punktu A i B zataczamy taki sam łuk, mniejszy niż połowa. 3.Z punktów A i B zataczamy takie same łuki większe niż połowa. 4.Łączymy otrzymane punkty z punktami A i B. D C A B

27 D C A B D C A B A teraz przekątne1.Aby otrzymać przekątne połącz wierzchołek A z wierzchołkiem C oraz wierzchołek B z D. Okręgi: Na trapezie prostokątnym nie da się ani opisać ani w pisać okręgu. Jedynie w szczególnym przypadku. D C A B D C A B

28 Trójkąt równoramiennyTrójkątem nazywamy wielokąt o trzech bokach. Podstawą trójkąta nazywamy jeden z tych boków dowolnie wybrany, zaś pozostałe dwa boki nazywamy ramionami trójkąta. Jeżeli trójkąt ma: + dwa boki równe, to nazywamy go trójkątem równoramiennym + wszystkie boki równe, to nazywamy go równobocznym W trójkąt można wpisać i można na nim opisać okrąg. Trójkąt równoramienny Trójkąt równoboczny Trójkąt prostokątny Cechy trójkątów

29 C A B Aby skonstruować trójkąt równoboczny: 1.Narysuj odcinek AB2.Zmierz go. 3.Z punktów A i B zakreśl luki długości AB. 4.Połącz otrzymany punkt C z punktami A i B. C A B

30 C B A Aby skonstruować trójkąt prostokątny: 1.Narysuj odcinek AB2.Podziel go na pół (jak w kwadracie) 3.Połącz otrzymany punkt C z punktem B. C B A

31 W każdy trójkąt można wpisać okrągW każdy trójkąt można wpisać okrąg. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów tego trójkąta. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia się symetralnych boków tego trójkąta.

32 Teraz opowiem wam trochę o własnościach trójkąta:1. Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z jego rzutem prostokątnym na prostą zawierającą przeciwległy bok. Wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum trójkąta. h1 h3 h2

33 2. Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości trójkąta. (G) G

34 3. Dwusieczną trójkąta nazywamy odcinek prostej dzielącej kąt wewnętrzny trójkąta na połowy, liczony od wierzchołka trójkąta do przecięcia z przeciwległym bokiem. Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.(r – promień okręgu wpisanego w trójkąt)

35 4. Symetralną boku trójkąta nazywamy prosta prostopadłą do tego boku i przechodzącą przez jego środek. Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. (R – promień okręgu opisanego na trójkącie)

36 Hej!! Ja jestem Otylia!! Przedstawię wam wzory na pola i obwody figur.ROMB RÓWNOLEGŁOBOK PROSTOKĄT KWADRAT KOŁO TRÓJKĄT TRAPEZ

37 Zacznijmy od równoległoboku. Wzór na pole to P=ah Wzór na obwód to Obw=a+b+c+d c d h b a

38 Teraz zajmijmy się rombem. Wzór na pole to P=ah lub P=1/2*d1*d2Wzór na obwód to Obw=4a a a h h a a

39 Wzór na pole prostokąta to Wzór na obwód Prostokąta toP=ab Wzór na obwód Prostokąta to Obw=2a+2b b a a b

40 Wzór na pole kwadratu to Wzór na obwód kwadratu toP=a2 Wzór na obwód kwadratu to Obw=4a a a a a

41 Wzór na obwód trapezu toWzór na pole trapezu to P=1/2(a+b)*h Wzór na obwód trapezu to Obw=a+b+c+d b c h d a

42 Wzór na pole trójkąta równobocznego to Wzór na obwód tego trójkąta toObw=3a Wzór na wysokość to: a a h a

43 Wzór na pole trójkąta prostokątnego to Wzór na obwód tego trójkąta toP=1/2*a*b Wzór na obwód tego trójkąta to Obw=a+b+c c a b

44 Wzór na pole trójkąta dowolnego to Wzór na obwód tego trójkąta toP=1/2*a*h Wzór na obwód tego trójkąta to Obw=a+b+c b c h a

45 Wzór na pole koła to P= Wzór na obwód koła to Obw= r

46 Hej!! Ja jestem Wiesław. Opowiem wam okręgach. ZapraszamOkręgi rozłączne wewnętrznie Okręgi styczne zewnętrznie Okręgi styczne wewnętrznie Okręgi rozłączne zewnętrznie Okręgi współśrodkowe Okręgi przecinające się

47 Okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy IABI=r1+r2

48 okręgi są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdyIABI=Ir1-r2I r1 A B r2

49 Okręgi są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają punktów wspólnych, a odległość między środkami tych okręgów jest mniejsza od sumy ich promieni.

50 okręgi są rozłączne zewnętrzne wtedy i tylko wtedy, gdy IABI>r1+r2

51 okręgi są przecinające się wtedy i tylko wtedy, gdy Ir1-r2I

52 okręgi są współśrodkowe wtedy i tylko wtedy, gdyIABI=0 A=B

53 Figury podobne - dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą. Figury podobne to również takie figury, które mają taki sam kształt, ale różnią się wielkością. Te dwa koła są podobne

54 Figurami podobnymi są dowolne dwa niezerowe odcinki, okręgi, koła, n-kąty foremne, sfery, kule, wielościany foremne o takiej samej liczbie ścian itp. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, a stosunek objetości tych figur - sześcianowi skali podobieństwa.

55 Zaprezentuję wam cechy podobieństwa trójkątów:1.Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne. 2. Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne (miary trzecich kątów wtedy też muszą być równe) 3. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to te trójkąty są podobne.

56 Hej. Jestem Tekla i przybliżę wam kwestię przystawania trójkątówHej!! Jestem Tekla i przybliżę wam kwestię przystawania trójkątów. Zapraszam do nauki

57 Istnieją 3 cechy. Po kolei:1.(bbb) Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. c’ a b b’ a’ c

58 Teraz czas na drugą: 2. (bkb) Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. a’ b‘ a b c‘ c

59 I ostatnia, trzecia cecha:3. (kbk) Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające b‘ c‘ c b a‘ a

60 Hej!! Jestem Zyta. Przedstawię wam twierdzenie Talesa. Posłuchajcie…

61 Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu. Jeżeli mIIn to: m C B A D E n

62 Hej. Jestem Benny. Ja przybliżę wam twierdzenie PitagorasaHej!! Jestem Benny. Ja przybliżę wam twierdzenie Pitagorasa. Tak więc zapraszam!!

63 Są dwie wersję twierdzenia. A mianowicie:1.Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. 2.Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. c b a

64 Istnieje również twierdzenie odwrotne do twierdzenia PitagorasaIstnieje również twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. A brzmi ono: Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.

65 Mam naimię Filip. Pragnę wam powiedzieć, iż w życiu codziennym bardzo często spotykamy się z figurami geometrycznymi. Załóżmy książka, a raczej jej okładka ma kształt prostokąta. Wiedza o figurach jest przydatna, choćby po to, by odróżnić kosz od bramki Dzięki podobieństwie trójkątów możemy obliczyć jak daleko musimy ustawić aparat, aby otrzymać odpowiednie zdjęcie. Geometrię wykorzystuje się również w malarstwie i w architekturze. Świat to jedna wielka kula, a w niej same figury!!!

66 Dziękujemy za obejrzenie prezentacjiDziękujemy za obejrzenie prezentacji. Mamy nadzieję, iż polubicie geometrię i figur. Wbrew pozorom, ona nie jest tak zła. Niewątpliwie jest przydatna w życiu codziennym. DZIĘKUJEMY

67 KONIEC

68